2019-2020学年人教A版河南省濮阳市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合4={x|x>2},8={x\1<x<3},贝()

A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2VxV3}D.{x|1<x<3}

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x-1B.y=-xC.y=-^D.y=x\x\

x

3.已知直线/和平面a,若直线/在空间中任意放置，则在平面a内总有直线/'和/()

A.垂直B.平行C.异面D.相交

4.若函数y=A(x)的定义域为摩={x|-2WA<2},值域为N={y|0WZ2},则函数y=

2(x)的图象可能是()

粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何

体的体积为()

6.在一个平面上，机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行，它在

行进过程中到经过点4(-10,0)与8(0,10)的直线的最近距离为()

A.8%-8B.8扬8C.872D.12M

7.方程2*+x-2=0的解所在的区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

8.在正方体483-48GD中，点。是四边形4脑的中心，关于直线4。，下列说法正确

的是()

A.A,O//DyCB.40〃平面BxCDy

C.4aLscD.4OL平面4区。

9.已知圆心(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是()

A.x+y+Ax-2y-5=0B.x+y-4x+2y-5=0

C.x+y+^x-2y=0D.x+y-4A+2X=0

10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函

数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X345.156.126

y4.04187.51218.01

A・y=y(x2-l)B.y=2x-2

y=log]x

C.y=IogxD

2*~2

11.点4(-3,2),B(3,2),直线ax-y-1=0与线段46相交，则实数a的取值范围

是()

A.B.或aW-1C.-1WaW1D.a■或

12.[x]表示不超过x的最大整数，设函数h(x)=ln(x+V^7I)，则函数式(x)=[〃(x)]+M

(-x)]的值域为()

A.{0}B.{-2,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数A(x),g(x)分别由如表给出：

x123

尸(x)211

x123

g(x)321

则当fig(x)]=2时，x=.

14.设三棱锥P-ABC满足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值

为.

15.在平面直角坐标系x分中，圆G的方程为寸+/-4*+2y=0.若直线X=3A+6上存在一

点只使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数6的取值范围是.

16.已知正实数a满足a"=(9a)8s,则log.(3a)的值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设全集为尺集合4={x|2WxV4},集合H{x|3x-7》8-2x}.

(1)求4U5;

(2)若a{x|a-1W>O3},AV\C=A,求实数a的取值范围.

18.已知的三个顶点分别为/(-4,0),B(0,2),G(2,-2),求：

(1)46边上的高所在直线的方程；

(2)△48C的外接圆的方程.

19.我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量y件与销售单

价x元可以用(3VxV14)这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日

均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日

均销售利润的最大值及此时的销售单价.

20.如图，在正方体Z83-48G4中，£是/U的中点，求证：

(I)4c〃平面BDE；

(II)平面4/QL平面BDE.

21.已知定义域为R的函数A(x)=———2是奇函数.

2x+a2

(I)求实数a的值；

(II)判断函数》(x)的单调性，并用定义加以证明.

22.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道

总宽度4?为6届，行车道总宽度仇;为2百血侧墙£4、2高为2m,弧顶高椒为5m.

(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；

(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差

至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|x>2},B={x\1<x<3},则4(15=()

A.[x\x>2]B.{x|x>1}C.[x\2<x<3]D.U|Kx<3}

【分析】直接利用交集运算求得答案.

解："：A={x\x>2],B={x\1<x<3},

：.Ar\B={x\x>7}n[x\1<X<31=[x\2<x<3].

选

孙

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A.y=x-1B.y=-xC.D.y=x\x\

x

【分析】本题根据函数的奇偶性的定义，和单调性的定义对选项分别判断，即可得出正

确选项.

解：由题意，可知：

对于/：y=x-1不是奇函数，不符合题意；

对于8:y=-f在R上为减函数，不符合题意；

对于G-.y=-▲在（-8,0）,（0,+°°）上分别为增函数，但在整体区间不为增函

x

数，不符合题意；

%2,x.0

对于〃：y=x\x\=-,图象如下：

-x2,x<0

结合图象，可知y=x|x|既是奇函数又是增函数.

故选：D.

3.已知直线/和平面a,若直线/在空间中任意放置，则在平面a内总有直线〃和/()

A.垂直B.平行C.异面D.相交

【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种:

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直

线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直.

解：当直线/与平面a相交时，

平面a内的任意一条直线与直线/的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，

故8错.

当直线/与平面a平行时，

平面a内的任意一条直线与直线/的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，

故。错.

当直线a在平面a内时，

平面a内的任意一条直线与直线/的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，

故C错.

不管直线/与平面a的位置关系相交、平行，还是在平面内，

都可以在平面a内找到一条直线与直线/'垂直，

因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故/正确.

故选：4

4.若函数y=A(x)的定义域为4{x|-2W忘2},值域为N={y|0Wj<2},则函数尸

2(x)的图象可能是()

【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.对

4不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对夕满足函数定义，故可知

结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对。值域当中有的元素没有原象，故

可否定.

解：对/不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对夕满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，

从而可以否定；

对。因为值域当中有的元素没有原象，故可否定.

故选：B.

5.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于与，如图，网格纸上的小正方形的边长为1,

8

粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何

体的体积为（）

【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果.

解：根据几何体的三视图：

转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成.

95

由于兀=16・g=10,

o

所以：兀

故：V金叵.

3

故选：C.

6.在一个平面上，机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕，点顺时针而行，它在

行进过程中到经过点4(-10,0)与8(0,10)的直线的最近距离为()

A.8近-8B.8扬8C.872D.12a

【分析】由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离.

解：机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行，

在行进过程中保持与点C的距离不变，

二机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示；

'：A(-10,0)与8(0,10),

二直线/夕的方程为」^■工=1,即为x-yH0=0,

-1010

则圆心C到直线48的距离为d=卜：°+1吐=8\历>8,

V1+1

二最近距离为8%-8.

故选：A.

7.

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【分析】令A(x)=T+x-2,由A(0)2(1)<0,可得A(x)的零点所在的区间为(0,

1）,即方程2*+x-2=0的解所在的区间为（0,1）,从而得出结论.

解：令5（x）=2*+x-2,由于A（0）=-2<0,f（1）=1>0,

/.f（0）f（1）<0,根据函数零点的判定定理可得尸（x）的零点所在的区间为（0,1）,

故方程2'+x-2=0的解所在的区间为（0,1）,

故选：B.

8.在正方体48面-48G〃中，点0是四边形48曲的中心，关于直线40,下列说法正确

的是（）

A.A、。"D、CB.40〃平面&CD、

C.AQLBCD.40>L平面

【分析】推导出4。〃5GOD//ByDy,从而平面平面5第，由此能得到40〃平面

BxCD,.

解：•.•在正方体453-48G4中，点0是四边形/坑步的中心，

：.AyD//B^G,OD//ByDy,

Z?l-lDO=D,B\D\C\BtC==Bi,

二平面4%〃平面5必，

平面A,DO,

.♦.40〃平面ByCLk.

故选：B.

9.已知圆心（-2,1）,其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）

A.x+y+^x-2y-5=0B.x+y-4A+2JZ-5=0

C.x+y+4x-2y=0D.x+y-4x^2y=0

【分析】根据题意，设直径的两个端点分别4（a,0）、B（0,6）,由中点坐标公式可

得a、6的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案.

解：设直径的两个端点分别/(a,0)、B(0,6),

圆心C为点(-2,1),

由中点坐标公式得等=-2,粤=1，

解得a=-4,b=2.

二半径r=V(-2+4)2+(l-0)2=V5»

.•.圆的方程是：(jr+2)2+(y-1)2=5,x+y+4x-2y=0.

故选：C.

10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函

数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X345.156.126

y4.04187.51218.01

A.y9(x"-l)B.y=2x-2

C.y=Iog2xD.V1°gj_x

2

【分析】把各组数据代入，逐个检验即可选出最接近的一个.

解：对于选项4:各组数据都很接近，故尸告(乂2-1)可以近似地表示这些数据的规律,

对于选项8:当x=5.15时，y=8.3,与实际数据相差较大，当x=6.126时，y=10.252,

与实际数据相差较大，故选项8不合适，

对于选项C;当％=4时，y=2,实际数据相差较大，故选项C不合适，

对于选项。：y=log；x是减函数，显然不符合题意，

故选：A.

11.点4(-3,2),B(3,2),直线ax-y-1=0与线段48相交，则实数a的取值范围

是()

A.B.a01或aWTC.-1WaW1D.

【分析】由直线ax-y-1=0的方程，判断恒过"(0,-1),求出自与府，结合图象,

求出满足条件的直线斜率的取值范围

解：由直线ax-v-1=0的方程，判断恒过夕(0,-1),

如下图示：

结合图象可得：实数a的取值范围是：aW-1或a21.

故选：B.

12.[x]表示不超过x的最大整数，设函数h(x)=ln(x+V^^i)，则函数Ax)=[/?(%)]+[/»

(-x)]的值域为()

A.{0}B.{-2,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

【分析】易知〃(-X)=-〃(x),则A(x)=[A(x)]+[-h(x)],结合[x]的定义

即可求得值域.

2+2=22

解：h(x)+h(-x)=ln(x+7x+l)ln(-x+^/x+l)ln(x+l-x)=0，即，(-x)

=-h(x),

.•"(x)=%(x)]+[-A(x)],

当万(x)GZ时，f(x)=0；当万(x)&Z时，f(x)=-1；

则函数f(x)的值域为{-1,0}.

故选：D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数尸（x）,g（x）分别由如表给出：

X123

f（X）211

X123

g(x)321

则当f\.g(X)]=2时，x=3.

【分析】利用函数的定义即可得出.

解：由表格可知：f(1)=2,-f\.g(x)]=2,：.g(x)=1,而g(3)=1,；.x=3.

故答案为3.

14.设三棱锥P-ABC满史PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为

境

亍一

【分析】当平面■平面时，该三棱锥的体积取最大值，取四中点。连结如，

则如J■平面/8C,由此能求出该三棱锥的体积的最大值.

解：设三棱锥P-48C满足〃=加=3,AB=BC=CA=2,

当平面月以L平面/6C时，该三棱锥的体积取最大值，

取四中点D,连结PD,则PD1.平面ABC,

3JPA2-AD2=2%,

/.该三棱锥的体积的最大值为：

XSAABCXPD=yXyX2X2Xsin60"乂加=孚.

15.在平面直角坐标系x分中，圆，的方程为4+/-4x+2y=0.若直线V=3A+6上存在一

点、P,使过户所作的圆的两条切线相互垂直，则实数6的取值范围是-17W6W3.

【分析】由题意可得圆心为C(2,-1),半径r=遍，设两个切点分别为/、B,则由

题意可得四边形川田为正方形，圆心到直线尸3妙。的距离小于或等于必二同，由

点到直线的距离公式列式求得实数6的取值范围.

解：圆C:f+/-4A+2y=0化为(x-2)2+(j*+1)2=5,

圆心C(2,-1),半径为r=依，如图，

设两个切点分别为4B,

则由题意可得四边形PACB为正方形,

故有PC=：［2r=41d>

二圆心到直线y=3/6的距离小于或等于PC=-flQ,

即|3X2-l/jT)+bl4万,解得-17W6W3.

V10

故答案为：-17W6W3.

16.已知正实数a满足a'=(9a)8a,则log,(3a)的值为—.

-16一

【分析】正实数a满足a"=(9a)8\两边取对数可得alog招=8alog.(9a),化简整理,

进而得出结论.

解：正实数a满足a'=(9a)力

则alogaa=8aloga(9a),

A1=8(loga9+1),

77

•••Iog9=--,Iog3==—.

a8a16

贝loga(3a)=1+loga3=1-2=咯1,

1616

故答案为：—.

16

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设全集为用集合/={x|2WxV4},集合为{x|3x-708-2x}.

(1)求/US;

(2)若a{x|a-1Wx<>3},AQC=A,求实数a的取值范围.

【分析】(1)化简集合6,根据并集的定义写出4U8;

(2)根据41"1餐4知4UC,由题意列不等式求出a的取值范围.

解：(1)集合/={x|2WxV4},

集合B={x|3x-7》8-2x}={x|x23},

.•./U4{x|x，2};

(2)由a{x|a-1W后m'3},且4ng4,

：.AQC,

由题意知存。，

.fa-l42

…la+3》4'

解得1WaW3,

实数a的取值范围是1WaW3.

18.已知的三个顶点分别为/(-4,0),B(0,2),C(.2,-2),求：

(1)48边上的高所在直线的方程；

(2)的外接圆的方程.

【分析】(1)由48的斜率的48上的高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程；

(2)设三角形外接圆的一般方程，再代入三个点的坐标，解方程组可得.

解：(1)直线48的斜率为压,48边上的高所在直线的斜率为-2,......................……

则48边上的高所在直线的方程为jH-2=-2(x-

2),................................................................

即2j(+y-2=

0...............................................................................................................................................

(2)设的外接圆的方程为〉2+夕+。/£>+-0..............................................

J⑪+F+i6=0(D=2

由'2E+F+l=0,解之可得(E=2............................................................................•

L2D-2E+F+8=0IF=-8

故的外接圆的方程为x+y+2x^2y-8=0.....................................................

19.我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量y件与销售单

价x元可以用尸公+6(3VxV14)这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日

均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日

均销售利润的最大值及此时的销售单价.

【分析】由题意可得〃=-40,6=560,所以日均销售量y件与销售单价x元的函数关

系为y=-40A+560(3<X<14),日均销售利润Q=(x-3)(-40A+560)=-40(x

-17A+42)=-40[(X-—)2--],(3Vx<14),再利用二次函数的性质即可求

24

出0的最大值.

初七前著尸(400=4k+b.|k=-40

解：由题意，付｛,解传〈，

[240=8k+blb=560

所以日均销售量y件与销售单价x元的函数关系为y=-40妙560(3<x<14),

日均销售利润Q=(x-3)(-40/560)=-40(f-17A+42)=-40[(x--)2-上土|,

24

(3<x<14),

17191

当x=*,即x=8.5时，”=(-40)X(七与=1210,

所以当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润最大，最大值为1210元.

20.如图，在正方体48缈-48G4中，£是>44的中点，求证：

(I)4c〃平面BDE-,

(II)平面44C_L平面BDE.

【分析】(I)连接/C交他于。，连接£0,△44C中利用中位线，得&7〃4a再结合

线面平行的判定定理，可得4c〃平面80E；

(〃)根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到"劭.再结合正方

形的对角线互相垂直，得到4cL即,从而得到劭_L平面44C,最后利用面面垂直的判定

定理，可以证出平面4/£L平面劭E

【解答】证明：(I)连接47交劭于0,连接£0,

；£■为的中点，。为的中点

二£0为△44C的中位线

：.EO//AyG

又,：Eg平面BDE,4H平面BDE

.♦.4C〃平面BDE\…

(II)平面48曲，BDa平面ABCD

:.AAJBD

又；四边形48，步是正方形

C.ACLBD,

'：AAyr\AC=A,4Ct平面44C

二故_L平面AyAC

义•：Bg平面BDE

二平面44CJ"平面应应…

(I)求实数a的值；

(II)判断函数A(x)的单调性，并用定义加以证明.

【分析】本题第