2022－2023学年广东省广州市重点中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

2022—2023学年广东省广州市重点中学高三（上）期末数学试

卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若集合2={x|久=4人一3/6'},8={久［0+3）（久-9）40},则4门8的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知2-i（i是虚数单位）是关于久的方程/+人X+。=0（6,ceR）的一个根，贝！|b+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

3.设命题p；3x0>0,sinx0>1+cosx0>则飞为（）

A.V%<0,sinx>1+cosxB.Vx>0,sinx<1+cosx

C.Vx>0,sinx<1+cosxD.Vx<0,sinx<1+cosx

4.中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为

“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在脩解九章算法）和博法通变本

末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减

前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5

个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为（）

A.2400B,2401C.2500D.2501

5.如图，在△ABC中，点。为线段BC的中点，点E,尸分别是线段AD上靠近。，4的三等分

点，则4。=（）

A.-SE-|CFB.-CFC.-BE-CFD.-|BE-CF

6.《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图（记忆

口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰孟、坎中满、离中虚、畏覆碗、

兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“一一”

表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知两卦中至少有一卦恰有两

根阳线，求两卦的6根线中恰有3根阳线的概率为（）

7.已知函数/（%）=5也（5）+2，^32（等）-二（3>0）为奇函数，且/（X）图象的相邻两

对称轴间的距离为5若将函数/（乃的图象向右平移号个单位后得到9（久）的图象，且当XG[0,5

时，不等式27n2-m>g（%）恒成立，则相的取值范围为（）

11

A.（-8,-1]“2，+8）B.（-00,--]U[1,+00）

C.（―8,千马U[匕/,+8）D.（-8,0]U由+8）

8.在平面直角坐标系xOy中，定义4（右,月），8（%2，丫2）两点间的折线距离d（48）=%-

%2|+从一力1，该距离也称曼哈顿距离.也知点M（2,0）,N（a,b）,若d（M,N）=2,则a2_

4a的最小值与最大值之和为（）

A.0B.-2C.-4D.-6

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测.某班级体温检测员对

一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A体温℃

一甲

一乙

A.乙同学体温的极差为0.3。。B.甲同学体温的中位数与平均数相等

C.乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小D.甲同学体温的第60百分位数为36.5。。

10.若圆Q：%2+72=4与圆。2：（%-m）2+（y-n）2=4的公共弦ZB的长为2，？，则下

列结论正确的有（）

A.m2+n2-4B,直线4B的方程为mx+ny—2=0

C.4B中点的轨迹方程为/+y2=3D.四边形aGBG的面积为C

11.已知圆锥的顶点为S,高为1,底面圆的直径力C=2/石，B为圆周上不与4重合的动点,

F为线段力B上的动点，贝）

A.圆锥的侧面积为2/3兀

B.ASAB面积的最大值为C

C.直线S8与平面sac所成角的最大值为方

D.若B是泥的中点，则（SF+CF）2的最小值为10+产石

12.关于函数/（%）=2%+：+仇光，下列判断正确的是（）

A.x=是/（x）的极小值点

B.函数”久）图像上的点到直线2久-y=0的最短距离为一

C.函数以久）=/（%）-2x有且只有1个零点

D.不存在正实数鼠使/（%）>依成立

三、填空题（本大题共4小题，共17.0分）

13.1）（2尤+y）5的展开式中，/y3的系数为_.（用数字作答）

14.中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数

之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,问物几何？”现将1到200共200个整数中，

同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛厮｝，

则该数列最大项和最小项之和为.

15.已知双曲线C：9一，=l（b>0）的左、右焦点分别为&，点4在C的左支上，也交

。的右支于点B,^AFrB=y,（F^A+F^yAB=0,则C的焦距为,△小记的面积

为.

16.已知扇形POQ的半径为2,乙POQ=等如图所示，在此扇形中

截出一个内接矩形ABCD（点B,C在弧网上），则矩形4BCD面积的最

大值为•

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题10.0分)

已知各项均为正数的数列满足=1，(&i+l-anXan+l+an)=2几+1.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)记力九=赢，求数列｛%｝的前几项和%.

18.(本小题12.0分)

记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的正三角形的面积依

次为S],Sz，S3,己知£—$2+$3=浮，COSB=

(1)计算AABC的面积；

(2)若cosA=耳，求(a+b+c)2.

19.(本小题12.0分)

近年来，一种全新的营销模式开始兴起一一短视频营销.短视频营销以短视频平台为载体，通

过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需

求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的

营销空间.某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播

带货.

(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6,0.4,且小李如果第

一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”

平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7.求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概

率；

(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概

率分别为p，2p,0.5,三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且E(X)=1.7,

求p的值及X的分布列.

20.(本小题12.0分)

图①是直角梯形4BCD,4B〃CD,ND=90°,四边形力BCE是边长为2的菱形，并且NBCE=60°,

以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达G的位置，且4的=4%.

(1)求证：平面BCiE1平面ABED；

(2)在棱DC】上是否存在点P,使得点P到平面4BQ的距离为冷？若存在，求出直线EP与平

面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.

C,

21.(本小题12.0分)

已知双曲线勿：马—马='1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为&、尸2，点N(0,6),右顶点是

ab

M,且而hMF；=一1,Z/VMF2=120°.

(I)求双曲线的方程；

(H)过点Q(0,—2)的直线1交双曲线勿的右支于4、B两个不同的点(B在4Q之间)，若点H(7,0)

在以线段4B为直径的圆的外部，试求△力QH与△BQH面积之比4的取值范围.

22.(本小题12.0分)

x

已知函数/(久)=e一，a久3缶为非零常数)，记人+式%)=尸n(x)(neN),f0(x)=f(x).

(1)当比>0时，/(x)>0恒成立，求实数a的最大值；

(2)当a=1时,设。式%)=£%](%)，对任意的nN3,当x=%时,y=01tx)取得最小值,

证明：gn(tn)>0且所有点(％%1(%))在一条定直线上.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合8={x\[x+3)(x-9)<0}={x|-3<x<9},

集合A={x\x=4k-3,kEN)={-3,1,5,9,13...},

则4nB={-3,1,5,9},即元素个数为4.

故选：C.

分别化简两个集合，可得anB的元素个数.

本题考查集合的交集运算，考查集合的表示方法，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：已知2-0是虚数单位)是关于x的方程/+bx+c=0(6,ceR)的一个根，

C=

贝U(2—i)2+b(2—i)+c=0,即4一4»—1+26—瓦+c=0,Q°,

解得£二]之故6+c=l.

故选：B.

把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查命题的否定，注意存在性命题的否定为全称命题，以及不等号的变化，考查转化思想,

属于基础题.

由存在性命题的否定为全称命题，以及不等号的变化，可得所求命题的否定.

【解答】

解：由存在性命题的否定为全称性命题，可得

命题p：3%0>0,sinx0>1+COSXQ,

则~1P为Px>0,sinx<1+cosx,

故选：C.

4.【答案】D

【解析】解：不妨设第71层小球个数为。九，由题意，。2-。1=3,a3-a2=5.......,

即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，

所以a九一M一1=3+2(n—2)=2.71—l(?iZ2,荏EN*),

(a50—。49=99

故有『49—°48=97,累加可得：aso-的=49X(3+99)+2=2499,

(a24]—3

故。50=2499+2=2501.

故选：D.

依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.

本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意知：AD=-DA=-(DE+DF)=~[(DB+BE)+(DC+CF)]=-(BE+

CF)=-BE-CF.

故选：C.

根据条件可知，~DB+DC^0,AD=-(D£+DF),~DE=DB+~BE,DF=^C+~CF,然后进行向

量的数乘运算即可得出正确的选项.

本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，

属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，“八卦”中，恰好有2根阳线的“卦”有肉=3种，同理，恰好有2根阴

线的''卦”有3种,

现从八卦中任取两卦，若两卦中至少有一卦恰有两根阳线，则有或+废吗=18种情况，

其中，两圭卜的6根线中恰有3根阳线的“卦”有程废=9种情况，

故两卦的6根线中恰有3根阳线的概率P=^=1.

loZ

故选：c.

根据题意，由组合数公式分析“两卦中至少有一卦恰有两根阳线”和其中“两卦的6根线中恰有3

根阳线”的情况数目，由条件概率的定义计算可得答案.

本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题可知，函数f(%)=sin(3久)+2，^cos2(掌)-V-3=sin(a)x)+，3cos(3x)=

2sin(a)x+，),

因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为宗所以T=兀，可得3=2,

所以/'(%)=2sin(2x+-),所以g(x)=2sin[2(x-^)+1]=2sin(2x-今，

又久e[O,g,所以(2%冶)e[-抗],所以g(x)e1],

而27n2一小》g(x)恒成立，故2爪2-租》g(x)max=1,解得Hl4一争或771》1,

故选：B.

由题意得到/'(x)=2sin(2x+》则g(x)=2sin[2(x-+1]=2sin(2x-求得双久筋〜=1

即可求解.

本题考查三角函数的图象性质、三角恒等变换及恒成立问题，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：点M(2,0),N(a,b),若d(M,N)=2,

可得|a-21+\b\=2,

a2+b2—4a—(a—2)2+b2—4

=|a-2|2+\b\2-4

=(|a-2|+|b|)2—2|a—2|网—4

=-2|GL—21|b|,

2=|a—2|+网22j|a—2|网,当且仅当|a-2|=网时，取等号.

所以|a—211bl<1,

|a-2|网的最小值为0,最大值为1,

—2|a—2]网的最小值为—2,最大值为0,

a2+b2-4a的最小值与最大值之和为-2.

故选：B.

利用新定义，求解a,b的关系，然后转化求解不等式的最大值即可.

本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力，

是中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4乙同学体温的极差为36.5-36.3=0,2。。，故A错误；

对于B,甲同学体温从小到大为：

36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6,

甲同学体温的中位数是36.4,平均数是以36.2+36.2+36.4+36.4+36.5+36.5+36.6)=36.4,

••・甲同学体温的中位数与平均数相等，故2正确；

对于C,从折线图上得到甲同学体温波动比乙同学体温波动大，

，乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小，故C正确；

对于。，甲同学体温从小到大为：

36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6,

7x60%=4.2,

••・甲同学体温的第60百分位数为36.5。。，故。正确.

故选：BCD.

利用折线图的性质、极差、中位数、平均数、方差、百分位数直接求解.

本题考查折线图的性质、极差、中位数、平均数、方差、百分位数等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,圆Ci：*2+*=4与圆。2：(%—m)2+(y—n)2—4,

两圆的方程相减可得：2mx+2ny—机2—彦=o,

即两圆公共弦的方程为2znx+2ny—m2—n2-0,

圆Ci：/+必=4的圆心为(o,o),半径R=2,

圆心G到直线2nix+2ny—m2-n2=0的距离d=正+"1=十足,

而两个圆的公共弦的长为2C，

则有（浮）2=4-=；+*）2,变形可得爪2+彦=4,A正确，

对于B,由于两圆公共弦的方程为+271y-爪？—声=o,且7n2+打2=4,

故两圆公共弦的方程为27nx+2ny—4=0,变形可得mx+ny—2=0；B正确；

对于C,设4B的中点坐标为（久,y）,

由于C1C2垂直平分4B,则Q到4B中点的距离就是G到直线的距离，则有/+*=1,

即AB中点的轨迹方程为久2+川=1,c错误;

对于D,两圆的半径相等，则四边形力CiBQ为菱形，其面积S=2x0x1X2C）=2C，。正

确.

故选：AB.

根据题意，结合直线与圆的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：圆锥的底面圆的半径r=C，

圆锥的母线长为“3+1=2,则圆锥的侧面积为7rM=27-371,故A正确;

如图，平面SZC为圆锥的轴截面，。为底面圆心，则S。=1,SA=SC=2,

•••tanNSCA=/-SCA=30°,/.ASC=120°,•••0°</.ASB<120°,

V33

设“SB=8(0。<9<120°),

则SASAB=-SBsin^ASB=2sind<2,故B不正确；

根据圆锥的结构特征可知，点8在平面S4C上的投影在4c上，

又SB为定值，则当点B到直线4c的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角最大,

所以当B是弧4C的中点时，直线SB与平面S4C所成角最大，

由2C=2，^知，此时B到平面SAC距离为「，

又因为高为1,所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为60。，故C正确;

当B是弧力C的中点时，AB=BC=y/~6,

此时ASAB为等腰三角形，△ABC为等腰直角三角形，

将ASAB、ANBC沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，

取4B的中点D,连接SC,SD,

贝iJs。=I22-(―)2=—>sinzXBS=?，

\v2724

•••coszCBS=cos(90°+NABS)=-sin^ABS=一?，

•••SC2=22+6-2x2xAT6x(-邙)=10+2AT15>

4

•••(SF+FC)2>SC2=10+2AT15>

当且仅当S,F,C三点共线时等号成立，故。错误.

故选：AC.

根据圆锥的侧面积公式即可判断4；先求出N4SB的范围，再根据三角形的面积公式即可判断B；

易得当B是弧4C的中点时，直线S8与平面SAC所成角最大，由此即可判断C；将ASaB、△ABC沿

力B展开至同一个平面，结合图形即可判断D.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解：对于4：函数函数/'(久)=2久+:+"久的定义域为(0,+8),

/(久)=2—[+]=(2A?"+D,f(x)=0,可得久=2，久=—1(舍去),

当x6(0,3时，尸(久)<0,故函数在(0,；)上单调递减；

当xe(g,+8)时，f(x)>0；在弓,+8)上单调递增，

所以久=，是f(x)的极小值点，故A正确；

对于B：直线2x-y=0平行的切线设为直线2尤-y+b=0,

因为直线2x-y+6=0与函数f(x)的图像相切，设切点坐标为Qo，yo),

由广(%)=2—'+可得―=2—4+5=2,解得出=1,

所以Vo=/(I)=2+1+Znl=3,即切点为(1,3),

,|2xl-3|V-5

则切点(1,3)到直线2*—y=0的距离为4=/2=可，

12+(-1)

即函数f(%)图像上的点到直线2%-y=0的最短距离为一，故B正确；

对于C：因为g(%)=/(、)—2%=：+必％,所以1

当久6(1,+8)时，g'(x)>0,在(1,+oo)上单调递增；

当x6(0,1)时，g'Q)<0,故函数g(x)在(0,1)上单调递减；

则gQ)Wg(l)=1+"1=1,所以函数g(x)=/(Y)-2x存在两个零点，故C不正确，

对于D：由选项C可知：g(x)=f(x)—2x>0,即f(x)>2x恒成立，

所以存在正实数k,使/(久)〉依恒成立，故。错误.

故选：AB.

对于4,求解函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极小点，判断选项的正误；

对于B,求解与已知直线平行的曲线的切线方程，得到切点坐标，然后利用距离公式求解判断选

项的正误即可；

对于C,利用函数的导数求解函数的最小值与0的大小关系，然后判断零点个数，判断选项的正误；

对于D,结合选项C,判断说明即可.

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，最值的求法，考查转化思想以及计

算能力，是难题.

13.【答案】40

23

【解析】解：多项式的展开式中含//的项为?XC式2x)3y2_lx底(2久)2y3=40xy,

则％2y3的系数为40.

故答案为：40.

利用二项式定理求出展开式中含久2y3的项，由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】196

【解析】解：三三数之剩二的数为：2,5,8,11,188,191,194,197,200；

五五数之剩三的数为：3,8,13,•••,188,193,198,

••・同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是8,最大为188,

••・数列。｝最大项和最小项之和为196.

故答案为：196.

可分别列出“三三数之剩二”和“五五数之剩三”的前几项和后几项，从而可找出同时满足“三

三数之剩二，五五数之剩三”的最小和最大值.

本题考查了等差数量的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.

15.【答案】2AA7512+6AT3

【解析】解：取的中点M,则R1+及百=2月定，

因为(瓦？+及豆)•通=0,所以2铜•历=0,

所以耳Ml同，

所以|4Fi|=|&B|,设1861=%，由双曲线的定义得|2&|=I6B|=x+2a=x+6,

\AF2\=\AF1\+2a=x+12,所以|2B|=12,

在AABFi中,^AFrB=y,|*|=|&B|,\AB\=12,

所以=2C，\FrB\=4AT3,所以芯=41^一6,

在RtAaF2M中,(2<3)2+(47-3)2=4c2,

解得c=715,

则双曲线C的焦距为

因为MF2I=x+12=4c+6,

所以△ABF2的面积为：\AF2\-\F±M\=ix(4「+6)X2口=12+6c.

故答案为：25正；12+6，后.

通过向量的数量积推出=|60，利用双曲线的定义，结合余弦定理，即可求解c的值，从而

可得焦距，再由三角形面积公式求解即可.

本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】8-4<^

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档

题.

作NPOQ的角平分线。E,交力。于F,BC于E,连接。C,设NCOE=a,aG(0,3)，根据题意可知△4。。

为等边三角形，则E为8c的中点，尸为4。的中点，求出AB,8C,根据矩形4BCD的面积S=AB.BC,

利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可求出答案.

【解答】

解：作NPOQ的角平分线。E,交4。于小BC于E,连接。C,

根据题意可知△2。。为等边三角形，则E为BC的中点，F为4。的中点,

设NCOE=a,a6(0电，

CE=OCsina=2sina,贝!J4D=BC=2CE=4sina,

贝“OF==2^T3sina，

OE=OCcosa—2cosa,则AB=2cosa—2y/~3sina>

所以矩形2BCD的面积S=AB-BC—4sina(2cosa—2/3s讥a)

=4s讥2a+4y/-3cos2a-4A/-3=8sin(2a+^)—4v"3,

当2a+.》即戊=工时，S取得最大值8-4C，

所以矩形力BCD面积的最大值为8-4V3.

故答案为：8-4\T3.

17.【答案】解：(1)因为(an+i-c1n)(c1n+i+厮)=2n+1,所以a"1一磷=2建+1,

又=1,

又当九＞2时,欣=域+(«2—蕾)+(«3—谖)4----卜(W—W—1)

所以当n22时，成=1+3+5+…+(2n-1)=研节"一二=n2,

当几=1时，的=1,满足关系吗=九2,

所以W=必，n£N*,

因为册＞0,所以％1二九；

(2)由(1)知b九=嬴=£..

1n

所

以*+b++++++_

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24

2()

两式作差得盘=2+a+今+■■•+p-^TT='1_r-^TT=1一式今

所以$=2—

【解析】⑴利用累加法求出数列｛吗｝的通项公式，由此再求数列｛即｝的通项公式;

(2)利用错位相减法求数列也｝的前几项和立.

本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

22

18.【答案】角星：(l)St=|asin60°=^-a^

L4

S2=2b2s讥60°=二^炉,

L4

S3=/SM600=?C2

"Si-$2+S3=?口2+?c2=?,

解得：a2—b2+c2=2A/-2,

vcosB=Be(0,TT),

___________12

•••sinB—V1—cos2B=—,

a2+c2—Z)25

•••cosB=—,

2ac13

解得：ac=2,

SLABC=\acsinB=^.

・•.△ABC的面积为

(2)由(1)知，ac=A/_2fa=,

55c

,34

由cos/=-,AE•••sinA=

4531256

sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinB=-x—+-x—=—,

由正弦定理得：a：c=sinA：sinC=13：14,即坦2：c=13：14，

5c

解得：02=甘/2a2=喏，炉=第二，

・•.(a+b+c)2=a2+Z)2+c2+2ab+2ac+2bc

=垸4+喘4+昔C+2j骈4言＜7+2］甯

21黑卡弋《

*4+票「=卑口

【解析】(1)根据Si-52+S3=浮,求得a2-炉+c2=2。，由余弦定理求得ac的值，根据S=

|acsinB,求AABC面积.

(2)由条件易求得sinC,由正弦定理可得a：c的值，结合条件可求得a?,川，o2的值，再由完全平

方公式计算求解即可.

本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)设&="第一天选择'抖音'平台"，B[="第一天选择“快手'平台"，&="第

二天选择‘抖音'平台”，

则P(4)=0.6,P(Bi)=0.4,PQ42|4)=0.6,P{A2\B^)=0.7,

则P(4)=PQ4i)PQ42Ml)+P(BI)P(X2/SI)=0,6X0.6+0.4X0.7=0.64.

(2)由题意得，X的取值为0,1,2,3,

01

且P(X=0)=(1—p)(l-2p)(l-0.5)=p2--p+~,

Ir

p(x=Z)=p(l-2P)(1-0.5)+(1-p)•2p-(1-0.5)+(1-p)(l-2p)-0.5=f-p2>

P(X=2)=p•2p•(1—0.5)+(1-p)•2p-0.5+p-(1-2p)•0.5=|p-p2,

P(X=3)=p♦2p•0.5=p2,

所以E(X)=1p2+2(|p—p2)+3P2=05+3p=1.7,解得p=0.4.

故X的分布列为：

X0123

P0.060.340.440.16

【解析】(1)利用全概率公式即可求解；

(2)先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率p,再列出分布列即可

求解.

本题主要考查全概率公式，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

在图①中，连接4C,交BE于0,因为四边形力8CE是边长为2的菱形，且NBCE=60。，

所以ACJ-BE,且CM=OC=73，

在图②中，相交直线04OG均与BE垂直，

所以NA。。】是二面角力-BE-Ci的平面角，

因为AC】=V-6,

所以。炉+”：=温,

所以。41OCr,

所以平面BC】E1平面ABED.

(2)由(1)知，分别以直线。4OB,0G为x,y,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,

则£＞（?,—I，0），G（0,0,q），2（q,0,0）,B（0,1,0）,E（0,-l,0）,

所以西=（—号AD=（一号1,0），AB=（—C,l,0），宿=（-C,o,g，AE=

（--1,。）,

设加=a砧，Ae[0,1],

则而=而+而=而+/1近=（_?_?尢_|+|九「/1）,

设平面Cl的一个法向量元=（x,y,z）,

则（话-n=-V-3x+y=0

l/C；-n=-V3X+V~~^z=0

令％=1,则y=V~3,Z=1,

所以元=

因为P到平面ABC1的距离为Y，

斫以a-研I_|一2，3+23|_①

所"弓--j^j--q,-飞-'

解得4=p

由前=疝得（孙-殍,"+|,zp）=1一号,|,73）,

所以冲=?,yp=一|，Zp=?,

所以存=（—学I，?）,

所以前=布-荏=（?[,?）.

44N

设直线EP与平面48G所成的角为巴

所以sin。=|cos（丽，元〉|=皆需=

【解析】（1）在图①中，连接4C,交BE于。，可推出力ClBE,且。4=。。=，与，在图②中，

相交直线。40cl均与BE垂直，则乙4OG是二面角A—BE—G的平面角，由勾股定理可得。41

。的，进而可得答案.

⑵由⑴知，分别以直线04,OB,OG为x,y,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设加=疝d

Ae[0,1],可得方的坐标，求出平面4BG的一个法向量记=（x,y,z）,由于P到平面ABC1的距离为

¥，则d=嚅=-2个二川=解得九设直线EP与平面ABC1所成的角为必进而可

得答案.

本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

2

21.【答案】解：(I)由已知N(Q,b),F2(C,0),MN•MF2=(—a,6)•(c—a,0)=a—ac=

-1,

•・.乙NMF?=120°,则zJVMFi=60°,

・•・b=•••c=Va2+b2=2a

解得a=l,6=仃，・•・双曲线的方程为/—1=1.

(II)直线1的斜率存在且不为0,设直线Ly^kx-2,设A。】,月)，B(x2,y2),

y=kx—2

由y2,得(3—Ze2)/_|_4kx-7=0,

卜7一丁=1

,3—广40

△=16k2+28(3一必)>0

则V

X1+久2=色.>。

7

5=后工>0

解得C<k<C.①

•••点”(7,0)在以线段4B为直径的圆的外部，则瓦彳.丽〉0,

7M-HF=(%!-7,yi)•出一7,y2)

2

=(1+/C)X1X2—(7+2/c)(x1+g)+53

74k

=(1+/c29),-5---------(7+2fc)•—---------F53

k-3k-3

7/c2+7-8/c2-28k+53/c2-159、Cg

=---------------7----------