2020-2021学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖北省鄂州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复平面上表示复数z=1-i（i为虚数单位）的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.数据X],X2,X3,后，X5的平均值为4,V，”，＞3的平均值为5,则这八个数的平均值为

（）

QQR

A.3B.4C.—D.—

28

3.已知mb,c为△ABC三个内角4,B,C的对边，人=2,A=45°,C=75°,则a=（）

A.逗B.返C.272D.加

33

4.“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

5.定义向量工，%的一种运算：gX运算结果是一个向量，它的模是N＞＜3=lnRlsinV

Z，E＞，其中＜Z，表示向量：E的夹角.已知向量|曰=1，|"3=2,且V：

=后",则导3=（）

A.1B.-1C.yf2D.-^/3

6.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随

机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

10555

7.设小，”为两条直线，a,0为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若m_La,n±p,a_L0,则

B.若加〃a,加〃0,n//a,〃〃印则。〃0

C.若m_L小a〃由m//则〃_L0

D.若m〃a,a±p,nep,贝！J/n_L〃

8.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的

历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A,。处分别测

塔顶的仰角为30°,45°,60。，且肘=8,=&豆米，则文星塔高为（）

9

c

A.20米B.亚米C.毁米D.30米

33

二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得。分，全对得5分，共20分）

9.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是（）

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没有中靶

10.过正方体棱上三点D,E,F（均为棱中点）确定的截面过点P（点尸为BBi中点）有

()

DB

11.下列说法正确的是（）

A.标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差

越小，数据离散程度越小

B.若数据X”X2,•，儿的平均数为彳，数据y””，…，%的平均数为如果满足力

=3xi+l,”=3及+1,…，yn=3xtl+\,则y=3x+l

C.如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的

D.若数据X2,…，光”的方差$2=0,则H（i=l,2,…，拉）都相等

12.设Ox,Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同

向的单位向量.若向量而=X61+〉02，则把有序数对（X，y）叫做向量而在斜坐标系

xOy中的坐标，计作而=(x,y).己知在斜坐标系xOy中，向量OA=(X[,yj、

OB=(X2，y2),则下列结论正确的是()

A.AB=(X2-X1»yg-yj)

B.若水_]_无，则箝及+丫1弊=°

2+2

c.IABI=ij(x1-x2)(y1-y2)

D.右AP=LPB，则op=(--三2,.1

'1+入1+入'

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.写出一个复数z满足实部和虚部互为相反数，且l<|z|<2,z=.

14.鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采

用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则

该校高一年级男生有人.

15.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现

有阳马侧棱长为4,且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱

形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为.

16.已知a,b,c为AABC三个内角A,B,C的对边，且2cosc+2百sinC-b-c=0,a

=2,则A=_____________________,若上述条件成立时，则弛空■的最大值

b+c

为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写

出文字说明、演算步骤或推理过程)

17.已知复数z=+(m2-3»i)i(m€R,，为虚数单位).

(1)若z为纯虚数，求实数，”的值；

(2)当机=2时，复数z(l+i)是关于x的方程2%2+px+q=0的一个根，求实数p,«的

值.

18.某校对2021年春高一期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，

将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]

分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的均值；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数.

甦

疑

0.0200..........................................................................i

0.0100......................................................................................

0.0075.............................•]---------

0.0050..............................................

0.002S.............................................................................................

Ly—1.iiiiii.

'30507090110B0150分数

19.从①2cosBsinC=sinA,@sinBsinC=co③(〃之+按)sin(A-8)=(a?-b2)sinC

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

B

TT

问题：已知a,b,c为锐角△4BC三个内角4,B,C的对边，若NA=-，，点

E是AB的中点，点厂是AC的中点，将△4£：/沿EF折起，使平面平面EFCB,

如图，求异面直线与EF所成的角的余弦值.

20.某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：

在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，

每答错一题，则扣除总分中的10分(假设答题只有对与错两种结果).根据以往统计结

果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为,，等，a,假设解答这三题结果彼此独

立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为X.求：

(1)已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为《，求该学生恰能答对三题中的一

0

题的概率；

(2)已知a=4,求总分X不低于50分的概率.

2

21.已知三棱柱ABC-481cl棱长均为2,且点Ai在底面△ABC的投影为△ABC的中心O,

点。为棱的中点.

（1）证明：直线AG〃平面403：

（2）求二面角B-AA\-C的余弦值.

22.已知a,b,c为△ABC三个内角A,B,C的对边，且c=4,h=5,a=6,线段BC边

对应的高为A£>,ZVIBC内心、重心、外心、垂心依次为点/、G、0、H.

（1）求△A8C中高A。的长度；

（2）欧拉线定理：设aABC的重心，外心，垂心分别是G,0,H,则G,O,4三点共

线，且|0”|=3|0G|.请合理运用欧拉线定理，求同•房的值.

D

参考答案

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复平面上表示复数z=l-i（i为虚数单位）的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：复平面上表示复数z=l-i（i为虚数单位）的点（1,-1）在第四象限.

故选：D.

2.数据XI,X2,X3,X4,X5的平均值为4,y”y2,a的平均值为5,则这八个数的平均值为

（）

A.3B.4C.—D.—

28

解：设这8个数的平均数是7，

_11OR

贝（Jx=W（xi+x2+x3+%4+/5+yi+y2+y3）=—（5X4+5X3）=­—,

88o

故选：D.

3.已知a,6,c为△A8C三个内角A,8,C的对边，Z?=2,A=45°,C=75°,则a=（）

A.乎B.乎C.2&D.&

oJ

解：因为6=2,A=45°,C=75°,

所以8=180°-A-C=60°,

,2X返

所以由正弦定理1r―7，可得。=注9=—尸^=型号.

sinAsinBsinBA/33

T

故选：A.

4.“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

解：由棱柱的定义可知，棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，

故“几何体为棱柱”可以推出“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”，

但由两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面是全

等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，

故“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”不能推出“几何体为棱柱”，

综上所述，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的必要不

充分条件.

故选：B.

5.定义向量2E的一种运算：gX运算结果是一个向量，它的模是RxE|=|』R|sin<

W，b>,其中<Z，表示向量Z，E的夹角.已知向量|曰=1,后1=2,且b>

=哈，则N铲（）

A.1B.-1C.yf2D.-^3

解：由定义可得耿in<：b>=lX2Xsini2L=l.

故选：A.

6.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随

机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

10555

解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，

从中不放回地依次随机摸出2个球，

第二次摸到红球的情况有两种：

①第一次摸到红球，第二次摸到红球，概率为：Pi=Vx?=W，

②第一次摸到黄球，第二次摸到红球，概率为：

5410

则第二次摸到红球的概率为P=P"2=^*=_|.

故选：D.

7.设机，n为两条直线，a,。为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若m_La,n±p,aJ_0,则"?_L〃

B.若加〃a,机〃0,n//a,〃〃印则。〃0

C.若加_L〃，a〃0,m//a,贝lj相J_0

D.若m〃a,a±p,nep,则

解：若加J_a,n±p,a±p,如图,

设aA0=/,在直线/上任取一点0,在平面a内过。作08，/,贝ij。8，仇

V/ilp,：.n//OB,在平面0内过。作O4JJ,则OA_La,

V/n±a,：.m//OAf而NA03为直二面角a-/-0的平面角，则NAO5为直角，

则加_1_〃，故4正确；

若"2〃a,加〃0,几〃a,〃〃即可得a〃0或a与0相交，故8错误；

若机，相〃a,则〃ua或〃〃a或"与a相交，而a〃由则〃u0或〃〃0或〃与0相

交，故C错误；

若"z〃a,a±p,则或m〃0或加与0相交，而〃U0,则机〃〃或机与〃相交或相

与n异面，故D错误.

故选：A.

8.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的

历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A,B,C处分别测

塔顶的仰角为30°,45°,60。，且研=80=亚豆米，则文星塔高为（）

i9

RR

c

A.20米B.孕D.30米

解：设塔顶为尸，塔底为0，高度P0=/?,

则PAgJ厂⑦，PBWh,PC=肃厂挈,

在△P84和△P3C中利用余弦定理，则:

(¥「32谒

cosZ^PAB-70巫~~

2X—g—><V2h

z70^/6、2门242

(―^―)+2/-6

yo

cosZ:PBC-

7076~~二

2又一--X&h

因为NPBA+NP8C=180°，故cos/P8A+cos/P8C=0,可得:

.70^/6c2/2,70第1、2c242

(―^)x+2h'-4h'(—^-)+2h^-hz

y_yoT

70A/6I—70A/6L

2X—^-X^h2X—^X^2h

解得h片或h片（舍去）.

故选：B.

二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）

9.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是（）

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没有中靶

解：某人打靶时连续射击两次，

对于A，事件”至多一次中靶"与事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，

故A错误；

对于8,事件“两次都中靶”与事件“恰有一次中靶”不能同时发生，是互斥事件，故8

正确；

对于G事件“只有一次中靶”与事件“恰有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，

故C错误；

对于。，事件“两次都没有中靶”与事件“恰有一次中靶”不能同时发生，是互斥事件,

故。正确.

故选：BD.

10.过正方体棱上三点D,E,F（均为棱中点）确定的截面过点P（点尸为BBi中点）有

DBDB

解：对于A：确定的截面过点P,如图所示:

故A正确;

对于8：确定的截面过点P,如图所示:

故B不正确:

对于C：确定的截面过点P,如图所示:

故C不正确；

对于。：确定的截面过点尸，如图所示:

G

故。正确.

故选：AD.

11.下列说法正确的是（）

A.标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差

越小，数据离散程度越小

B.若数据XI,X2,…，X”的平均数为7,数据V，”，%的平均数为如果满足?

=3x1+1,”=3叫+1,…，_X"=3X”+1,则y=3x+l

C.如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的

D.若数据右,X2,X”的方差$2=0,则Xi（i=l,2,n）都相等

解：对于4根据方差和标准差的性质标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准

差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小，故A正确：

对于8：若数据汨，及，--%的平均数为彳，数据"，”，…，为的平均数为J如果满

足yi=3xi+l,y2=3x2+1,…，yn=3x„+l,则

—（3x,+l）+（3x+l）+...+（3x+1）_

y=----J--------2-------------2——=3x+「故B正确；

n

对于C：如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据不一定对称的，故C错

误；

对于。：若数据XI,X2,…，X”的方差S2=0,则2,〃）都相等都等于平均

值，故。正确.

故选：ABD.

12.设。x,Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，epe2分别是与x轴、y轴正方向同

向的单位向量.若向量而=xe[+ye2，则把有序数对（％，y）叫做向量而在斜坐标系

xOy中的坐标，计作而=（x,y）.已知在斜坐标系xOy中，向量OA=（X[,y]）、

0B=（X2，y2），则下列结论正确的是（）

A.AB=(x2-xr了271)

B.若水,而，则为X2+yiy2=0

2+2

c.IABI=^（x1-x2）（y1-y2）

D-若屈=入而，则而=（"；；"'"；?2）

1+A1+A

解：对A：-^g=Qg_Q^=（X2,y2）-（xi,yi）=（X2-xi,y2-yi）,故A正确；

..,,••—*•—••

对B：若OA,OB，艮P有OA，OB=（即2]+川62）>^2e^+y2e2）=xix2e/+幻）】2e】•

••••A/O,_、、

€2+）偌e/ez+yye22=幻及+吃-（xi>2+yix2）+yi>2,不一定等于0,故B错误；

对C：*^g=OB-O^=（X2e1+y2e2）-（-«iej+yie2）=（及-加）ej+（^2-yi）e2>

则I同2=（x2-xi）2+（yz-yi）2+1/2G2-X1）（户-yi），故C错误；

对O：若亚=入丽即而-示=入<0B-0P））所以（1+入）OP=OA+X0B=（xi,巾）

_.x,+入Xcy.+Xy

+入（X2,72）=（X1+M2,yi+人>2）,则OP=（―5-------..........o...,故。正确.

1+A1+A

故选：AD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.写出一个复数z满足实部和虚部互为相反数，且l<|z|V2,z=1-i（答案不唯一）

解：结合题意使得实部和虚部是互为相反数且平方和在（1,4）即可，

比如：1-i,

故答案为：1-i.

14.鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采

用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则

该校高一年级男生有500人.

解：某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样

本，

该校高一年级男生有x人，则该校高一女生有800-x人,

；样本中男生比女生多8人,

x800-x

A32X-32X1oF=8

800

解得x=500.

则该校高一年级男生有500人.

故答案为:500.

15.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现

有阳马侧棱长为4,且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱

形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为367T.

解：水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，转换为平面图

为边长为2和4的矩形；

由于阳马侧棱长为4,

故该几何体如图所示：

设四棱锥体的外接球半径为R，

所以(27?)2=22+42+42,

解得R=3,

AQ

所以？球=§•兀=36兀・

故答案为：36n.

16.已知a,b,c为△ABC三个内角A,B,C的对边，且2cosc+2j§sinC-6-c=0,a

=2,则人==，若上述条件成立时，则独出的最大值为5.

—3-b+c--------

解：因为2cosc+2j^sinC-b-c=0,。=2,可得〃cosC+正〃sinC-b-c=0,

由正弦定理得，sirL4cosC+y§sirL4sinC-sinB-sinC=0,

因为8=n-A-C,

则sinAcosC+^/^sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0,

所以J^sinAsinC-cosAsinC-sinC=0

又sinC^O,

所以Fsirb4-cosA=l,

JTK1

则2sin(A——)=1,即sin(A——)=—,

662

又Ae(0,n),

则AT=空，故4=与，

663

,2,22i,2,2.

在AABC中，根据余弦定理cosA="二，即《=旦=二1,

2bc22bc

所以按+c2=4+bc,

所以h2+c2+2hc=4+3Z?c,BP(〃+c)2=4+3。。,

所以b+c=.4+3bu

由基本不等式炉+c222/?c得，当且仅当Z?=c时取等号，即4+bc22/?c,所以bcW4,

故4+3bcW16,所以44+3bcW4,

所以原式我日'':&：＞c+4+4----4

b+cb+c

设A/4+3bc=/b,c>0,

因为话前W4,故2V/W4,

设/(f)=升告，故/(力在(2,4］上递增，

4

所以「(力nuix=f(4)=4+3=5,

4

所以迎军的最大值为5.

b+c

jr

故答案为：5.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写

出文字说明、演算步骤或推理过程)

17.已知复数2=(.m2-2m-3)+(m2-3in)i(ni6R,，为虚数单位).

(1)若z为纯虚数，求实数机的值；

(2)当〃?=2时，复数［(1+i)是关于x的方程2%2+px+q=0的一个根，求实数p,q的

值.

2-2m-3=0

解：(1)若z为纯虚数，则｛m_解得〃--I.

(2)当m=2时，复数z=-3-2i,则z(l+i)=-5-i，

-5-i是方程2/+如+4=0的一个根，：.2(-5-i)2+p(-5-z)+q=0,

整理得(48-5p+q)+(20-p)i=0.

根据复数相等，有[48-5p+q-°，解得「=20

[20-p=0.Iq=52

18.某校对2021年春高一期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生,

将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),|110,130),[130,150]

分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的均值；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数.

频率

0.0200

0.0100

0.0075

0.0050

0.002S

解:(1)数学成绩在：[30,50)频率0.0050X20=0.1,[50,70)频率0.0050X20=0.1,

[70,90)频率0.0075X20=0.15,[90,110)频率0.0200X20=0.4,

[110,130)频率0.0100X20=0.2,[130,150]频率0.0025X20=0.05

样本均值为：40X0.1+60X0.1+80X0.15+100X0.4+120X0.2+140X0.05=93,

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩的均值为93分；

(2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95,

因此，80%分位数位于[110,130)内，由110+20Xa42鼻=115，

U.95-。.75

可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分；

19.从①2cosBsinC=sinA,@sinBsinC=co③(用+按)sin(A-3)=(a2-b2)sinC

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

A*

问题：已知小b,c为锐角△ABC三个内角4,B,C的对边，若/A=，，点

后是A8的中点，点尸是AC的中点，将AAE尸沿E尸折起，使平面HEr，平面

如图，求异面直线W8与政所成的角的余弦值.

解：选择①2cos8sinC=sinA，

V2cosBsinC=sinA,/.2cosBsinC=sin(B+C),

B|J2cosBsinC=sin^cosC+cosBsinC,Asin(B-C)=0,

：.B=C,故△ABC为等腰三角形.

选择②sinBsinC二cos2争

・・・□・「_2A••口・c_l+cosA

・sinDSinC-cos-»••sinDsinC=---------'

2sinBsinC=1+cosA=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,

cos(B-C)=1,：.B=C,J△ABC为等腰三角形.

选择③(4+按)sin(A-8)=(。2-按)sinC：

,:(。+按)sin(A-B)=(〃2-2)sinC,

:.(a2+fe2)(sin(A-B))=(足-6)sin(A+B),

展开得：(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-Z?2)CsinAcosB+cosAsinB),

2/?2sinAsin8=2«2cosAcosB,bcosB=acosA,

sin2B=sin2A,

•••△ABC为锐角三角形，・・.8=A,.'.△ABC为等腰三角形.

jr

••,/A'-，•'•△ABC为等边三角形.

o

取EF中点G连接A'G、GB、GC、A'B、A'C,

•.•平面A'E尸J_平面EFCB,

又WG_L平面EFCB,

又E、F为中点，...E尸〃BC.

二异面直线A'B与EF所成的角即为A'B与BC所成的角，

取△ABC边长为2,计算可得：A'G当'GB=GC=?，A'B=A

10,10

丁+4丁V10

在△/!'BC中，cos/A'BC=r—=^.

V105

29T29

二异面直线A'B与EF所成的角的余弦值为逗.

5

20.某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，儿何，组合各一道，竞赛记分方法如下:

在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分,

每答错一题，则扣除总分中的10分(假设答题只有对与错两种结果).根据以往统计结

果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为,，a,假设解答这三题结果彼此独

立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为X.求：

(1)已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为《，求该学生恰能答对三题中的一

6

题的概率;

(2)已知a-1，求总分X不低于50分的概率.

解：(1)小明三道题都答对概率为§x3xa=4,故a4，

4363

恰能解决三道题中的一道题的概率：vX^-4xgxgj

43343343336

(2)若三道题均答对，则X=100,p(X=100)Vx3x《4，

sxvv/4324

若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对,

则X=60,p(X=60)='J_XX-kyXX

、,43243224

若代数几何均答对，但组合未答对,

Q911

则X=50,p(x=50)吟X0X卷叶,

3O乙+

・•.P(X>50)q合丹盘

21.已知三棱柱AB