黑龙江省绥化市安达市第七中学2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

黑龙江省绥化市安达市第七中学2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列的公比为正数，且，则()A． B． C． D．2．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則A．36 B．21 C．9 D．63．在边长为的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A． B． C． D．4．内角，，的对边分别为，，.已知，，，则这样的三角形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个5．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（）A． B． C． D．6．已知为直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．已知，集合，则A． B． C． D．8．展开式中的常数项为（）A．1 B．21 C．31 D．519．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的数等于（）A． B． C． D．10．已知数列的前项和为，且，，则()A．127 B．129 C．255 D．257二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则12．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．13．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为________.15．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______16．若，则__________.（结果用反三角函数表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l：x+3y﹣2＝1．（1）求与l垂直，且过点（1，1）直线方程；（2）求圆心为（4，1），且与直线l相切的圆的方程．18．近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为，火箭的飞行速度为，初始速度为，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设，，，是以为底的自然对数，，.（1）如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时，求的值（精确到小数点后面1位）.（2）如果希望达到，但火箭起飞质量最大值为，请问的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.19．已知，.（1）求的值；（2）求的值.20．已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，数列的前项和为，求证：.21．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，故选D.2、D【解析】

根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【详解】因为在方向上的投影为，所以，.故选D.【点睛】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.3、A【解析】

通过几何概型可得答案.【详解】由几何概型可知，则.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度中等.4、C【解析】

根据和的大小关系，判断出解的个数.【详解】由于，所以，故解的个数有两个.如图所示两个解.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用过程中，三角形解的个数判断，属于基础题.5、D【解析】因为，所以，因此，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6、C【解析】

利用直线与平面平行、垂直的判断即可。【详解】对于A.若，，则或，所以A错对于B.若，，则，应该为，所以B错对于D.若，，则或，所以D错。所以选择C【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。7、D【解析】

先求出集合A，由此能求出∁UA．【详解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴∁UA＝{x|x}．故选：D．【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8、D【解析】常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为9、B【解析】

模拟执行循环体的过程，即可得到结果.【详解】根据程序框图，模拟执行如下：，满足，，满足，，满足，，不满足，输出.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中循环体的执行，属基础题.10、C【解析】

利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.【详解】因为，，所以，相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.【点睛】本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、28【解析】试题分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值.考点：极限及其运算12、8π【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.13、50【解析】

先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘的研究生人数为.【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.14、【解析】

先求出四棱锥的底面对角线的长度，结合勾股定理可求出四棱锥的高，然后由圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，可知四条侧棱的中点连线为正方形，其对角线为圆柱底面的直径，圆柱的高为四棱锥的高的一半，分别求解可求出圆柱的侧面积.【详解】由题可知，四棱锥是正四棱锥，四棱锥的四条侧棱的中点连线为正方形，边长为，该正方形对角线的长为1，则圆柱的底面半径为，四棱锥的底面是边长为的正方形，其对角线长为2，则四棱锥的高为，故圆柱的高为1，所以圆柱的侧面积为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.15、－1【解析】

分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．【详解】若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案为：1．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．16、；【解析】

由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)3x﹣y﹣2＝1；(2)（x﹣4）2+（y﹣1）2．【解析】

（1）根据两直线垂直的性质，设出所求直线的方程，将点坐标代入，由此求得所求直线方程.（2）利用圆心到直线的距离求得圆的半径，由此求得圆的方程.【详解】（1）根据题意，设要求直线的方程为3x﹣y﹣m＝1，又由要求直线经过点（1，1），则有3﹣1﹣m＝1，解可得m＝2；即要求直线的方程为3x﹣y﹣2＝1；（2）根据题意，设要求圆的半径为r，若直线l与圆相切，则有r＝d，则要求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2．【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.18、（1）（2）见解析【解析】

（1）弄清题意，将相关数据代入齐奥尔科夫斯基公式：，即可得出各个等级的速度对应的的值；（2）弄清题意与相关名词，火箭起飞质量即为，将公式变形，分离出，解不等式即可得，的最小值为.【详解】（1）由题意可得，，，且，，当达到第一宇宙速度时，有，；当达到第二宇宙速度时，有，；当达到第三宇宙速度时，有，.（2）因为希望达到，但火箭起飞质量最大值为，，，即，得，的最小值为比较（1）中当达到第三宇宙速度时，；火箭起飞质量为，此时，达到，但火箭起飞质量最大值为，的最小值为.由以上说明实际意义为：不是火箭的推进剂质量越大，火箭达到的速度越大，当减少推进剂质量，增大火箭发动机喷流相对火箭的速度，同样可以达到想要的速度.【点睛】本题是一个典型的数学模型的应用问题，用数学的知识解决实际问题，这类题目关键是弄清题意；建立适当的函数模型进行解答．属于中档题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用同角三角函数的平方关系可求出的值，然后再利用同角三角函数的商数关系可求出的值；（2）在分式分子和分母中同时除以，将所求分式转化为含的分式求解，代值计算即可.【详解】（1），，因此，；（2）原式.【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系求值，同时也考查了弦化切思想的应用，解题时要熟悉弦化切所适用的基本情形，考查计算能力，属于基础题.20、（1）见证明；（2）见证明【解析】

（1）由，得，两式作差可得，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法求得数列的和，即可作出证明.【详解】（1）证明：由，得，两式作差可得：，即，即，又，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可得，数列的通项公式为，又由，所以.所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及数列“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和通项，以及合理利用数列的“裂项法”求得数列的前n项和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21、（1）；（2）【解析】

（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.【详解】（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，所