第七章静电场中的导体和电介质2012zh

第七章静电场中的导体和电介质

§7-1

静电场中的导体§7-2

电容器电容器的并联和串联*§7-3

电介质的极化§7-4

电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移§7-5

电场的能量§7-1静电场中的导体一.静电感应导体的静电平衡条件金属导体的特征：1、金属导体的特征金属导体由带正电的晶体点阵和可以在导体中移动的自由电子组成当不带电或无外电场存在时，导体中正负电荷均匀分布，呈电中性静电感应现象：导体置于电场中，导体内电荷在外场作用下重新分布的现象。2、静电感应现象A

导体进入外场后，自由电子将在电场力的作用下定向运动，在靠近A的一端积累起负电荷-q，另一端呈现出正电荷q，-q、q称为感应电荷。感应电荷会建立起附加电场，导体中的总电场为，如果则自由电子将继续定向移动，感应电荷增加，附加电场加强，直到称导体达到了静电平衡。+++++++－－－－－－－-qq－3、导体的静电静电感应过程

导体静电感应过程+－－－－－－－－－－－－++++－++－－4、导体的静电平衡静电平衡时，导体内部和表面都没有电荷的宏观定向移动。导体静电平衡条件

与导体表面之外紧邻处场强与该处表面垂直。

导体内任一点的电场强度为零。导体静电平衡的性质（推论）

导体是一等势体，导体表面是一等势面。

导体外部附近空间的场强与导体表面正交。导体内无电力线导体表面附近表面导体q若二.静电平衡时导体上电荷的分布导体根据高斯定理1.实心导体：1）导体内部无净电荷，所带电荷只分布在导体表面。证明：实心导体：在导体内任取体积元dVS高斯面导体内任意位置dv2）紧靠导体表面的点的场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。导体

证明：设金属表面的电荷面密度为σ

，表面附近的场强为，为求两者间的关系，做一个底面为△S的圆柱形高斯面，底面与导体表面平行，下底面在导体内。由高斯定理有：圆盒面=0=0所以导体表面附近场强垂直于表面σ△S注意：式中的是表面附近的总电场，虽然其大小只与导体表面该处的电荷面密度有关，但它是由导体表面的电荷，以及其他电荷共同产生的。导体表面附近的场强与该处导体表面的

电荷面密度成正比。证明：对有空腔的导体，腔内无其他带电体时，在导体内部任取高斯面，因面上场强处处为零，S2.有空腔的导体：1）腔内无隔离电荷，在静电平衡时有：（a）空腔内无电场（），空腔内电势处处相等。（b）空腔内表面无电荷，电荷只分布在导体外表面上。abS设内表面上有等量异号电荷画一根电力线电力线，首尾处电势不等这是不可能的（和导体等势相矛盾）内表面不可能有电荷。结论：无论对实心或空腔导体，电荷只能分布在外表面上。2）导体空腔内有其它电荷时，内表面上会有等量异号的净电荷，外表面有等量同号电荷。+q-q+q证明：对有空腔的导体，腔内有其他带电体时，在导体内部任取高斯面，因导体内场强处处为零要求即内表面必须带等量异号电荷，而外表面就要带等量同号电荷。思考：导体空腔带电量为Q的情况？表面突出尖锐部分曲率大，电荷面密度大；表面比较平坦部分曲率小，电荷面密度小；表面凹进部分曲率为负，电荷面密度最小。孤立带电导体球各处

=C（常数）+++++++++++++++++金属导体++++++++3.孤立导体电荷分布：情况复杂，实验发现的定性分布：与曲率有关导体表面曲率越大处E越大，面电荷密度也越大（一般不与曲率成正比）

尖端放电－＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋－－空气电离电风导体表面的电荷面密度与表面的曲率的关系，能解释很多现象，如尖端放电、电风等。++++++++－+接感应起电机+蜡烛正离子受排斥形成电风可将蜡烛吹灭。在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的分子处于激发态发光而产生电晕现象。三

静电屏蔽及其应用空腔导体外的电场，只会影响导体外表面上的电荷和外部电场的分布，对导体空腔内部的电场没有影响屏蔽外部电场＋＋－－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋空腔导体可以保护腔内空间不受腔外带电体的影响屏蔽内外电场

接地的空心导体使空腔内带电体与外界的带电体之间的静电作用被隔绝同轴电缆屏蔽层接地＋－－－－－－－外表面电荷被中和高压变压器上的鸟巢

如果空腔内有电荷+q

，由于静电感应，导体内、外表面将出现等量异号的感应电荷，但一旦将导体接地，外表面的电荷将消失，从而避免了空腔内电荷对外部的影响。即一个接地的空腔导体可以隔接放在空腔内的带电体和其外界的带电体之间的静电作用。这就是静电屏蔽原理。－－－－－－－+q-q+q接地的空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响两块平行放置的金属板A和B,两金属板长宽相等且都比板间距大得多,板外无带电体和导体,两板带电量分别为

.求每板表面的电荷面密度.BA平行板导体组问题据电荷守恒定律，有：联立（1）、（2）、（3）、（4），求解得：讨论：例1、无限大带电平面场中平行放置一无限大金属平板。求：金属板两面电荷面密度？(1)导体内场强为零（三层电荷产生）(2)(3)联立(1)－(3)可得：解：带电平面面电荷密度

0，导体感应两面电荷面密度

1

和

2（均设为正）,由电荷守恒有例2、一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为R

1和R

2

，今在中心处放一电量为q

的金属球（半径为r0），则金属球壳的内、外表面带电量各为多少？空间各点处场强如何分布？金属球壳和金属球的电势各为多少？解：（1）根据导体静电平衡条件，设导体球壳内表面（R

1处）所带电量为Q1，则

Q1+q=0得：Q1=-q

同时，导体球壳外表面（R

2处）将感应出

Q2=-Q

1=q

的电荷。（2）在金属球内（r<r

0时）：电场在金属球壳与导体球之间（r0<r<R1时）：作过r

处的高斯面S1R

1R

2r0q-q+q在金属球壳内（R1<r<R2时）：电场在金属球壳外（r>R2时）：作过r处的高斯面S2（3）设金属球壳的电势为U壳，则：设金属球的电势为U球，则：R

1R

2r0q-q+qr0R1R2r0电势曲线电场曲线E

U容易看出：电势的变化是连续的，而电场的变化是不连续的例3：A为一带正电的导体，其表面P处面密度为，当把无限大带电平面B移近时，A表面P处的电荷面密度改变为，P点为靠近A表面P处附近一点，则P点场强的大小为PAB一.电容器（电容器是储存电荷和电能的装置）由靠近的两金属板所组成的系统，二者之间的电势差与所带电量成正比。§7－2电容器电容器的并联和串联

凡是满足“电压与电量成正比，且比值与外界无关”的两个导体的组合，就称为电容器。

组成电容器的两个导体叫做电容器的极板，带正电的极板称为正极，带负电的称为负极；比例常数C称为电容器的电容。电容器电容的定义：电容C=

可见电容C在数值上等于维持两极板间1个单位电压时极板上所需电量。电容C是表征电容器储存电荷能力大小的物理量。

另外，电容C只与组成电容器的两导体的大小、形状、相对位置以及介质有关，而与其所带电量和板间电压无关。电容器电容的定义：电容C=

电容器的单位：1F（法拉）=1C/1V

一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（μF）或皮法（pF）为单位：

1F=106μF=1012pF孤立导体的电容孤立导体--处在真空中远离其他导体并且互不影响的导体称孤立导体。定义：孤立导体的电容物理含义：导体升高单位电势所需电量。由定义：真空中孤立导体球电势只与导体本身的几何尺寸和材料有关，而与带电量无关。定义：孤立导体的电容物理含义：导体升高单位电势所需电量。用孤立导体球要得到1F的电容，球半径为大？可见法拉单位的确太大。如果我们将地球视为一个孤立导体球，其电容值仅为：

C=4×3.14×8.85×10-12×6400×103≈7×10-4F=700μFC=1法拉，则R=9109m>>R地球二、电容器电容的计算

常见的电容器，按其极板的形状有：平行板电容器、球形电容器和柱形电容器等。不论是哪一种电容，当极板带有电荷q

时，两极板间有相应的电势差UA-UB，则UAUB电容器的电容值为：1）平行板电容器-BdSA+Q几种典型的电容器板间场强：电势差：电容：2)圆柱形电容器板间场强：RARBl

下面我们以求柱形电容器的电容为例，说明求电容值的一般过程：

首先，设电容器的内、外极板带有电荷+q

和-q

，单位长度上的电荷为λ=q/l；--------l--------++++++++++++++++板间场强：其次，两极间电势差：最后据电容定义计算--------l--------++++++++++++++++求电容步骤：A）让导体带等量异性电荷并求其电场分布；B）求两极板间电压C）用定义Q/U求C板间场强：两极间电势差：电容：3)球形电容器＋＋＋-------q＋＋＋＋＋--+q

实验表明：在同样电压下，当电容器充满介质后的电容为真空中的电容的

r倍。即

r叫做电介质的相对电容率，它是表征介质本身特征的量，是一无单位的纯数。

三、电介质对电容器电容的影响电介质的电容率用

表示：

=r

0

其单位与0相同。（C2/N.m2）真空的r=1，其它介质的r>1.

平板电容器的电容球形电容器的电容柱形电容器的电容5—10玻璃56甘油3—6云母80纯水3.1—3.5聚氯乙烯2.0—2.3石蜡2.2—2.5变压器油1.000585空气εr电介质εr电介质几种常见电介质的相对介电常数四、电容器的串并联1、电容器的并联VC1

Q1C2

Q2Cn

Qn特点：各电容器上的电压相同，所分配到的电量与电容成正

比。总电量等于各个电容器中电量之和。所以，并联等效电容为CabUabC1C2C3CnU2、电容器的串联C1

Q1C2

Q2Cn

QnU1U2UnU特点：各电容器上的电量相等，所分配到的电压与电容成反比。各电容上电压之和等于总电压。C1C2C3CnabcdeUaeCUae总电压等效电容的倒数：若只有两个电容串联C1C2例题7-1击穿电压为的压缩纸板为电介质的两个电容器串联，电容分别为，，如在这个系统上加电压，问该系统是否会被击穿。解U2>U0，先击穿U1=U，击穿例：如图所示，平行板电容器两极板的面积为S，相距为d，其间平行的放置一厚度为t的金属板，忽略边缘效应。求电容C？金属板离极板的远近有无影响？+q-q-q+qtdABC解：AC间的电容可看成AB间的电容与BC间的电容的串联。ABBC无dd/2ABBC解：S/2S/2d解：并联串联abc一、电介质的极化q0-q0让平行板电容器带电荷q0，此时静电计的指针偏转一角度

，其大小与电容器两极板间的电势差成正比。去除电源后，在两极板间插入一块电介质板，发现静电计指针的偏转角变小了，说明两极板间的电势差变小了。根据电容的定义，这时，电容器的电容值增大了：由于U=Ed

，表明极板间的电场已变小。§7－3电介质的极化由于电荷面密度±σ0不变，显然，这只能是电介质板在靠近正、负极板的两个表面上，分别出现了负电荷和正电荷。电介质表面的电荷与电介质是紧密相连不可分离的，称为极化电荷，而导体表面的电荷很容易与导体分离，称为自由电荷。电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出现极化电荷的现象，叫做电介质的极化。束缚电荷要产生电场，但方向与

相反。电介质中实际的电场为：极化电荷在数量上小于自由电荷，总电场不为零。++++++－－－－－－++++++－－－－－－电介质是绝缘体，内部没有或仅有极少量的自由电荷，分子中的正、负电荷束缚得很紧，电子不能自由运动，在外场作用下，只能在原子核附近作微小距离移动。电介质可以分为两类：无极分子和有极分子。++++－常见无极分子：H2、He、N2和CH4（甲烷）等。没有外电场时，分子的正、负电荷中心是重合的。以甲烷为例，可以进行如图简化：±常见有极分子：HCl、NH3、CO和H2O等。没有外电场时，分子的正负电荷中心也不重合，可以简化为一个电偶极子。

以水分子为例，可以进行如图的简化。－＋二、电介质极化的微观机理在进入外电场前，无极分子的正、负电荷重心重合，没有电偶极矩。在外电场的作用下，正、负电荷的中心发生位移，不再重合，形成电偶极子。(1)无极分子的极化（位移极化）这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极化。有外电场后：正负电荷中心产生相对位移，按外电场方向排列。无外电场时：如He、H2、N2、O2等E0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-(2)有极分子的极化（转向极化）－

＋F1F2加入外场后，分子受到力矩的作用而发生偏转，电偶极矩转向外场方向。所以，这种极化称为转向极化。有固有电矩无外电场：由于热运动而杂乱无章分子正负电荷中心不重合：例如H2O分子OHHHCl分子ClH有外电场：按外电场方向排列一.电介质中的电场电介质中的场强极化电荷产生的附加电场自由电荷产生的场强+++++++++---------+-++--++++++------d1.电介质中的电场§7-4电介质中的电场有电介质时的

高斯定理电位移下面我们以平行板电容器为例求电介质中的场强：d

设电容器带有电量q0，其间无电介质时，两板间电势差为U0，电容值为C0；当充满相对电容率为εr

的电介质时，电势差为U，电容值为C

。由电容器的定义有：两式相比，得：根据电势差与电场间的关系：

很明显，极化电荷的电场

部分地削弱了自由电荷的电场E0，从而使介质中的总电场E

减少为真空中电场的1/εr。充电介质后的平行板电容器的电场强度(被削弱)2.与

的关系

设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电荷面密度为，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：注意：上面得到的总电场E与真空中电场E0的关系式，以及自由电荷面密度σ0与极化电荷面密度σ′

的关系式，并非普适关系式，仅在均匀各向同性介质充满有电场存在的全部空间时才成立。结论是由特例导出的，但普遍成立。成立的条件是：1)电介质充满整个空间；2)介质表面是等势面。以上填充介质后：例1、平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密度为9.0×10–6C/m2，在两极板间充满介电常数3.5×10–11C2/（Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4）极化电荷所产生的场强。解：（1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为（3）极化电荷面密度为：（4）极化电荷所产生的场强为：由此可见，所得的结果相同。二.电介质电场中的高斯定理真空中高斯定理S内一切电荷代数和S面内有电介质时S内自由电荷代数和S内极化电荷代数和+++++++++++++++++++++++++++---------------------------扁盒形高斯面S+为方便计算，我们取如图的高斯面S，其上、下底面与极板平行，面积均为ΔS，上底面在正极板内，下底面在电介质内。以平板电容器为例电介质中的高斯定理定义电位移矢量电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。已知ε=ε0εr有介质时求场强，先求再求各向同性电介质中电位移矢量电位移线用以描述矢量场的一系列曲线，曲线上任一点的切向就是该点电位移的方向，电位移线的密度等于该点电位移的大小。+－－－－+++++++++++++++++++----------------几点说明：(1)

我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；(2)

电位移矢量D是一个辅助物理量，真正有物理意义的是电场强度矢量E，引入D

的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难求解的极化电荷；(3)

与电场线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述D

矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要注意，D线与E线是不同的；几点说明：(4)

引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。(5)

电位移的单位是“库仑每平方米”，符号为：C/m2

，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是IL-2T。（6）D的通量，只与自由电荷有关，但D本身与自由电荷和极化电荷都有关。例2、一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大”的电介质中（介电常数为ε），求：（1）球外任意一点P的场强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。（1）如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定理知：++++S

P（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q′，在球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q′，应用真空中的高斯定理于球面S：++++++++q0－－－－－－－－-q’RRQba解：自由电荷分布在导体球表面上，且具有严格的球对称性，可知场强分布也具有球对称性。应用有介质的高斯定理：RQba--------L--------++++++++++++++++例：一圆柱形电容器，由两个同轴圆筒组成，内圆筒的半径为RA，外圆筒的半径为RB,长为L(L>>RB-RA)，两圆筒之间充满相对介电常数为的各向同性的均匀介质.设内外圆筒带有等量异号电荷+Q和-Q，求（1）内外圆筒间的场强；（2）内外圆筒间的电势差；（3）圆柱形电容器的电容；（4）电容器储存的能量。解（1）由电荷分布的对称性判知场强分布具有轴对称性。取半径为r的的同轴柱面为高斯面，由有介质的高斯定理有：--------L--------++++++++++++++++r（2）内外圆筒间的电势差（3）圆柱形电容器的电容据电容定义计算（4）电容器储存的能量RBRAr--------L--------++++++++++++++++++++++------例6、同轴电缆R1，R2，其间充满电介质

r1,，

r2，分界的半径R。求：单位长度电缆的电容R

r1

r2解：设内外电缆线密度

，在介质中做底面半径为r长为l的圆柱面，有++++++－－－－－－例3、如图所示，平行板电容器两极板之间有两层电介质，电介质表面与极板平行，介电常数分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，电容器两极板的面积为S，两极板上自由电荷面密度为±σ。求：（1）两层电介质内的电位移和场强；（2）电容器的电容；（3）两层电介质表面的极化电荷面密度。解:（1）设这两层电介质中的场强分别为E1和E2，电位移分别为D1

和D2

，在电介质中作一扁盒形高斯面S1

，其两底面与电介质表面平行，在此高斯面内的自由电荷为零，由有电介质时的高斯定理得：D1D2E1E2S1++++++－－－－－－D1D2E1E2S1为计算电介质中电位移与场强的大小，另作如图的扁盒形高斯面S2，其底面积仍取为A：该高斯面内的自由电荷总量为Aσ，按有电介质时的高斯定理得（注意导体中D=0）：++++++－－－－－－D1D2E1E2S2（2）正、负两极板间的电势差为：应用真空中的高斯定理于高斯面S2得：（3）设电介质各个面上的极化电荷面密度分别为（如图）S2S1S2S1然后将开关拨向2，发现灯泡会发光，说明带电的电容器中有能量。先来看一个实验。如图的电路，先将开关拨向1，使电容器充有电量Q，两极间的电势差为UA-UBEdq§7-5电场的能量一.带电电容器的能量1.带电电容器具有能量的实验验证K→1，对C充电;K→2，C对L放电(瞬间L闪亮)求电容器中的能量。设充电过程中某一时刻，极板带电q，电势差为