借助隐形的翅膀-圆解决定弦定角问题 论文

借助隐形的翅膀—圆，解决定弦定角问题摘要数学问题的探索重在揭示问题的本质，进而找到解决一类问题的通解。对于“定弦定角问题”的探究问题，主要借助于以下知识点：1）直径所对的圆周角是直角；2）90°的圆周角所对的弦为直径；3）在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等。在此基础上将问题延伸，利于学生深度思考，从而达到“解一题，会一类”的效果。关键词定弦定角数学建模问题背景新课程标准要求学生把学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程，并在建模的过程中培养学生数学应用意识，引导学生自觉地应用数学方法和数学思维去分析、解决生活中的问题。[1]因此教师在教学过程中不但要引导学生建立数学模型，更重要的是让学生在探究性教学的学习过程中，合情、合理、高效的做到自主建构模型，切实做到水到渠成。笔者发现2018年南通市中考题28题第（3）问，难度系数较大。通过钻研，笔者将此题的知识点细化，并将问题层层剖析，给学生搭建好“台阶”，进而让他（她）有迎难而上的勇气，拾阶而上。二、问题呈现[定义]如图1，A、B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A、B关于直线l的“等角点”。[运用]如图2，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，），B(-2,-)两点。图1图2若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围。图1图2从（3）中我们发现：除了要根据问题背景理解“等角点”的概念以外，关键是解决了动点P的运动轨迹问题。于是笔者主要先设置问题，遵循从“特殊”到“一般”的设计思路，建立并抽象出数学模型，并将第（3）问当成是“母问题”，并把它逐渐细化，形成若干“子问题”，顺理成章的为学生搭建好“台阶”，真正达到“拾阶而上，化险为夷”。三、问题探究，“大”题“小”做1.问题情境具体化，在同感中培养高阶思维生活中处处有数学，把数学与我们经验结合起来，让学生体会数学价值的延续性与无限性。因此课堂教学中，恰当的问题情境是探究式教学的起点和关键，问题提出的质量直接影响后续问题的探究。复杂的几何综合题，往往是若干个小知识点的综合体。因此，在通往“荆棘”的综合道路上，需要巧设小问作为台阶，层层铺垫，把简单问题搞清楚，做到“小题大作”，关联类比，这样才能从容面对“荆棘之路”，于是笔者创设下列问题情境，抽象出本节的数学模型。（1）如图3，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=90°？如果存在，点P满足什么条件？（2）如图4，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=45°？如果存在，点P满足什么条件？（3）如图5，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=120°？如果存在，点P满足什么条件？2.模型探究一般化，在提炼中培养学生高层次思维数学建模是一种重要的思想方法，在中学数学教学与解题中，作用巨大。因此，利用数学模型解决问题的数学建模教学成为数学教育改革的一个热点。在教学中若能帮助学生建立最基本的数学模型，那么学生在综合题的解决中定能如鱼得水。在上述三个问题的基础上，顺理成章的将上述问题一般化，提出第四个问题。图3（4）如图6，已知AB=a，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=α？如果存在，点P满足什么条件？图3图6图6图5图4图5图4经过激烈讨论，数学模型自然生成。[数学模型]：若AB=a（定值），P为平面内的一动点，且∠APB=α（定角），则点P的运动轨迹为：在以AB为弦，圆心角为2α的圆上运动。3.数学经验再生化，在实践中培养学生织出数学知识网数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要方式，数学活动经验需要在“做”与“思考”中沉淀。教学中教师结合具体学习内容，设计高效的探究式活动，使学生经历数学的发生、发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。[2]。因此在模型提炼的基础上需要设计数学活动，加深对模型的认识，积累一些新的活动经验，实现经验再生。如图7，在平面直角坐标系中，已知点A（2，），B（-2，-），平面内有一个动点P，满足∠APB=60°，请你提出一个有意义的问题？并解决。图7笔者设计了一个简单的开放性问题，让学生初步感受图7AB长度一定，∠APB度数也一定。知道了点P的运动轨迹是以AB为弦，圆心角为120°的圆上运动，于是学生可能提出如下问题：①求AB的长度；②点P的运动轨迹是什么？③求点P所在圆的圆心E的坐标。当学生问出第三个问题时，也是对第②个问题的再深化。单单知道点P运动轨迹是圆还不够，还要进一步理解为何在问题背景“已知AB=a，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=α？”中特地提出在直线AB的上方的原因。如图8，在平面直角坐标系中，已知A（2，）B（-2，-）两点,∠APB=60°，且P在直线AB的右下方，延长BP,作∠APC的角平分线l：y=ax+b(a≠0)图8（1）若l与圆E相交，交点为Q，判断△ABQ的形状；图8（2）求点Q的坐标。设计意图：笔者设置这一“子”问题，已经引导学生往南通市压轴题的路上无限靠拢，这一台阶的设定让学生知道：①若∠APC的角平分线l与圆E相交，若交点为Q，则△ABQ一定是等边三角形。②点Q坐标唯一确定，即Q为定点。此刻拾阶而上，提出问题（3），学生便理解了问题（2）的用途，降低了难度。（3）证明：直线l必过定点；设计意图：直线l为∠APC的角平分线，l必过点P，而l与圆E的位置关系为相切或相交。若l与圆E相交，必过定点Q；若l与圆E相切，切点一定为定点E。故第（3）问证明l过定点，便理所当然了。此刻，陈胜追击，提高学生对数学问题的认知能力，提出下一个问题。（4）如图9，若l与圆E相切时，求直线l的解析式。此刻，对学生难度有些大，如何理解直线l与圆E相切呢？教师设置台阶1：直线l与圆E可能存在哪些位置关系？台阶2：无论直线l与圆E存在什么关系，它一定过哪个定点？台阶3：直线l与圆E相切时，过不过定点Q？台阶4：直线l与圆E相切时，切点到底在哪里？有没有思路？在这样的追问下，学生渐入佳境，真正感受到这四个问题之间的连接点，以“小”见“大”，环环相扣，此刻再补“一刀”，提出下一个问题。（5）如图10，若P在弧BQ（包括端点）上运动，求b的取值范围。设计意图：感受直线l与y轴交点的变化与切点Q有关，若l为圆E的切线，此时的b值最小，当点P在弧BQ上运动时，b的值逐渐增大，但直线l不能与x轴平行。故b的临界值有三个。图11图10图9图11图10图94.“子”问题的设计思路流程化，“母子”浑然天成如图11，“子”问题是铺垫，是垫脚石，它们以点P的运动轨迹为主线，对特殊的直线l展开两方面的研究。先从直线l与圆的一般的关系--相交出发，找到突破点，研究透彻特殊直线l过特殊点。由此进行类比、迁移，考察直线l与圆的特殊的背景下，是否也恒过这个特殊点。在这样的思维认知下，方能从容面对问题（5）。这样，再回首“问题呈现”，立刻茅塞顿开，达到化“干戈”为“玉帛”的效果。解决问题，总结提升如图12，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，），B(-2,-)两点。（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围。图12图12图12图12小结：本题在上述问题串的设置后，思路很清晰：（1）由相交，找定点；（2）由定点，找临界；（3）由转动，定范围。结语数学建模思想、转化思想作为重要的数学思想方法，在学习数学和解决问题的过程中无处不在。对于教师而言，要使学生对几何综合题有因难而上的勇气，要使复杂的综合题型无处