河南省洛阳中学2023-2024学年高一下数学期末经典试题含解析

河南省洛阳中学2023-2024学年高一下数学期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，则（）A．或 B． C． D．2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a43．设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或的等比数列D．公比为或的等比数列4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．④5．三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A． B． C． D．7．下列各角中，与角终边相同的角是（）A． B． C． D．8．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（）A． B． C． D．9．函数的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．510．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设（）则数列的各项和为________12．已知是等比数列，，，则公比______.13．函数的单调增区间是________.14．设变量满足条件，则的最小值为___________15．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.16．设当时，函数取得最大值，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆心为的圆过点，且与直线相切于点。（1）求圆的方程；（2）已知点，且对于圆上任一点，线段上存在异于点的一点，使得（为常数），试判断使的面积等于4的点有几个，并说明理由。18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化简f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．19．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数；（2）求T关于x的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T不少于100元的概率.20．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，且，，成等比数列，求k的值．21．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.（1）求x，y的值；（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低.（注：方差，其中为的平均数）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由正弦定理计算即可。【详解】由题根据正弦定理可得即，解得，所以为或，又因为，所以为故选C.【点睛】本题考查正弦定理，属于简单题。2、C【解析】

在验证时，左端计算所得的项，把代入等式左边即可得到答案.【详解】解：用数学归纳法证明，

在验证时，把当代入，左端.

故选：C.【点睛】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题.3、B【解析】

根据题意可得，带入等比数列前和即可解决。【详解】根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则，又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；故选：B．【点睛】本题主要考查了利用等比数列前项和计算公比，属于基础题。4、D【解析】

利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．【详解】①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．【点睛】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.5、C【解析】

先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为，所以，所以三角形是钝角三角形.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【详解】解：由可得，则，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题.7、B【解析】

给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.【详解】角终边相同的角可以表示为，当时，，所以答案选择B【点睛】判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差整数倍.8、C【解析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】①平面，,都是直角三角形；②是直角三角形；③是直角三角形；④由得平面，可知：也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．9、D【解析】

由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.【详解】的最大值为故选：【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.10、C【解析】

利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列的通项公式为，且，所以数列的各项和为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、【解析】

利用等比数列的性质可求.【详解】设等比数列的公比为，则，故.故答案为：【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）（为公比）；（3）公比时，则有，其中为常数且；（4）为等比数列（）且公比为.13、，【解析】

先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出。【详解】因为，所以的单调增区间是，。【点睛】本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。14、-1【解析】

根据线性规划的基本方法求解即可.【详解】画出可行域有：因为.根据当直线纵截距最大时,取得最小值.由图易得在处取得最小值.故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.15、【解析】

首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程.【详解】当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短，圆：，圆心，,,直线方程是，即，故填：.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型.16、；【解析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）使的面积等于4的点有2个【解析】

（1）利用条件设圆的标准方程，由圆过点求t，确定圆方程.（2）设，由确定阿波罗尼斯圆方程，与圆C为同一圆，可得，求出N点的坐标，建立ON方程，,再利用面积求点P到直线的距离，判断与ON平行且距离为的两条直线与圆C的位置关系可得结论.【详解】（1）依题意可设圆心坐标为，则半径为，圆的方程可写成，因为圆过点，∴，∴，则圆的方程为。（2）由题知，直线的方程为，设满足题意，设，则，所以，则，因为上式对任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，与重合）。所以点，则，直线方程为，点到直线的距离，若存在点使的面积等于4，则，∴。①当点在直线的上方时，点到直线的距离的取值范围为，∵，∴当点在直线的上方时，使的面积等于4的点有2个；②当点在直线的下方时，点到直线的距离的取值范围为，∵，∴当点在直线的下方时，使的面积等于4的点有0个，综上可知，使的面积等于4的点有2个。【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，圆的第二定义，考查运算能力，分析问题解决问题的能力，属于难题.18、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin（2+）展开两角和的正弦求解．【详解】（1）由题意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（1）84；（2）；（3）【解析】

（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数；（2）根据需求量分段表示函数关系；（3）根据（1）利润T不少于100元时，即，即，求出其频率，即可估计概率.【详解】（1）估计食堂面包需求量的平均数为：（2）解：由题意，当时，利润，当时，利润，即T关于x的函数解析式（3）解：由题意，设利润T不少于100元为事件A，由（1）知，利润T不少于100元时，即，即，由直方图可知，当时，所求概率为【点睛】此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.20、（1）；（2）4.【解析】

（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解．（2）由（1），求得，再根据，，成等比数列，得到关于的方程，即可求解．【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得．所以数列的通项公式为．（2）由知，因为，，成等比数列，所以，即，解得．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式