2016年初中数学各地中考解答题

如图1,A,B分别在射线OA,ON±,且/MON为钝角，现以线段OA,OB为斜边向NMON的外侧作

等腰直角三角形，分别是AOAP,AOBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.

(1)求证：△PCE^AEDQ；

(2)延长PC,QD交于点R.

①如图1,若/MON=150。，求证：4ABR为等边三角形；

AB

②如图3,若△ARBsAPEQ,求/MON大小和PQ的值.

已知，抛物线y=ax?+bx+c(a*0)经过原点，顶点为A(h,k)(hwO).

(1)当h=l,k=2时，求抛物线的解析式；

(2)若抛物线丫丸*2(50)也经过A点，求a与t之间的关系式；

(3)当点A在抛物线y=x2-x上，且-24h<l时，求a的取值范围.

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC.

(1)特殊情形：如图1,当DE〃:BC时，有DBEC.(填"或"=")

(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转a(0。<01<18()。)到图2位置，则(1)中的结

论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展运用：如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点，ZACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求/BPC

的度数.

1

.已知抛物线>=-万厂9+6x+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(-4,0),B(1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点P在抛物线上，连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

25、我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径

垂直平分这条弧所对的弦。你可以利用这一结论解决问题。

如图，点P在MN（南北方向）为直径的。。上，MN=8,PQ_LMN交。。于点Q,垂足为H,

PQWMN,弦PC、PD分别交MN于点E,F,且PE=PF。

（1）比较弧CQ与弧DQ的大小（2）若0H=2收，求证：OP〃CD

（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为a,试确定cosa=@时，点P的位置。

2

26、如图，在四边形ABCD中，AB//BC,NA=NC,点P在边AB上。

⑴判断四边形ABCD的形状并加以证明；

⑵若AB=CD,以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点g、C上,

且5'。'经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.

①在图2中作出四边形PB'C'Q（保留作图痕迹，不必说明做法和理由）；

②如果NC=60°,那么——为何值时，B'PLAB

PB

如图，抛物线丁=X2+)尤+。与工轴交于点人和点3(3,0),与》轴交于点C(0,3)„

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线在X轴下方上的动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;

(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴/上是否存在点P,使APBN是等腰三角

如图1,二次函数y~~X+bx+C的图像过点A(3,0),

B(0,4)两点，动点P从A出

发，在线段AB上沿A-B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD_Ly于点D,交

抛物线于点C.设运动时间为t(秒).

⑴求二次函数y=一十+队+C的表达式；

(2)连接BC,当t=5/时，求4BCP的面积；

(3)如图2,动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿0fA的方向以1个单

位长度的速度运动，当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ、PQ,将△DPQ沿

直线PC折叠到4DPE.在运动过程中，设4DPE和△OAB重合部分的面积为S,直接写出S与t

的函数关系式及t的取值范围.

图1图2

如图，已知抛物线y=-x?+bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点.

(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

(2)如图①，动点E从。点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时，动点F

从A点出发，沿着AB方向以&个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E,F中任意一点到达终点时另

一点也随之停止运动，连接EF,设运动时间为t秒，当t为何值时，AAEF为直角三角形？

(3)如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A,B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB

上方的抛物线上移动，动点P与A,B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的

三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

如图，点C为4ABD的外接圆上的一动点(点C不在就上，且不与点B,D重合)，ZACB=ZABD=45°

(1)求证：BD是该外接圆的直径；

(2)连结CD,求证：&AC=BC+CD；

(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究

DM2,AM2,BM?三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.C

.如图，抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，且与y轴交于点C,点D是抛物线的

顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；

(2)点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点P作PFLx轴于点F,G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线

PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=工2+比v+c过A,B,C三点，点A的坐

标是(3,0),点C的坐标是(0,—3),动点P在抛物线上.

(1)b=,c=,点8的坐标为；(直接填写结果)

(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸

的坐标；若不存在，说明理由;

(3)过动点尸作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点。，过点。作x轴的垂线.垂足为F，连接EF,

当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.

考点：二次函数的图象及其性质，三角形中位线定

理，应用数学知识综合解决问题的能力。

第24题图备用图

如图，已知。O的半径为2,AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M,将面沿CD翻折后，点A与圆

心O重合，延长OA至P,使AP=OA,连接PC

(1)求CD的长；

(2)求证：PC是。O的切线；

(3)点G为疏的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交定于点F(F与B、C

不重合).问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.

23.如图，抛物线y=ax?+2x-3与x轴交于A、B两点，且B(1,0)

(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；

(2)如图1,点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分NAPB时，求点P的坐标；

(3)如图2,已知直线y=&-&分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一

39

个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD

为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

如图，矩形的边0A在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形，使点A

正好落在BC上的E处，E点坐标为(6,8),抛物线y=ax?+bx+c经过O、A、E三点.

(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标.

.如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNLx轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为

顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知抛物线y=x?+bx与直线y=2x+4交于A(a,8)、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点,

过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若C为AB中点，求PC的长；

(3)如图，以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.

如图1,抛物线y=ax2-6x+c与x轴交于点A(-5,0)、B(-1,0),与y轴交于点C(0,-5),点P

是抛物线上的动点，连接PA、PC,PC与x轴交于点D.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)若点P的坐标为(-2,3),请求出此时△APC的面积；

(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.

坐金

①若/APE=NCPE,求证：EC-7；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.

图1图2

如图，抛物线L:y=-1(x-?)(x-Z+4)(常数。0)与x轴从左到右「的交点为2,A,过线段04的中

k

点M作A/P_Lx轴，交双曲线>=一(左〉0,x〉0)于点尸，且0AMP=12.

x

(1)求大值;

(2)当仁1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用

f表示图象G最高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为尤。,且满足4W尤oW6,通过L位置

随/变化的过程，直接写出t的取值范围.

22.(1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,b的式子表示)

(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1,如图2所示，分别以AB,AC为边，作等边三

角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线

段AB外一动点，且PA=2,PM=PB,ZBPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

国)

23.如图1,直线y=-g+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=-1/+bx+c经过点A,交y

轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDLPD于点D,

连接PB,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当ABDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

(3)如图2,将小BDP绕点B逆时针旋转，得到△BDP,且旋转角NPBP，=NOAC,当点P的对应点Pz

落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

2

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线"，抛物线Ci：yp-2x2+4x+2与C2：u2=-x+mx+n

为"友好抛物线

(1)求抛物线C2的解析式.

(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQLx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值.

(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(-1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB

绕点M逆时针旋转90。得到线段MB\且点B，恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点0是坐标原点，

点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，Z0AB=90°且OA=AB,OB、0C的长分别是一

元二次方程X2-HX+30=0的两个根(OB>OC).

(1)求点A和点B的坐标.

(2)点P是线段0B上的一个动点(点P不与点0、B重合)，过点P的直线a与y轴平行，

直线a交边0A或边AB于点Q,交边0C或边BC于点R,设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m,

已知t=4时，直线a恰好过点C.当0<t<3时，求m关于t的函数关系式.

(3)当m=3.5时，请你直接写出点P的坐标.

第28题图

抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C,点P为抛物线上，且位于x轴下方.

(1)如图1,若P(l,-3)、8(4,0),

①求该抛物线的解析式；

②若。是抛物线上一点，满足/DPO=/PO8,求点。的坐标；

(2)如图2,已知直线力、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时，匹±2是否为定值？若是,

试求出该定值；若不是，请说明理由.【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线

的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。

BxBx

如图在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线g：y=-1x2+

bx+C过A、B两点，与x轴另一交点为C。

(1)（3分）求抛物线解析式及C点坐标。

(2)（4分）向右平移抛物线CI,使平移后的抛物线C2恰好经过^ABC的外心，抛物线Ci、C2相交于点D,

求四边形AOCD的面积。

(3)（5分）已知抛物线C2的顶点为M,设P为抛物线J对称轴上一点，Q为抛物线G上一点，是否存

在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，若存在,直接写出P点坐标，不存在，请说明

理由。

如图，抛物线y=-/x2+'x+2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对

称，点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为（m,0）,过点P作x轴的垂线/交抛物线于点

Q.

⑴求点A,点B,点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

⑶当点P在线段0B上运动时，直线/交BD于点M,试探究m为何值时，四边形CQMD是

平行四边形；

⑷在点P的运动过程中，是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在,

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

如图1所示，已知：点A(-2,-1)在双曲线C：y=A±,直线h：y=-x+2,直线12与h关于原点成

X

中心对称，F1(2,2),F2(-2,-2)两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B,P是曲线C上

第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交h，b于M,N两点.

(1)求双曲线C及直线12的解析式；

(2)求证：PF2-PFi=MN=4；

(3)如图2所示，APF1F2的内切圆与F1F2，PF],PF2三边分别相切于点Q,R,S,求证：点Q与点B

重合.(参考公式：在平面坐标系中，若有点A(xpyi),B(X2,y2)，则A、B两点间的距离公式为

AB=J(X]-X2)2+(yi-力产)

【分析】(1)利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线b上两点的坐标，求出解析式；

(2)设P(x,2),利用两点距离公式分别求出PFi、PF2、PM、PN的长，相减得出结论；

X

fPR=PS

(3)利用切线长定理得出，F[R=F]Q,并由设)的结论PF2-PFI=4得出PF2-PFI=QF2-QFI=4,再由

F2S=F2。

两点间距离公式求出F1F2的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合.

如图，直线y=一括x+2岔与x轴，y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点4点B同时出发

向点。运动(运动到点。停止)，运动速度分别是1个单位长度/秒和73个单位长度/秒,设运动时间为t秒.以

点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G,与AB交于点F.

⑴求点A,B的坐标；

(2)用含t的代数式分别表示EF和4F的长；

⑶当四边形AOEF为菱形时，试判断AAFG与AAGB是否相似，并说明理由；

⑷是否存在t的值，使△ADF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

第24题图

已知在关于x的分式方程^——^-二2①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②中，k、m、n均为

x-1

实数，方程①的根为非负数.

(1)求k的取值范围；

(2)当方程②有两个整数根XI、X2,k为整数，且卜=!11+2,n=l时，求方程②的整数根；

(3)当方程②有两个实数根XI、X2,满足xi(xi-k)+X2(X2-k)=(xi-k)(X2-k),且k为负整数

时，试判断|m|42是否成立？请说明理由.

25.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直

线，叫该点的“特征线”.例如，点M(1,3)的特征线有：X=l,y=3,y=x+2,y=-x+4.

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上,

抛物线"(x-m)2+n经过B、C两点，顶点D在正方形内部.

(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线；

(2)若点D有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式；

(3)点P是AB边上除点A外的任意一点，连接0P,将AOAP沿着0P折叠，点A落在点A，的位置，

当点A，在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在

0P±?

如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+l经过点A（4,-3）,顶点为点B,点P为抛物线上

的一个动点，1是过点（0,2）且垂直于y轴的直线，过P作PHL1,垂足为H,连接PO.

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=,PH=,由此发现，POPH（填">"、"<"或"="）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想P0与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2,设点C（1,-2）,问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似？若

存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了"中垂三角形"，即两条中线互相垂直的三

角形称为“中垂三角形如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN_LBN于点P,

像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形设BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

（1）如图1,当tan/PAB=l,时，a=,b=；

如图2,当NPAB=30。，c=2时，a=,b=；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a?、b\c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明

你的结论.

【拓展证明】

（3）如图4,口ABCD中，E、F分另（］是AD、BC的三等分点，且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,

且BE_LCE于E,AF与BE相交点G,AD=3遥，AB=3,求AF的长.

25.已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(axO),与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C,

经过点A的直线y=-«x+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标;

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿

线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒空工个单位的速度运动到点D后停止，

3

问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

3

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线Q：丁=万/9+6%+2的顶点为乂，与y轴相交于点N,先将抛

物线Q沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2；直线/：片kx+b经过M,N两点.

⑴结合图象，直接写出不等式契+6%+2<kx+b的解集；

⑵若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

⑶若直线/沿y轴向下平移q个单位长度后，与(2)中的抛物线存在公共点，求3—4q的最大值.

24.（满分10分）如图①，半圆。的直径4B=6,AM和BN是它的两条切线，CP与半圆。相切于点P,

并与4W,BN分别相交于C,。两点.

⑴请直接写出/CO。的度数；

（2）求BD的值；

⑶如图②，连接。P并延长交4M于Q,连接。Q,试判断△PQ。能否与△ACO相似，若能相似，请求

AC：BD的值；若不能相似，请说明理由.

25.（满分12分）如图，矩形OA8C的两边OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（4百，

4）,点。在CB上，且CO：DB=2：1,。8交AD于点E.平行于X轴的直线/从原点出发，以每秒1个单

位长度的速度沿y轴向上平移，到C点时停止；/与线段OB,分别相交于M,N两点，以/WN为边作

等边△MNP（点P在线段MN的下方）.设直线/的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积

为s（平方单位）.

⑴直接写出点E的坐标；

（2）求S与t的函数关系式;

《第25题图）（缶用图）

一3

如图，已知点A的坐标为（-2,0）,直线y=——+3与x轴，y轴分别交于点B和点C,

4

连接AC,顶点为。的抛物线尸a/+bx+c过A,8,C三点.

（1）请直接写出8,C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点。的坐标；

⑵设抛物线的对称轴OE.交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点，过点P

作x轴的垂线，交线段BC于点F若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标；

⑶设点M是线段BC上的一动点，过点M作/WN〃AB,交AC于点N点.Q从点B出发，以每秒I个单

位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）.当t（秒）为何值时，存在AQMN为等腰直

角三角形？

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x?+bx+c的顶点M的坐标为（-1,-4）,且与x轴交于点A,点B

（点A在点B的左边），与y轴交于点C.

（1）填空：b=,c=,直线AC的解析式为；

（2）直线x=t与x轴相交于点H.

①当t=-3时得到直线AN（如图1）,点D为直线AC下方抛物线上一点，若NCOD=NMAN,求出此

时点D的坐标；

②当时（如图2）,直线x=t与线段AC,AM和抛物线分别相交于点E,F,P.试证明线段

HE,EF,FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为名，求此时t的值.

【分析】（1）根据顶点坐标列出关于b、c的方程组求解可得，由抛物线解析式求得A、C坐标，利用待

定系数法可得直线AC解析式；

（2）①设点D的坐标为（m,m2+2m-3）,由/COD=/MAN得tan/COD=tan/MAN,列出关于m

的方程求解可得；②求出直线AM的解析式，进而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的长度，根据等腰

三角形定义即可判定；由等腰三角形底角的余弦值为名可得先2=孑，列方程可求得t的值.

图1图2

（2016•宜昌）在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,D是AABC内部或BC边上的一个动点（与B、C

不重合），以D为顶点作△DEF,使ADEFs/XABC（相似比k>l）,EF〃BC.

（1）求/D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.

①如图1,连接GH、AD,当GHJ_AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当四边形AGDH的面积最大时，过A作APLEF于P,且AP=AD,求k的值.

B图3

24.（12分）（2016•宜昌）已知抛物线y=x?+（2m+l）x+m（m-3）（m为常数，-ISm"）.A（-m

-byi）,By2）,C（-m,y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O

逆时针旋转90。得到直线a,过抛物线顶点P作PH±a于H.

（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=x-km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值;

（3）当1VPHW6时，试比较yi，丫2，丫3之间的大小.3A

X

己知四边形ABCD中，AB=AD,AB±AD,连接AC,过点A作AE_LAC,且使AE=AC,

连接BE,过A作AH±CD于H交BE于F.

(1)如图1,当E在CD的延长线上时，求证：©△ABC^AADE；②BF=EF；

(2)如图2,当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论.

HD

图2

26.如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0),与y轴交于C(0,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符

合条件的P点的坐标(求出两点即可)；

(3)过点C作CD〃AB,CD交抛物线于点D,点M是线段CD上的一动点，作直线MN

与线段AC交于点N,与x轴交于点E,且NBME=NBDC,当CN的值最大时，求点E的

坐标.

如图，抛物线y=ax?+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0,^),点A坐标为

(-1,2),点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上.

(1)求该抛物线的函数关系表达式.

(2)点F为线段AC上一动点，过F作FE，x轴，FGLy轴，垂足分别为E、G,当四边

形OEFG为正方形时，求出F点的坐标.

(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,

当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M,DG

所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？若

存在，求t的值；若不存在请说明理由.

尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF,BE是4ABC的中线，且AF±BE,

垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=5c2

该同学仔细分析后，得到如下解题思路：

先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPFs^BPA,故普**设PF=m,

PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来，再在Rt^APE,RtABPF中利用勾股定理计算，

消去m,n即可得证

(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.

(2)利用题中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC,BD的交点，E,F分别为线段AO,DO的

中点，连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示，求

MG2+MH2的值.C

26.已知抛物线y=ax2-4a（a>0）与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），点P

是抛物线上一点，且PB=AB,ZPBA=120°,如图所示.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设点M（m,n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动.

①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为苧"？若

存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的

坐标.

如图，长方形OABC的0A边在x轴的正半轴上，0C在y轴的正半轴上，抛物线y=ax?+bx经过点B（1,

4）和点E（3,0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在线段OC上，MBDXDE,BD=DE,求D点的坐标；

（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长为最小，并求ABDM周长的最

小值及此时点M的坐标;

（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P,使得△PAD的面积最大?

若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

.如图①，在△ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=1,。为AB的中点，EF为AACD的中位线，四边形EFG”

为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△AC。的边上).

(1)计算矩形EFG”的面积；

(2)将矩形EFGM沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动.在平移过程中，当矩形与△CB。重叠

部分的面积为g时，求矩形平移的距离；

16

(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形£；居GW，将矩形月耳GN绕G点按

顺时针方向旋转，当区落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形马耳。7^,设旋转角为

a,求costz的值.

考点：综合应用数学知识解决问题的能力，考查三角形的中位线定理，矩形的面积，三角形的面积公式,

勾股定理。

数学活动-旋转变换

(1)如图①，在△ABC中，ZABC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转50。得到△AB，C,连接BB，，求

ZA'B'B的大小；

(2)如图②，在△ABC中，ZABC=150°,AB=3,BC=5,将△ABC绕点C逆时针旋转60。得到△AB，C,

连接BBT以A，为圆心，长为半径作圆.

(I)猜想：直线BB，与。A，的位置关系，并证明你的结论；

(II)连接AB,求线段A，B的长度；

(3)如图③，在△ABC中，ZABC=a(90°<a<180°),AB=m,BC=n,将△ABC绕点C逆时针旋转2|3

角度(0°<2p<180°)得到△A，B，C,连接A，B和BB-以A，为圆心,AB，长为半径作圆，问：角a与角<

满足什么条件时，直线BB，与。A，相切，请说明理由，并求此条件下线段AB的长度(结果用角a或角B

的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)

24.如图①，直线y=*+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B

(1,0).

(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；

(2)若点M是抛物线Fi位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和^BOC的面积分别为S四边形MAOC

和SABOC，记S=S四边形MAOC-SABOC，求s最大时点M的坐标及S的最大值；

(3)如图②，将抛物线已沿y轴翻折并"复制"得到抛物线F2，点A、B与(2)中所求的点M的对应点

分别为A，、B\M',过点M，作M，E，x轴于点E,交直线A，C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A，、

D、P为顶点的三角形与△AB，C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

国①图②

已知抛物线y=a(x-1)2-3(awO)的图象与y轴交于点A(0,-2),顶点为B.

(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；

(2)若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

(3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取最小值；

(4)若将抛物线平移m(m*0)个单位，所得新抛物线的顶点记作C,与原抛物线的交点记作D,问：点

O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.

各■用图

如图，直线I：y=-x+l与x轴，y轴分别交于A,B两点，点P,Q是直线1上的两个动点，且点P在第

二象限，点Q在第四象限，ZPOQ=135°.

（1）求△AOB的周长；

（2）设AQ=t>0,试用含t的代数式表示点P的坐标；

（3）当动点P,Q在直线1上运动到使得△AOQ与ABPO的周长相等时，记tan/AOQ=m,若过点A的

二次函数丫=2*2+5*+。同时满足以下两个条件：

①6a+3b+2c=0；„

②当m4xWm+2时，函数y的最大值等于2求二次项系数a的值.\\

【分析】（1）先求出A、B坐标，再求出OB、OA、AB即可解决问题.

（2）由APBOS^OAQ,得罪典，求出PB,再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标.

0AAQ

（3）先求出m的值，分①a>0,②a<0,两种情形，利用二次函数性质分别求解即可.

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=8,NBAD=60。，点E从点A出发，沿AB

以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF±AD于点F,作EG〃AD

交AC于点G,过点G作GHLAD交AD（或AD的延长线）于点H,得到矩形EFHG,设点E运动的时

间为t秒

U）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；

（2）求点H与点D重合时t的值；

（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；

（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点0、当00'〃AD时，t的值为____________；当00UAD

时，t的值为.DC

E