(人教A版2019 必修第一册)集合的概念教学设计

《L1集合的概念》教学设计

一教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版(2019)第一章《集合与常用逻辑用语》的第

一节《集合的概念》。以下是集合单元的课时安排：

第A/r-一节-++■第一下第三节

课时内容集合的概念集合间的基本关系集合的基本运算

所在位置教材第2页教材第7页教材第10页

教材选取了丰富的实例，既以实例为载体，对照实数之间从类比实数的运算入手，联

涵盖了实数、方程、不等式、的相等关系、大小关系，通过想集合的运算，确定研究方

新教材函数、简单的几何图形等数类比，得到集合间的相等关系、法后，通过实例抽象概括出

内容学领域，也包含了贴近学生包含关系.集合的并、交、补运算，并

分析生活的实际问题，以帮助学利用Venn图的直观性，帮助

生理解元素与集合的概念、

学生加以理解.

体会元素与集合之间的关

系，学习集合的表示法.

通过观察实例，理解集合的通过概括共同特征，探究集合通过类比实数，理解集合的

核心素养含义、进行集合的表示，都间的基本关系，体现了数学抽运算，强化了数学抽象的核

培养体现了数学抽象的核心素象的核心素养；利用韦恩图表心素养；利用数轴或韦恩图

养.达集合间的基本关系，体现了表达集合的运算，体现了直

直观想象的核心素养.观想象的核心素养；在进行

集合运算的过程中，提升了

数学运算的核心素养.

教学主线元素与集合的关系

二学情分析

本章内容属于“预备知识”。学生在小学和初中阶段已经接触过一些集合，如数集，不等式的解

集，点集等，以此为基础，高中阶段系统安排了集合的初步知识，包括集合的含义、集合间的基本关系与

1

集合的运算，使学生能够在现实情境或数学情境中，帮助学生运用集合的语言简洁、准确的表述数学的研

究对象，提升学生数学表达的抽象层次，从而作好初高中数学学习的过渡。

三学习目标

1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，培养学生的数学抽象核心素养；

2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，提升数学抽象核心素养;

3.会用列举法、描述法表示集合，强化数学抽象核心素养。

四教学重难点

重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合；

难点：用描述法表示集合一一难在对“共同特征”的描述、符号的表示

五教学过程

（一）新知导入

1.创设情境，生成问题

一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他就请教数学家：“尊敬的先生，请

您告诉我，集合是什么？”数学家只是笑了笑，没有当时就回答这位渔民.有一天，数学家来到这位渔民的

船上，看到他撒下渔网，一拉动，许多鱼儿在网中跳动.数学家就激动的大喊：“找到了，找到了，这就是

一个集合”.

【想一想】数学家所说的集合指的是什么？

【提示】数学家所说的集合是指渔网中的鱼组成了一个集合.

2.探索交流，解决问题

2

【问题1】考察下列问题，解决[思考1]:

(1)1〜10之间的所有偶数；

(2)立德中学今年入学的全体高一学生；

(3)所有的正方形；

(4)到直线1的距离等于定长d的所有点；

(5)方程%J3%+2=0的所有实数根；

(6)地球上的四大洋。

【思考1]

(1)实例中的每组对象的全体能组成集合吗？

(2)把研究对象看作元素，每个集合的元素是什么？

(3)构成集合元素的对象可以是什么？

【提示】

(1)实例中的每组对象能组成集合；

(2)六个问题中集合的元素分别是：偶数2,4,6,8；立德中学今年入学的高一学生；正方形；到

直线1的距离等于定长d的点；方程%之-3%+2=。的实数根1,2；地球上的四大洋：

太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋。

(3)构成集合的元素可以是数、点、几何图形、物体等。

【设计意图】

通过问题与思考题的探究，引导学生概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方

式思考并解决问题的能力。

(-)集合

集合的概念：

(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简

称为集).

(2)我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中

的元素.

【思考2】

(1)所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

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(2)由1,3,0,5,|-3|这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？由此说明什么？

(3)高一(5)班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？

(4)如果两个集合中，元素完全一样，那么这两集合相等，这种说法正确吗？

(5)由以上思考题，可以得到集合有什么特性？

【提示】(1)不能.其中的元素不确定；说明集合中的元素是确定的。

(2)不正确.集合中只有4个不同元素1,3,0,5.说明集合中的元素是互异的。

(3)集合没有变化；说明集合中的元素是没有顺序的。

(4)正确。

(5)集合的元素满足三个特性：确定性、互异性、无序性。

【做一做】

下列对象能组成集合的是()

A.小的所有近似值

B.某个班级中学习好的所有同学

C.2021年全国高考数学试卷中所有难题

D.屠呦呦实验室的全体工作人员

［解析］D中的对象都是确定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的

“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A、B、C都不能构成集合.

［答案］D

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入理解集合的概念，培养数学抽象的核心素养。

(三)元素与集合的关系

【思考3】已知下面的两个实例：

(1)用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.

(2)用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.

思考:那么a,b与集合A分别有什么关系？

【提示】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.

元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作aeA；如果a不是集合A

中的元素，就说a不属于集合A,记作aeA.

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1.对元素与集合关系的认识:

唯一性aR4与#.4取决于a是不是集合,4中的元素，只有属于和不属于两种关系

方向性符号“w”，飞，，具有方向性，左边是元素，右边是集合

2.常用数集及其记法:

非负整数集

数集正整数集整数集有理数集实数集

(自然数集)

符号NN*或NZQR

例1.【多选题】下列所给关系正确的是()

A.ne/?B./史QC.OGN*D.I-5|N*

【思维引导】判断元素是否在集合中，利用正确的数学符号表示。

［解析］选项A,n是实数，所以ne/?正确；选项B,加是无理数，所以季史Q正确；选项C,0

不是正整数，所以O6N*错误；选项D,|-5|=5为正整数，所以|一5件N*错误.故选AB.

［答案］AB

【类题通法】

判断元素与集合关系的两种方法

(1)使用前提：集合中的元素是直接给出的

直接法

(2)判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合

中是否出现即可

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(1)使用前提：对于某些不便直接表示的集合

推理法(2)判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满

足集合中元素所具有的特征即可

【巩固练习1］

已知集合力中的元素X满足则下列各式正确的是()

A.3e力且一3建1B.3e力且一3£力

C.3住力且一3翅D.344且一3£力

［解析］；3—1=2〉/，；.3至4又一3—1=-4</,...一3W4

［答案］D

【设计意图】

通过例题及练习的学习，使学生理解元素与集合的关系，强化数学抽象的核心素养。

(四)集合的表示

【思考4］(1)地球上的四大洋组成的集合如何表示？

(2)方程(x+l)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？

(3)通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？

【提示】(1)可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.

(2)该集合表示为{-1,-2}

(3)列举法就是把集合中的元素一一列举出来。

♦把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

【注意】(1)大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；

(2)元素按一定的顺序列举，可以保证元素不重不漏，如：从小到大等。

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【探究1］集合A={1,2},B={(1,2)},C={(2,1)},D={2,1}是否是相等的集合？

【提示】根据集合元素的互异性，判断集合A与D相等；

集合A,D是数集，集合B,C是点集，所以不会相等；

集合B,C中的点不一样，所以不相等。

例2.用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合.

(2)方程x'x的所有实数根组成的集合.

【思维引导】将集合中的元素一一列举，即可写出列举法。

［答案］(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

(2)设方程x'x的所有实数根组成的集合为B,那么B={l,0}.

【类题通法】列举法表示集合的步骤及注意点

分清元素列举法表示集合，要分清是数集还是点集

书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏

【巩固练习2］

用列举法表示下列集合:

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(1)一年中有31天的月份的全体；

(2)大于3.1小于12.8的整数的全体；

(3)方程，口+|y+11=0的解集；

(4)正奇数组成的集合.

［解答］(DU月，3月，5月，7月，8月，10月，12月｝.

(2)｛4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3)由方程4X―2+)y+11=0可知，

――2=0,(x—2,

即

y+l=0,［y=—\,

从而方程的解集用列举法表示为｛(2,-1)｝.

(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为｛1,3,5,7,…｝.

【思考5】

(1)能用自然语言描述集合｛0,3,6,述吗?

(2)能否用列举法表示不等式x—3〈7的解集？该集合中的元素有什么性质？

(3)不能用列举法表示的集合怎样表示？

【提示】(1)用自然语言描述集合｛0,3,6,9｝是：比10小的能被3整除的自然数。

(2)不等式x—3<7的解集是x<10,有无数个元素，所以不能用列举法表示，但是可以看出，这

个集合中的元素满足性质：集合中的元素都小于10;集合中的元素都是实数.

(3)这样的集合可以通过描述其元素性质的方法来表示。

♦一般地，设力是一个集合，我们把集合4中所有具有共同特征尸(x)的元素x所组成的集合表示为公

这种表示集合的方法称为描述法.

描述法表示集合的写法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，

画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

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【探究2］集合A={x|y=x2},B={y|y=x2),C={(x,y)|y=□}是否是相等的集合?

【提示】

集合A表示函数y=x2的自变量x的取值集合，是实数集；

集合B表示函数y=x2的函数值y的取值集合，是非负实数集；

集合C是函数y=x2的图象上的点组成的集合，所以这三个集合都不相等。

例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程X2-2=0的所有实数根组成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

【思维引导】把集合中元素的特点表达出来，写出描述法，再将其转化为列举法。

［解答］(1)设方程X2-2=0的实数根为x,并且满足条件X2-2=0,因此，用描述法表示为A={XWR|X2-2=0}.

方程春2=0有两个实数根为"-JL因此，用列举法表示为人={也,-后}.

(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件xCZ,且10〈x〈20,因此，用描述法表示为

B={xGZ|10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19).

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【类题通法】描述法表示集合的几点注意

(1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.

(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取

值范围.

(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.

【巩固训练3】

用描述法表示下列集合：

(1)不等式2%-3<1的解组成的集合4

(2)被3除余2的正整数的集合B；

(3)C={2,4,6,8,10)；

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.

［解答］(1)不等式2x—3V1的解组成的集合为4则集合4中的元素是数，设代表元素为x,则x满

足2x—3<1,则［={x|2x—3<1},即4={*|*<2}.

(2)设被3除余2的数为x,则x=3〃+2,但元素为正整数，故x=3〃+2,"GN.所以

被3除余2的正整数的集合占={*|x=3〃+2,〃GN}.

(3)设偶数为x,则x=2〃，〃GZ.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2c,nW5,nGN*.

所以C={x|x=2〃，

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0,y>0,

故第二象限内的点的集合为g{(x,y)|%<0,y>0}.

例4.用适当的方法表示下列集合：

①绝对值小于5的全体实数组成的集合；

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②所有正方形组成的集合；

③除以3余1的所有整数组成的集合；

④构成英文单词mathematics的全体字母.

【思维引导】根据集合中元素的特点选择表示集合的方法。

［解答］①绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为｛x||削<5｝.

②所有正方形组成的集合可表示为｛正方形｝.

③除以3余1的所有整数组成的集合可表示为｛a|a=3x+l,x&Z).

④构成英文单词mathematics的全体字母可表示为｛m,a,t,h,e,i,c,s｝.

【类题通法】选用列举法或描述法表示集合的原则

要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元

素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；

描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素

共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.

'、

B=<XGN$N>

【巩固训练4】设集合I2+x

(1)试判断元素1和2与集合6的关系；

(2)用列举法表示集合8

［解答］⑴当X=1时，R=26N；当x=2时，H=^N,:

乙I1乙I乙乙

⑵・"£N,・・・x只能为0,1,4,故5=｛0,1,4｝.

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【设计意图】通过学习列举法、描述法，使学生能针对不同集合的元素的特点用最合适的方法表示出集合,

培养学生解决问题的能力。

（五）操作演练素养提升

1.（2021•浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）

A.与1