《矩形的判定》课后练习

22.4.2《矩形的判定》课后练习

一、单选题

1.下列命题中正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形B.四个角都相等的四边形是矩形

C.对角线互相平分的四边形是矩形D.有一个角是直角的四边形是矩形

2.若顺次连接四边形A3CD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCO一定

是（）.

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形D.对角线相等的四边形

3.检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）

A.测量两条对角线是否相等B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直

C.测量两条对角线是否互相平分D.测量门框的三个角是否都是直角

4.如图，平行四边形A8CO的对角线AC与3。相交于点0,添加一个条件不能使平行

四边形A3CD变为矩形的是（）

C.ZOAB^ZOBAD.OB=OD

5.如图，直线EF//MN,交于两点，A8,C8,CD,分别是

尸的角平分线，则四边形45。。是（）

A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定

6.如图，点。在△A3C边的延长线上，点。是边AC上一个动点，过点。作直线

EF//BC.交ZBC4的平分线于点尸，交N3C4的外角平分线于点E，连接

1

AF,AE.当点。在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的

是（)

A.2ZACE^ZBAC+ZBB.EF=20C

C.ZFCE=90°D.四边形AFCE是矩形

7.如图，下列条件不能判定四边形ABC。是矩形的是（）

A.NZMB=NABC=NBCD=90。B.AB//CD,AB^CD,AB±AD

C.AO=B。，CO=DOD.AO=-BO=CO=DO

8.如图，D,E是△ABC中AB,BC边上的点，且DE〃AC,/ACB角平分线和它的外

角的平分线分别交DE于点G和H.则下列结论错误的是（）

A.若BG〃CH,则四边形BHCG为矩形

B.若BE=CE时，四边形BHCG为矩形

C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形

D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5

9.如图，平行四边形ABCO四个内角平分线相交，如能构成四边形EFGH,则四边形EFGH

的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.正方形D,菱形

2

10.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、

AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是（）

C.AB±ADD.AC=BD

二、填空题

11.杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m宽为1.5〃?，对角线为2.15加，则

这个桌面.（填“合格”或“不合格”）.

12.当一个任意平行四边形的一个锐角增大到90。时，它就变成了形.

13.如图，在矩形ABCD中，AB^4cm,AD=12cm.点P从点A向点。以每秒1cm

的速度运动，。以每秒的速度从点C出发，在8、C两点之间做往返运动，两点同时

出发，点尸到达点。为止（同时点。也停止），这段时间内，当运动时间为时，P、

Q、a。四点组成矩形.

Ar—^-------------------

B----------------S--C

14.如图，在四边形ABCD中AB//CO,AB=CD,要使四边形ABCD为矩形，还需

补充的条件可以是：（写1个即可）.

15.如图，在平行四边形ABC。中，各内角的平分线分别相交于点£,F,G,H.若AB

=6,BC=4,ZDAB=60°,则四边形EFGH的面积为一.

3

16.如图，在四边形ABCD中，DC〃AB,CB1AB,AB=AD=a,CD=3,点E,F分别

2

为线段AB,AD的中点，则EF=.

三、解答题

17.如图，在AABC中，。是边上的一点，E是AD的中点，过A点作5c的平行

线交CE的延长线于F，且AE=BD，连结8尸.

（2）若AB=4C时，试证明四边形4FBO是矩形.

18.如图，E、C分别为VAED的边AR、ED的中点，延长CE到8,使得CE=B石

连45、BF、AC

（1）求证：四边形ABCO是平行四边形

（2）AE与AO满足什么关系时，四边形ABEC是矩形？请说明理由

19.如图，已知在AABC中，AC=5,2c=12,AB=\3,点E是边AB上一动点，EF±AC

于点F,ED上BC于点D,点G为尸。的中点.

（1）求证：四边形CDEF是矩形

（2）当点E由点A运动到点8时，求点G的运动路径长.

4

D

-B

E

20.如图，在AABC中，AB=AC=6,BC=4jLAD平分NBAC,E是AD的中点，过

点A作AF〃BC,交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证：四边形ADCF是矩形；

(2)求BF的长.

21.在平行四边形ABCD中，过点D作DEJ_AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连

接AF,BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF=9,BF=12,DF=15,求证：AF平分NDAB.

22.如图，过AABC边AC的中点。，作OEJ_AC,交A8于点E，过点A作AD//BC,

与BO的延长线交于点O,连接CD,CE,若CE平分NACB,CE上BO于点、F.

(1)求证：

①OC=BC,

②四边形A88是矩形；

(2)若BC=3,求OE的长.

EB

5

参考答案

1.B

解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；

及四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意；

C对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意;

D有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；

2.B

解：如图，

由题意可知：四边形ABCD是矩形，点E、F、G、“分别是边AO、AB、BC、DC

的中点,

•••NFEH=9。"，

•・•点E、/分别是边A。、AB的中点,

EF//DB,

•••NFEH=NOMH=90°，

•••点、E、〃分别是边A。、的中点，

EH//AC,

•••NOMH=NCOB=90"，

•••AC1BD.

3.C

解：.A.对角线相等平行四边形一定是矩形，不符合题意；

B.有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，不符合题意；

C.两条对角线是否互相平分只能证明是否为平行四边形，不能说明是不是是矩形，符合题意;

D.根据矩形的判定，三个角都为直角，四边形就是矩形，不符合题意.

I

4.D

解：；四边形ABCD是平行四边形，

.♦.OA=OC,OB=OD,

A、AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；

B、DAJ_AB时，ZBAD=90°,

，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；

C、NOAB=NOBA时，OA=OB,

；.AC=BD,

二平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；

D、OB=OD时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故该选项符合题意:

5.C

解EF/IMN,

：.ZEAC^ZNCA,ZFAC=ZMCA,

：.-NEAC=ABAC=-ZNCA=NDCA,

22

-ZFAC=ZDAC=-ZMCA=ZBCA,

22

BA//CD,BC/1AD，

，四边形ABCD是平行四边形，

•••NE4C+NE4C=180°，

-(NEAC+NE4C)=ABAC+ADAC=90°.

即/BAD=90"，

•••四边形ABCD是平行四边形，且其中一个角为90。，

.•.四边形ABCD是矩形，

6.D

解：：/人。。是AAbC的外角，

ZACD^ZBAC+ZB.

平分NAC£),

/.ZACD=2ZACE,

：.2ZACE^ZBAC+ZB,故A选项成立;

2

•/EF//BC,CF平分NBC4,

:.NBCF=NCFE,ZBCF=ZACF,

ZACF=NEFC,

：.OF=OC,同理可得OE=OC,

AEF=20C,故B选项成立；

•；CF平分NBCA,CE平分NACD,

ZECF=ZACE+ZACF='x180°=90°,故C选项成立；

2

•••。不一定是AC的中点，

四边形AECF不一定是平行四边形，

二四边形AFCE不一定是矩形，故D选项不一定成立.故选D.

7.C

解；A、NDAB=NABC=NBCD=90。根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形,

故此选项错误；

B、AB〃CD,AB=CD,可以判定为平行四边形，又有AB_LAD,可判定为矩形，故此选项

错误；

C、AO=BO,CO=DO,不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；

D、AO=BO=CO=DO,可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项

错误，

8.C

解：•・・NAC3角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点、G和H,

：.NHCG=90。,ZECG=ZACG；

U：DE//AC.

:.ZACG=ZHGC=ZECG.

：.EC=EG；

同理：HE=EC,

1

：.HE=EC=EG=-HG；

2

若CH〃BG,

/.ZHCG=ZBGC=90°,

:・/EGB=NEBG,

3

:.BE=EG,

:.BE=EG=HE=EC,

...CHBG是平行四边形，且N”CG=90。，

J.CHBG是矩形；

故A正确；

若BE=CE,

:.BE=CE=HE=EG,

.♦.CHBG是平行四边形，且NHCG=90。，

：.CHBG是矩形，

故B正确；

若HE=EC,则不可以证明四边形BHCG为平行四边形，

故C错误；

若CH=3,CG=4,根据勾股定理可得HG=5,

，CE=2.5,

故。正确.

9.B

解：•••四边形ABCD是平行四边形，

；./DAB+/ABC=180。；

：AF、BE平分NDAB、ZABC,

AZBAF+ZABF=90°,即NEFG=90°；

同理可证得：ZHEF=ZEHG=ZFGH=90°；

故四边形EFGH是矩形.

10.B

解：尸分别是A。，8。的中点，G、”分别中BC,AC的中点,

:.EF〃AB,EF=-AB；GH〃AB,GH=-AB.

22

:.EF〃GH,EF=GH.

/.四边形EFGH是平行四边形.

当AB_LCD时，四边形EFGH是矩形，

­.AB1CD,GH//AB,EH//CD,

4

.-.EH1GH,

即/EHG=9(T，

，四边形EFGH是矩形;

11.不合格

解：如图:

B--------------------T?

V22+1.52=6.25*2.152,

即：AD2+DC2*AC2,

/.ZD*90°,

.•.四边形ABCD不是矩形，

这个桌面不合格.

12.矩

解：根据平行线的性质可知，因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增

加为90。时，四个角都是90。，可得其为矩形.

13.2.4s或4s或7.2s

解：根据已知可知：点Q由Cf8fC—8-C,

在点Q第一次到达点B过程中，

•••四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

若=则四边形APQB是矩形，则以尸、Q、C、。四点为顶点组成矩形.

设过了t秒，则PA=t,BQ=12-4t,

/.t=12-4t,

1=2A(s),

在点Q由5fC的过程中，

设过了t秒，则PA=t,BQ=4(t-3),

t=4(t-3),

解得：t=4(s),

5

在点Q再由Cf8过程中，

设过了t秒，则PA=t,BQ=12-4(t-6),

t=12-4(t-6),

解得：t=7.2(s),

在点Q再由的过程中，

设过了t秒，则PA=t,BQ=4(t-9),

t=4(t-9),

解得：t=13(s)>12(s),故此舍去.

故答案为：2.4s或4s或7.2s；

14./BAD=90。(或AC=BD)

解：因为四边形ABCD中，AB〃CD,且AB=CD,

所以四边形ABCD是平行四边形，

要判断平行四边形ABCD是矩形，

根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个

角是直角或对角线相等.

15.6

解：•.・GA平分NBA。，GB平分N48C,

AZGAB^-ZBAD,ZGBA^-ZABC,

22

四边形ABCD是平行四边形，

：.ZDAB+ZABC^\8Q0,

：.ZGAB+ZGBA=1(ZZ)AB+ZABC)=90°,

即ZAGB=90°,

同理可得，ZD£C=90°,NAHD=90o=NEHG,

...四边形EFGH是矩形.

,:/£>AB=60。，

：.ZBAG=-ZDAB=3Q°,

2

6

,.,A8=6,

BG=-AB=3,AG=VAB2—BG2=-32=35/3=CE,

VBC=4,ZBCF=-ZBCD=30°,

2

：•BF=3BC=2,CF7B(J2_3尸="2一*=26'

；•EP=3百-28=5G尸=3-2=1,

矩形EFGH的面积=EExG/=G.

a

16.-

2

解：如下图，连接DE,

•••点E是AB的中点，AB=a,

I

/.BE=—a,

2

XVCD=-iz,

2

/.CD=BE,

又；CD〃AB,

，四边形DEBC是平行四边形，

VBC1AB,

/.ZB=90°,

...四边形DEBC是矩形，

.,.ZDEA=ZDEB=90°,

又：点F是AD的中点，AD=a,

11

，EF=-AD=—a.

22

故答案为：—Cl.

2

7

17.(1)见解析；(2)见解析

证明:(1),JAF//BC,

，NAFE=/DCE,

是AO的中点，

：.AE=DE,

ZAFE=ZDCE

«AE^DE,

NAEF=/DEC

：./XAEF^/^DEC(AAS),

：.AF=DC,

,:AF=BD,

：.BD=CD；

(2)'：AB=AC,。是BC的中点，

：.AD±BC,

：.ZADB=90°,

'：AF=BD,

•过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF//BC,

，四边形AF8O是平行四边形，

XVZADB=90°,

...四边形AFBO是矩形.

18.(1)证明见解析；(2)AF=AD,证明见解析.

8

解：（1）-：E.C分别是AF、OF的中点

：.AE=EF,CF=CD

又,：CE=BE

：.四边形ABFC的对角线互相平分

...四边形ABFC是平行四边形

：.AB//FCHAB^FC

.,.AB//DCS.AB=DC

：.四边形ABCD是平行四边形.

（2）当AF=A£>H寸，四边形A8FC是矩形

证明：C分别是A只力尸的中点

，由中位线定理得CE=-AD

2

又♦:CE=BE

：.BC=AD

：.AF=AD=BC

由（1）证得四边形A8FC是平行四边形，

・・・四边形A8FC是矩形.

13

19.（1）证明见详解；（2）—.

2

解：（1）在AABC中，AC2+BC2=52+122=25+144=169=132=AB2，

•••△A8C为直角三角形，

ZACB=90°,

VEF±AC,ED_LBC,

：.ZCFE=ZCDE=90°,

：.ZACB=ZCFE=ZCDE=90°,

・•・四边形COE尸为矩形.

（2）连结CE,

♦•,四边形CO所为矩形，

・・,点G为尸拉的中点，

:.FG=GD,

9

.•.点G在CE上，

根据矩形性质CG=GE,

当点E与点A重合时，点G与AC中点M重合，当点E与点B重合时，点G与BC中点N

重合，

.••点G的路径为^ACB的中位线MN,

VM,N分别为AC,BC中点，

1113

MN//AB,且点G的运动路径K=MN=—A8=—xl3=—.

20.(1)见解析；(2)476

解：⑴；E是AD的中点,

；.AE=ED,

VAF/7BC,

AZADB=ZDAF,ZDBE=ZAFE,

.".△BDE^AFAE,

，AF=BD,

VAB=AC,AD平分NBAC,

；.BD=CD,

；.AF=CD,

又：AF〃CD,

AADCF是平行四边形，

VAB=AC,AD平分NBAC,

，ZADC=90°,

.••平行四边形ADCF是矩形.

（2）CF=AD=[AB2-BD?

10

♦■­BF=7BC2+C