课时作业(七)二面角-2023-2024学年高二上学期数学人教B版选择性

课时作业(七)二面角一、选择题1．如图，二面角α­l­β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于()A．23B．13C．4D．52．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝32a，则二面角A­BC­D的大小为(A．30°B．45°C．60°D．90°3.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为()A．π12B．C．π6D．4．已知二面角α­l­β中，平面α的一个法向量为n1＝(32，－12，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(0，12，2)，则二面角αA．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°二、填空题5.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C的正弦值为________．6.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．7．如图，在Rt△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，且AB＝4，BC＝2.现将△ABC沿DE折起，使得A到达A1的位置，且二面角A1­DE­B为60°，则A1C＝________．三、解答题8.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．9.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求二面角A­EB­C的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M­AB­D的余弦值．课时作业(七)二面角1．解析：过点D作OD∥l，OA∥BD，OD∩▒OA＝O，因为AC⊥l，BD⊥l，OD＝AB＝1，OA＝BD＝2，OC＝OA222+2CD＝OD2+OC2＝答案：B2．解析：如图取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝32a，又AD＝32∴∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.答案：C3．解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则12×2ah4×12ah'＝68，∴hh'＝答案：D4．解析：设所求二面角的大小为θ，则|cosθ|＝n1·n2n答案：C5．解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝1，则A0，0，3B0，−12，0，所以OA＝0，0，32，BA＝0，12，32，BD设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则n所以1取x＝1，则y＝－3，z＝1，所以n＝(1，－3，1)，所以cos〈n，OA〉＝55，所以sin〈n，OA〉＝2答案：26．解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系：则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以A1E＝(－1，2，－1)，设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cosθ＝A1E·CFA因为θ∈0，π2，所以θ＝π6.又A1F＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y则m·A1F=0m·平面A1B1C1D1一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，所以cosα＝m·nmn＝答案：π7．解析：∵D，E分别为AB，AC中点，∴DE∥BC，∴DE⊥BD，DE⊥A1D，又BD，A1D⊂平面A1BD，BD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A∵二面角A1­DE­B的平面角为∠A1DB，∴∠A1DB＝60°，∵A1D＝BD＝2，∴A1B＝2，∵BC∥DE，∴BC⊥平面A1BD，又A1B⊂平面A1BD，∴BC⊥A1B，∴A1C＝A1B2+BC答案：228．解析：如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．故平面PAB的法向量AD＝(0，1，0)，DC＝(1，0，0)，PD＝(0，1，－1)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，由n·DC令z＝1，所以n＝(0，1，1)，所以cos〈n，AD〉＝12＝2所以〈n，AD〉＝45°.即平面PAB与平面PCD的夹角为45°.9．解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，1，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，DE＝(0，1，1)，BE＝(－1，－1，1)，BC＝(－1，0，0)．因为DE·BE＝0，DE·BC＝0，所以DE⊥BE，DE⊥则DE⊥BE，DE⊥BC.因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以DE⊥平面BCE.(2)AB＝(0，2，0)，设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB含x＝1，所以平面AEB的法向量为n＝(1，0，1)．因为DE⊥平面BCE，所以DE＝(0，1，1)就是平面BCE的一个法向量．因为cos〈n，DE〉＝n·DEn由图形可知二面角A­EB­C为钝角，所以二面角A­EB­C的大小为120°.10．解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝12AD由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.又BC＝12AD，所以EF綊BC所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，PC＝(1，0，－3)，AB＝(1，0，0)．设M(x，y，z)(0<x<1)，则BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3)．因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以|cos〈BM，n〉|＝sin45°，即zx−12+即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又