2023北京朝阳高二（下）期末数学试卷含答案

2023北京朝阳高二(下)期末

数学

2023.7

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题50分和非选择题100分

第一部分(选择题共50分)

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合4={-1，°，1，2),集合8={x|TWx<l},则48=

(A){0,1}(B){-1,1}(C){-1,0}(D){-1,0,1)

./、1

ae(^,7t)sin(兀-a)=一

(2)已知2,且3,则cosa=

2&22V2

(A)(B)__(C)(D)

3333

(3)已知不等式奴+4<°的解集为空集，则实数0的取值范围是

(A)y,-4)(4,+00)(B)(-00,-4]I[4,+co)

(C)(T,4)(D)[-4,4]

(4)从集合{234,5,6,7,8}中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为

2346

A)xBIXIX

z7-Z7-7-X7-

a=1g—

(5)已知3,人=3°/，c=sin3,贝ij

(A)a>b>c(B)b>c>a(C)b>a>c(D)c>b>a

(6)设a，'wR,则"3一是«a<bn的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排

1名同学，则不同的安排方法种数为

(A)6(B)12(C)24(D)36

TT

(8)已知函数/(x)=sin(2x-§),则下列结论正确的是

(A)函数/(x+兀)的一个周期为三

2

(B)函数/(x+兀)的一个零点为二

(C)y=/(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移;个单位长度得到

3TC

(D)y=/(x)的图象关于直线对称

2

(9)良好生态环境既是自然财富，也是经济财富.为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后

排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量'(单位：毫克/升)与过滤时间f(单位：小时)之间

的函数关系为y人为常数且%>0,%为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若

前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%,那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约

为原污染物数量的

(A)1%(B)2%(C)3%(D)5%

(10)己知定义在R上的函数八方满足：

①f(2+x)+/(-x)=0；

②/(—l+x)=/(—l—x)；

兀

,cos—［-1,01,

③当1,1］时，=l2

1-X,XG(0,1］,

则函数g(x)=f(X)+g在区间［-5,3］上的零点个数为

(A)3(B)4(C)5(D)6

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(x+-)6

(11)二项式x的展开式中的常数项是.(用数字作答)

(12)某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200,1000,800,为迎接运动会的到来，按照各

年级人数所占比例进行分层抽样，选出30名志愿者，则高二年级应选出的人数为.

46

y=x+--------2

(13)当x>—1时，函数.x+1的最小值为,此时x=.

(14)已知”>°,则关于x的不等式9-40・542<°的解集是.

(一二加)

(15)若函数丫』。。,2"的图象在区间4''”上恰有两个极值点，则满足条件的实数用的一个取值为

(16)已知集合”为非空数集，且同时满足下列条件:

(i)2eM；

(ii)对任意的xwM,任意的丁£加，都有x-yeM；

—GM

(迨)对任意的xcM且工0°,都有X

给出下列四个结论：

①OGM.

②1eM；

③对任意的苍yeM,都有x+yeM；

④对任意的为丁^加，都有孙e".

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(17)(本小题13分)

设函数/(x)=2sinscos0x+见0>0,加eR),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作

为己知，使函数f(x)唯一确定.

(I)求。和加的值；

g(x)=/(x-[)[0,^]

(II)设函数6,求双的在区间2上的最大值.

条件①：/(0)=1；

条件②：A©的最小值为°：

71

条件③：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为5.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

(18)(本小题14分)

某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：

40%

频率35%

30%

25%

20%

15%I

11^%9%

10%冬5

^

5%1

1%01()%

-9%

21-30岁31-40岁41-50岁51-60岁61-70岁71年龄分组

第1组第2组第3组第4组第5组第6组第7组第8组

口投保占比■理赔占比

注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%;

24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%.其它组类似.

(I)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；

(II)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数

记为X,求X的分布列及数学期望；

(III)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种

说法是否正确，并说明理由.

(19)(本小题15分)

己知函数/(x)=lnx-"(aeR).

(I)当。=3时，求曲线广73在点("⑴)处的切线方程；

(II)若》=2是f(x)的一个极值点，求“X)的单调递增区间；

(III)是否存在“，使得“X)在区间(°簿］上的最大值为_2?若存在，求出”的值：若不存在，说明理由.

(20)(本小题13分)

已知函数/⑶=e",g")="Qx+DeR)

(I)当机=1时，证明f(x)注g(x)；

(II)若直线＞=g(x)是曲线＞=/(")的切线，设〃(x)=f(x)-g(x),求证：对任意的”＞万，都有

则二哽:＜2/_2

a-b.

(21)(本小题15分)

若有穷整数数列A：4M2，4，满足(/=1,2,,〃)，且各项均不相同，则称A为匕数列.对

4=—^a=2,3,,〃)

匕数列A：4M2,…q,设4=0,月1《一。"，则称数列zl(A)：4,4，为数列4的导

出数列.

(I)分别写出层数列2J4,3与3,1,4,2的导出数列；

(II)是否存在乙数列A使得其导出数列“4)的各项之和为0?若存在，求出所有符合要求的乙数列；若

不存在，说明理由；

(III)设匕数列A：4，6M"与A'：“，4'4的导出数列分别为'(A)：4,4，4与'(A'):4',%

求证：卬=4«=1，2，，")的充分必要条件是4=於=1，2，，〃).

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

参考答案

一、选择题（共10小题,每小题5分，共50分）

(DC(2)A(3)D(4)C(5)B

(6)A(7)D(8)B(9)C(10)B

二、填空题（共6小题，每小题5分,共30分）

(11)⑻(12)10(13)1,1

(14)(15)兀（答案不唯一）(16)①③④

三、解答题（共5小题，共70分）

(17)(共13分)

解：选①③.

(I)因为/(x)=2sinryxcos69x+/%=sin2^yx+/n

由/(0)=1,得〃?=1

兀

因为f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为5,

所以5=5.

T=^-=it

所以12。1

因为。＞0,所以勿=16分

(II)由([)可知/(x)=sin2x+l.

九71

g（-X）=f（x--）=sin（2x--）+1

o3.

因为xe［0,刍，所以2x-2e［—3,空］.

2333

所以当2x-工=色，即片型时，

3212

g（x）在区间［0,三上取得最大值g（工）=2...........................13分

选②③.

（［）因为/（x）=2sinGxcos5+M=sin25+机，

由八幻的最小值为0,得加=1.

71

因为“X）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为彳，

Tn.

所以万一万.

T/---2-九--

所以I2o|

因为。所以。=L..........................................6分

(II)同选①③.

(18)(共14分)

解：(I)理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组.....4分

(II)用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为Z.

X的所有可能取值为°J，2,3.

P(X=0)=躬)。声磊

P(x=D=c©)审啜

13Q

P(X=2)毋率年

171

P(X=3)=C：(-)3(-)°=—

一4464.

所以随机变量X的分布列为:

X0123

272791

64646464

所以随机变量X的数学期望

2727913

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

646464644...............11分

(III)不正确.

比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，

投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，

这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大.

用区间的右端点估计理赔的平均年龄为

5x0.24+20x0.07+30x0.12+40x0.35+50x0.15+60x0.05+70x0.019+100x0.001

=32.13,

用区间的左端点估计投保的平均年龄为

0x0.13+6x0.13+21x0.16+31x0.33+41x0.11+51x0.09+61x0.04+71x0.01

=26.62,

因为32.13>26.62,所以说法不正确.................................14分

(19)(共15分)

解：函数〃x）=lnx-"的定义域为（。，+8）,则.

（1）当、=3时,/。）=加工-3x,所以〃1）=一3

因为八处4一3,所以/，（］）=「3=-2

所以曲线y=/a）在点（IJ（D）处的切线方程为y+3=—2（x-i）,

即2x+y+l=0...................................................4分

，/、/\2）=--a=0a=—

（1【）因为x=2是/（X）的一个极值点，所以2.解得2

/（x）=lnx—f'（x）=--^-

所以2,x2.

当0<x<2时，/'（幻>0,f（x）单调递增；

当X>2时,r（x）<0,/（x）单调递减.

所以当“一5时，》=2是"X）的极大值点.

此时“X）的单调递增区间为（°2）..............................9分

1

aW一

（III）①当e时，

x=

E、L=fOeif()---a^--a^O

因为"r(Ue],xe

所以/(X)在区间(0,e]上单调递增.

此时/(x)11m=/(e)=lne-ae=l-ae.

3

若l-oe=-2,则“-e,不合题意.

a>—0<—<e

②当e,即a时，

f'{x}=--a=0x=—

令x,解得a.

当口、,、"时，f'（x）>0,f（x）单调递增；

当1<x<e时，/'（幻<°,f（x）单调递减・

/（初皿=心=哈1

此时

|nl-l=-2

若。，则a=e,符合题意.

综上，当”时，/(幻在区间(，］上的最大值为

=e0e-2..................15分

(20)(共13分)

解:(I)当加=1时，=fM-g(x)=e2x-2x-l则”(x)=2e"-2

令d(x)=2e"'-2=0,解得x=0.

当xe(7o,0)时，°'(x)<0,8(x)在区间(Y°，0)上单调递减；

当xe(°，*°)时，夕'")>°,以幻在区间(0,+co)上单调递增.

所以夕(X)、奴。)=0.

所以f(x)Ng(x)成立.......................................

5分

(II)由己知得广(幻=2/'.

设切点为P&d"),

2e2M=2相，同=0,

则尸(2%+1)=，解得jzn=1.

所以g(x)=2x+l,h(x)=e2'-2x-1

h(a)-h(b)

----<Zc-Z2a

要证a-b------------,

/一2a-e"+282a

------------------------<2e-92

即证a-b,

即证…正口海-力.

令2«_»=rj>0,原不等式等价于l_e-'<r,即/+葭>1

设尸(f)=r+e-'，则/⑺=1-e-'>0