2020届高考数学复习教学案：七-随机变量、空间向量(理科)-含答案

随机变量、空间向量(理科)

江苏新高考

这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年

两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，

又考查思维能力.，由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算

空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、"次独立重复试验的模型及二项分布这

几个基本知识交叉考查.

第1课时X随机变量与分布列(能力课)

［常考题型突破］

离散型随机变量的分布列及其期望

［例1］(2017•南通二调)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4

首进行演唱.

(1)求该乐队至少演唱I首原创新曲的概率；

(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动

指数为2。求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.

［解］(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,

则事件A的对立事件不为“没有1首原创新曲被演唱”.

——ci13

所以P(A)=1—P(A)=1一直=百.

13

答：该乐队至少演唱I首原创新曲的^率为也.

(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.

依题意，X=ar+2〃(4-x),故X的所有可能值依次为8a,7a,645a

C41

则P(X=8a)=P(x=0)=M=五，

ClC?3

P(X=7a)=P(x=1)=甘=,

CjC;3

P(X=6«)=P(x=2)=~^=7，

ii

P(X=5〃)=P(x=3)=&=75,

从而X的概率分布为:

X8。7a6a5a

11

PUU

133113

所以X的数学期望E(X)=8aXq+7aX,+6a><7+5aXY^=:-a.

［方法归纳］

求离散型随机变量问题的四步骤

由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而

解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应

的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率.具体步滕如下：

(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值箝，及，…：

(2)根据事件的种类求随机变量的概率尸(X=x»,i=l,2,­••：

(3)写出分布列

［变式训练］

(2017•扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈

赏析》两场讲座.已知4,B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选

听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校

园舞蹈赏析》.

(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；

(2)若从A,B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活腌味数学》的人数，求X的分布列

和数学期望£(X).

解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件

则尸的=黑磊

故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的稷率为晶21.

(2)X可能的取值为0,1,2,3,

P(X-O)-C，C2-5O>

c]c[cg+acic112

P(X=D=oa25,

3

P(X=2)=~clcl-15,

clclG1

P(X=3)=十者法

所以X的概率分布为：

X0123

91231

P5025Io25

所以X的数学期望E(X)=OX^+1x1|4-2X-^j+3X^=1.

题型二n次独立重复试验的模型及二项分布

［例2］(2017•南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为

综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.

(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布与数学期望E(X).

32

［解］(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P=l-T^-r=r.

(2)由题意得X〜8(5,；),P(X=k)=C若-0,3,4,5.

所以X的概率分布为：

X012345

32808040101

P243243243243243243

所以X的数学期望为E(X)=5x|=j.

［方法归纳］

二项分布的分布列及期望问题求解三步骤

第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试脸中只有两种结果“成

功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每

一次试脸中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布.

第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试

验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.

第三步，根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可.

［变式训练］

(2017•扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中

的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中

随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E(X).

解：(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43=64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选

择的课程互不相同”为事件M,事件M共包含7=24个基本事件，则外加)=今=与，所以甲、乙、丙三人

04o

3

选择的课程互不相同的概率为2

O

(2)法一:X可能的取值为0,1,2,3,

3327C1X3227

产廿=0)=取=位，P(X=l)=^j-=诬，

CsX39C*1

P(X=2)=43=国,P(X=3)=9=^.

法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选

修《数学史》的人数，则X〜8(3,：),所以尸(X=幻=C§(；)C)3r,左=0,1,2,3,

所以X的分布列为：

X0123

272791

P64646464

13

所以X的数学期望£(X)=3X-=~

题型三

［例3］(2017•苏州模拟)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中

有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球.若

摸中甲箱中的红球，则可获奖金用元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金〃元.活动规定：①参与者每个

箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，

则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.

(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；

(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.

［解］(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金”元为事件

1311

则p(M)=yx］=w，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金〃元的概率为7

(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下:

①先在甲箱中摸球，参与者获奖金4可取0,m,m+n,

3121111

则尸(。=0)=不P(4=加)=^义］=不尸(。=加+〃)=^乂］=石,

£(C)=0x1+mX1+(m+n)X恐.

②先在乙箱中摸球，参与者获奖金〃可取0,〃，7%十〃，

2131111

则尸(〃=0)=?P(//=n)=^X-=",p^=m+n)=-x-=—f

E(〃)=0x］+〃X(+("?+〃)X《="+胃.

2m-3n

E©—E(〃)=-［2~-

当£>l时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；

当时,两种顺序参与者获奖金期望值相等；

当f时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.

故当g>l时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当％衬,两种顺序参

与者获奖金期望值相等；当彳<1时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.

［方法归纳］

利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量4的均值的意义在于描述随机

变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预

报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.

(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量各，弱的均值，当E&)=E《2)时，不应误认

为它们一样好，需要用V©),以为来比较这两个随机变量的偏离程度.

(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.

(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是，一般先计算均值，若相等，则由方差来确定哪一个更

好.若E©)与E(金)比较接近，且均值较大者的方差较小，显然该变量较好；若凤酊)与反给比较接近且方差

相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即选择较理想的平均水平还是选择较稳定.

［变式训练］

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不

完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量〃(单位：枝，〃GN)的函数

解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表:

日需求量”14151617181920

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的概率分布、数学期望及方差;

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

解：（1）当日需求量鼠216时，y=16X（10—5）=80;

当日需求量“W15时，y=5〃-5(16—“)=10〃一80.

10〃-80,”<15,

所以y=、("GN).

80,心16

⑵①X所有可能取值为60,70,80,则P(X=60)=0.1,尸(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

，X的概率分布为：

X607080

P0.10.20.7

...X的数学期望为E(X)=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76,

X的方差为V(X)=162X0.1+62X0.2+42X0.7=44.

②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫鬼花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的概率分布为：

Y55657585

P0.10.20.160.54

y的数学期望为E(X)=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

22

V的方差为"V)=(55—76.4)X0.1+(65—76.4>X0.2+(75—76.4>X0.16+(85—76.4)X0.54=112.04.

由以上的计算结果可以看出，v（x）＜v（y）,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然

E（X）＜E（y）,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天利润（单位：元），那么y的分布列为:

Y55657585

P().10.20.160.54

二丫的数学期望为E(P)=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利

润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

题型四概率与其他知识的综合

［例4］(2017・南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2〃(〃GN*)局.根据以往比赛胜负的情况知道,

每局甲胜的概率和乙胜的概率均其.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概

率为P(ri).

(1)求P(2)与P(3)的值;

(2)试比较P(〃)与尸(”+1)的大小，并证明你的结论.

［解］(1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局,

所以P(2)=C(，4+CJ,4=怖，

同理P(3)=盘

(2)在2〃局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为〃+1局,

故外〃)=◎：(护+C疗(护+…+C初眇

骂4.(2")!

2"14C%_______加〃！

又近3=国百=(2〃+2)!一

22,,+2(〃+1)!(〃+1)!

4(n+l)2_2(n+l)

一(2"+2)(2"+1)_2n+l

所以软所以尸(〃)VP("+1).

［方法归纳］

本例是二项分布与二项式定理的交汇，其求解的一般思路先利用二项分布求其PS)和然后利

用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇.

［变式训练］

(2017•江苏高考)已知一个口袋中有，"个白球，"个黑球(〃?，“CN，,”22),这些球除颜色外完全相同.现

将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,…，〃?+〃的抽屉内，其中第％次取出的球

放入编号为k的抽屉(Z=l,2,3,…，m+n).

123.・・m+n

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明:

“_____

“⑶+")("-1)

解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：

Cm+n-1n

P=Z=

c；；,+nm+n

(2)证明：随机变量X的概率分布为：

1]]1]

Xn〃+1n+2・・・I・・・m+n

cr;「〃-i

c；：-|c；r'c；；；|-i

PCMCM,CX+"…C；U„…CX+“

随机变量X的期望为:

m+ni

E(X)=E七不「

k=n

1"mf+nl(I)!

Cm+n^nk(〃-1)!(k—ri)!

1m+n«—2”

所以E(X)<kE7一:；、|

C,+n^(n-l)!(k~ri)\

1m.+n(-2)!

(〃一1)C*+,]£?(〃一2)!(k—n)\

(〃一l)Cz+〃d+cn+cp+-+c^-2)

1

-2

一(〃—l)C；鼠■(C；；-1+C丹+C；；H---卜C鼎-2)

1

,(C；F1+c；F2H—FC；UL2)

(〃一l)d

1

-(C；；^-+C^-2)

(I)CG；2

Ca-in

(n—1)C%+〃(〃7+〃)(〃-1)'

n

即E(X)<

(m+n)(n-1)'

［课时达标训练］

1.(2017•苏锡常镇二模)已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每

个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分

值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第〃局得〃分(〃WN*)的情况就算游戏过关,

同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.

(1)求在一局游戏中得3分的概率；

(2)求游戏结束时局数X的概率分布和数学期望£(X).

解：(1)设在一局游戏中得3分为事件A,

则「所喑H

2

所以在一局游戏中得3分的^率为之

(2)X的所有可能取值为123,4.

CJC'+C'Cl3

在一局游戏中得2分的概率为一

p(x=i)=宣dc=\亍1

P(X=2)=(T)X寻今

P(X=3)=(1—§X(1-得)x|=卷，

P(X=4)=(1—{JX0一卧卜爵

所以X的概率分布为：

X1234

62842

P525125125

所以E(X)=lx]+2X郎+3X黑+4X色=樱.

2.一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个.

(1)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；

(2)每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回.求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次

数的概率.

解：(I)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X-O)-c?o-12；P(X-1)-c?o-12；

P(XT)-雷--；P(X-3)日;

所以X的概率分布为：

X0123

1551

PV2V2Y2n

所以X的数学期望风X)=f^xo+卷X1+^X2+]2X3=：2,

(2)记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A,

则尸(A)=a(^>+ci[阖2X卷+儒)2义4+3义右阂2=患.

91

故摸到黑球的次数大于摸到臼球的次数的概率为悬.

3.（2017.山东高考）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法

如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比

这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者Ai,A2,A3,A4,A5,

4和4名女志愿者Bi，Bi,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗不，另5人接受乙种心理暗不.

（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含By的概率；

（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含Bi的事件为M,

则「（M=甘C3=育5

（2）由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4,则

尸。=0）=急金

5

P(X=1)=c%~2r

典10

P(X=2)=CM亓

CaCj5

P(X=3)=Go亓

C心—1

P(X=4)=Go-42-

因此X的分布列为

X01234

151051

p4221212142

故X的数学期望是EX=0+1Xyp+2x1y+3X^j-+4X^=2.

4.己知某种植物的种子每粒发芽的概率都为主某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实

验小组共种植四粒该植物的种子（每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立），用。表示这四粒种子中发

芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值.

（1）求随机变量己的概率分布和数学期望：

（2）求不等式夕2一夕+＞0的解集为R的概率.

解：（1）由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4,对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0,

所以j的所有可能取值为0,2,4,

「（『）=苗加（|＞着，

p《=2）=Gx住＞x⑨+clx瞅x俘》=患,

p（4=4）=ax（g）4XXX修＞=是

所以随机变量C的概率分布为：

024

84017

P278?8?

数学期望£（0=0义得+2X需+4义9=劈.

Z/OIO101

(2)由(1)知j的所有可能取值为0,2,4,

当4=0时，代入“2一口+]>o,得1>0,对xGR恒成立，即解集为R；

当j=2时，代入“2一次+]>(),得2/一21+1>0,

即2(：一3)2+5°，对xGR恒成立，即解集为R；

当4=4时，代入12—1+]>0,得4/一4x+l>0,其解集为玄丹，不满足题意.

64

所以不等式夕2一盘+1>0的解集为R的概率P=P《=0)+Pe=2)=K.

O1

5.(2017•天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇

到红灯的概率分别为|)1.

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=O)=(T)X(I-£)x(1-J/,

P(X=I)《X(I—9><(T)+(L£)X；X(L3+(I—£|x(T)x；=9

产室=2)=。一步驯9抓m，

p（X=3）=|x|x|=^.

所以随机变量X的分布列为：

X0123

11111

P424424

随机变量X的数学期望£（X）=0X1+lx1|+2x1+3X^=1|.

(2)设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

p（y+z=i）=p（y=o,z=i）+P（y=i,z=o）

=p（y=o）p（z=i）+p（y=I）P（Z=O）

_1nn_I__JH

=4X24+24X4=48,

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为4.

6.(2017•全国卷IH)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6

元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天

最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求

量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份

各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为N(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量〃(单位：瓶)为

多少时，y的数学期望达到最大值？

解：(1)由题意知，X所有可能取值为200.300,500,

由表格数据知

2+1636

P(X=200)=-^-=0.2,P(X=300)=示=0.4,

25+7+4

P(X=500)==0.4.

因此X的分布列为：

X200300500

P0.20.40.4

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W〃W500.

当300W/IW500时，

若最高气温不低于25,则丫=6〃-4〃=2〃；

若最高气温位于区间［20,25),则y=6X300+2(«-300)-4n=l200-2n：

若最高气温低于20,则/=6X200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此£r=2nX0.4+(l200—2”)X0.4+(800-2”)X0.2=640—0.4”.

当200<〃<300时，

若最高气温不低于20,则丫=6〃-4”=2〃；

若最高气温低于20,则丫=6X200+2(〃-200)—4〃=800—2”.

因此£r=2nX(0.4+0.4)+(800-2n)X0.2=l60+1.2n.

所以"=300时，丫的数学期望达到最大值，最大值为520元.

运用空间向量求角(能力课)

［常考题型突破］

题型一运用空间向量求两直线所成的角

4

［例1］已知正三棱柱ABC-48G的各条棱长都相等，P为A山上的点，且

A^P=XA^B,PCLAB.

(1)求2的值;

(2)求异面直线PC与AG所成角6的余弦值.

［解］(1)设正三棱柱的棱长为2,取4c中点0,连结08,则08O

为原点，OB,0C所在直线为x轴，y轴，过点0且平行A4i的直线建

立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,-1,0),B(小,0,0),C(0,l,0),4(0,-1,2),Bi他,0,2),

所以区=(小，1,0),前=(0,-2,2),布=(小，1,-2).

因为PC^LAB,所以安•瓦=0,

得修范+行).,布=0,

即(a+2乖).南=0,

即(小九一2+2,2—22>(小，1,0)=0,解得3=.

(2)由(1)知/=(坐，一|,1),AG=(0,2,2),cos0=错误！=错误！,

所以异面直线PC与AG所成角。的余弦值是零.

O

［方法归纳］

1.两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线。，匕的方向向量分别为a,b,其夹角为0,则cos9=|cos0|=^［(其中夕为异面直线

a,6所成的角).

2.用向量法求异面直线所成角的四步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

［变式训练］

P

（2017・无锡期末）如图，四棱锥P-ABCC中，《4_L平面A8CD,四边形A8CQ为直

角梯形，AD//BC,ZBAD=ZCBA=90°,PA=AB=BC=l,AD=2,E,F,G分别

为BC,PD,PC的中点.

(1)求EF与。G所成角的余弦值;

(2)若“为E/上一点，N为。G上一点，是否存在MM使得MN_L平面尸8C?若存在,求出点M,N

的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)以4为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴,z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),0(020),P(0,0』)，

,:E,F,G分别为BC,PD,PC的中点，

A£（1,2）°）,4°，1，，，%，y2）,

••―•所»=（r一1,,2i'2n>—DG»=（J,-3yn2；-

设EF与OG所成角为e,

则cos。=错误！=错误！.

:・EF与DG所成角的余弦值为2

(2)存在MN,使得MNJ■平面P8C,理由如下：

设平面PBC的法向量为〃=(x,y,z),

VBC=(0,1,0),PB=(l,0,-1),

.♦・错误！即错误！

取x=l,得〃=(1,0,1),

若存在MN,使得MNL平面PBC,则碗〃〃,

设M(X1,Zl),N(X2,>2,Z2),

y2-yi=0,

•.•点M,N分别是线段EF与DG上的点,

AEM=/>■£?,~DN=tDG,

VEM=^X1—1,yi—I，Zi),D7V=(X2,”-2,z2)f

故存在两点MQ,I，£),(福得，得)，使得MN工平面PBC.

题型二运用空间向量求直线和平面所成的角

[例2](2017・镇江调研)如图，在棱长为3的正方体ABCZXAIBIGQI中，A\E=CF=\.

(1)求两条异面直线AG与BE所成角的余弦值;

(2)求直线BBi与平面BE0尸所成角的正弦值.

［解］(1)以。为坐标原点，DA,DC,OQ所在直线分别为x轴,

建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示，

则A(3,0,0),Ci(0,3,3),8(3,3,0),£(3,0,2),滔=(-3,3,3),联

3,2),

所以cos(AC\,>=错误！

__9+6_^39

一3小义行一39'

故两条异面直线AG与BE所成南的余弦值为既.

(2)由(I)知BE=(0,-3,2),又。(0,0,3),第(3,3,3),

所以血=(3,0,-1),丽=(0,0,3).

设平面BEG尸的法向量为"=(x,y,z),

则错误！即错误!令x=l,得y=2,2=3,"=(1,2,3)是平面8片。尸的一个法向量.

设直线与平面BEOiF所成的角为a,则

sina=错误!=错误！=错误!，

所以直线BBi与平面BE。/7所成角的正弦值为与用；

(2)若直线A4与平面APQ所成的角为45°,求实数2的值.

解：«{AB,AD,高}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.

-------

则40,0,0),4(0,0,2),尸(1,2,2),。(2,0,2。.

|一A—A

(1)当2=］时，AP=(1,2,2),AQ=(2,0,1),

所以cosCAP,7g>=错误！

1X2+2X0+2X144

3X小—15-

所以AP与AQ所成角的余弦值为

⑵高=(0,0,2),A2=(2,0,2z).

设平面APQ的法向量为〃=(x,y,z),

则错误！即错误！

令z=-2,则x=2九y=2-A.

所以〃=(2Z,2一九-2).

又因为直线A4i与平面AP。所成角为45°,

所以|cos〈"，AA］〉|=错误！

4—啦

-2^(2Z)2+(2-A)2+(-2)2-2，

4

可得5万—47=0,又因为/WO,所以2=亍

题型三运用空间向量求二面角

[例3](2017•南通调研)如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A8CD为矩形，SAL平

®ABCD,AB=\,AD=AS=2,P是棱SD上一点，且

(1)求直线A8与CP所成角的余弦值；

(2)求二面角A-PC-D的余弦值.

［解］(1)如图，分别以A3,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2).

设P(xo,yo,zo),

由正，得(必，加zo-2)=|(O,2,-2),

.一八_2_4

..xo-0,加—3，20—3，

点P的坐标为(0,I，

CP=(-1,I),AB=d,0,0).

设直线AB与CP所成的南为a,

nl13M

则8sa=1^—=41.

芋X1

(2)设平面APC的法向量为〃?=(xi,y\,zi),

由于衣=(1,2,0),标=(0,I，£),

错误！即错误！

令yi=-2,则xi=4,zi=l,

所以机=(4,一2,1)为平面APC的一个法向量.

设平面SC。的法向量为〃=(X2,},2,Z2),

由于比=(10,0),DS=(0,-2,2),

；•错误!即错误！

令m=1,则Z2=l,

所以”=(0,1,1)为平面SCD的一个法向量.

设二面角A-PC-Q的大小为。，由图易知。为锐角，

\I1

所以cosJ=|cos〈m,

5一42,

所以二面角A-PC-D的余弦值为七

［方法归纳］

解决二面角问题的两种方法

(1)坐标法

建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量小，”2,利用COS〈功，"2〉=会手［求出.(结合图形取''土"

(2)定义法

构造出二面角的平面角，通过解三角形计算.

［变式训练］

1.直三棱柱ABC-4B1A中，ABLAC,AB=2,AC=4,A4i=2,BD

(1)若2=1,求直线QBi与平面AC。所成角的正弦值；

(2)若二面角8I-AIG㈤的大小为60°,求实数2的值.

解：如图，分别以AB,AC,A4i所在的直线为x轴，y轴，z々轴建立空间直

角坐标系A-xyz.

夕

则A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),Ai(0,0,2),3(2,0,2),G(0,4,2).“

⑴当2=1时，。为BC的中点,所以。(1,2,0),居=(1,-2,2),碇尸(0,4,0),A石=(1,2,-2).

设平面4G。的法向量为"=(x,y,z),

则错误！即错误!

令z=l,得y=0,x=2,

则〃=(2,0,1)为平面A\C\D的一个法向量,

设直线。Bi与平面4C。所成角为0.

则sin6=错误！=错误!=错误！=错误！，

所以直线DB\与平面A\C\D所成角的正弦值为

(2)因为南=%反，所以HjWr，圣■,0),布=异下犬I，-2

设平面AC。的法向量为,1=(X1,",zi),

则错误！即错误!

令zi=l,得yi=O,x\=2+1,

则〃i=«+l,O,I)为平面AtCiD的一个法向量.

又平面ABICI的一个法向量为"2=(0,0』)，

由题意得|cos〈〃1,〃2〉|=1,所以而