2021-2022学年山东省烟台市招远市九年级上期末数学试卷及答案解析（五四学制）

2021-2022学年山东省烟台市招远市九年级上期末数学试卷

（五四学制）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）

1.如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（）

2.下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一■定是半圆；（4）

半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧.

其中错误的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹

妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄

山，妹妹赢了就去泰山.下列游戏中，不能选用的是（）

A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢

B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢

C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢

D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑

球则哥哥赢，是红球则妹妹赢

4.如图，是OO的直径，点C,D,£在上，若/4即=20°,则NBCD的度数为

（）

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A.100°B.110°C.115°D.120°

5.“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地.如

图，其中A、B、C三地在同一直线上，。地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°

方向.C地在A地北偏东75°方向.且BD=BC=30〃z.从A地到。地的距离是（）

A.30'/"§mB.20yf^nC.30'/"5mD.15。谦

6.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字

-1,0,1,2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰

好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）

8642

7.如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合.若BC=4,则

图中阴影部分的面积是（）

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8.下列关于二次函数的说法错误的是（

A.抛物线y=-2X2+3X+1的对称轴是直线乂二

4

B.函数尸27+4x-3的图象的最低点在（-1,-5）

C.二次函数/=（x+2）2+2的顶点坐标是（-2,2）

D.点A（3,0）不在抛物线y=/-2x-3上

9.如图，半径为3的OA经过原点。和点C（0,2）,B是y轴左侧OA优弧上一点，贝Utan

/OBC为（）

B.2加。善

10.几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图和左视图如图所示，则小正方体的个数最

多是（）

俯视图左视图

A.5个B.7个C.8个D.9个

11.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点。）20米的点A处，沿

OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）

A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米

12.如图，的半径为2,点A的坐标为（2,2近），直线AB为。。的切线，B为切点.则

8点的坐标为（）

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-21ofyTx

A.（-返，&）B.（-J3,1）C.（-A,再）D.（-1,«）

2555

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）如图，抛物线y=o?+bx+c（a>0）的对称轴是过点（1,0）且平行于y轴的直

线，若点P（4,0）在该抛物线上，贝ij4a-26+c的值为.

14.（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半圆。，交BC于点D.若

ZBAC=40°,则向的度数是度.

15.（4分）如图，在△ABC中，AC=4,将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC,

则图中阴影部分的面积为.

16.（4分）在OO中，圆心角/AOB=100°,则弦AB所对的圆周角=.

17.（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe顶点A、C分别在x轴、〉轴的正半轴

上，顶点8在反比例函数y=K（x>0）的图象上，点尸是矩形OABC内的一点，连接

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PO、PA,PB、PC,若图中阴影部分的面积10,则%为.

18.（4分）如图，直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,在△ABC内部以

AC为斜边任意作Rt^ACD,连接BD,则线段8。长的最小值是.

三、解答题（第19题4分，第20、21题各7分，第22题8分，第23、24题各9分，第

25题11分）

19.（4分）计算：tan45°-sin260°-'J（l-tan60°）2+2cos30°.

20.（7分）如图，一个工件是由大长方体上面中间部位挖去一个小长方体后形成，主视图

是凹字形的轴对称图形.

（1）请在答题卷指定的位置补画该工件的俯视图;

（2）若该工件的前侧面（即主视图部位）需涂油漆，根据图中尺寸（单位：。〃），计算

需涂油漆部位的面积.

21.（7分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4,另

有一个可以自由旋转的圆盘.被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如

图所示）.小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从

口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和

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小于4,那么小颖去；否则小亮去.

（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.

22.（8分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场

内的甲种蔬菜的销售利润yi（千元）与进货量x（吨）之间的函数yi=fcv的图象如图①

所示，乙种蔬菜的销售利润”（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=/+bx的图象

如图②所示.

（1）分别求出以、”与x之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共1。吨，设乙种蔬菜的进货量为f吨，写出这

两种蔬菜所获得的利润之和W（千元）与f（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜

各进多少吨时获得的利润之和最大，最大利润是多少？

23.（9分）图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁

环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为25cm,

设铁环中心为0,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,ZMOA=a,且

□

sina=—.

（1）求点M离地面AC的高度BM；

（2）设人站立点C与点A的水平距离AC^55cm,求铁环钩MF的长度.

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24.(9分)已知△ABC内接于。。，过点A作直线EF.

(1)如图①所示，若A2为。。的直径，要使EP成为。。的切线，还需要添加的一个

条件是(至少说出两种)：或者.

(2)如图②所示，如果A8是不过圆心。的弦，且NC4E=N8,那么EF是。。的切

线吗？试证明你的判断.

图①图②

25.(11分)如图，已知抛物线过点A(3,0),B(-1,0),C(0,3),连接AC,点M

是抛物线AC段上的一点，且CM〃尤轴.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求/CAM的正切值；

(3)点Q在抛物线上，且/BAQ=NCAM,求点。的坐标.

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2021-2022学年山东省烟台市招远市九年级上期末数学试卷

（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）

1.如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（）

【分析】从侧面看圆柱的视图为矩形，据此求解即可.

【解答】解：•••该几何体上下部分均为圆柱体，

.♦•其左视图为矩形，

故选：C.

【点评】本题重点考查了三视图的定义，注意主视图、左视图、俯视图不要混淆，本题

用实物观察，得出结论，考查学生对几何体的空间想象能力.

2.下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）

半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧.

其中错误的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念.（2）弦是连接圆上两点间的线段,

只有过圆心的弦才是直径.（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.比半圆大的弧是优弧，

比半圆小的弧是劣弧.（4）（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定

能重合.

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【解答】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接

圆上两点的线段这一概念，所以（1）正确；

（2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）

错误；

（3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是

弧.但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆.所以（3）

正确；

（4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）

正确；

（5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合.所以（5）错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握相关的定义和性质.

3.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹

妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄

山，妹妹赢了就去泰山.下列游戏中，不能选用的是（）

A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢

B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢

C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢

D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑

球则哥哥赢，是红球则妹妹赢

【分析】判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则

不公平，由此逐项分析即可.

【解答】解：A、掷一枚硬币，正面向上的概率为上，反面向上的概率为』，概率相等可

22

选，故此选项不符合题意；

3、画出树形图可知：两枚都正面向上的概率为工，一正一反向上的概率为工，概率不相

42

等可选，故此选项符合题意；

C、掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为』，概率相等，故此选项不符合题

2

忌；

。、在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑

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球的概率为上，是红球的概率为工，概率相等，故此选项不符合题意,

22

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，

概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.如图，是的直径，点C,D,E在O。上，若NAED=20°,则/BCD的度数为

()

A.100°B.110°C.115°D.120°

【分析】连接AC,根据圆周角定理，可分别求出/ACB=90°,ZACD=2O°,即可求

/BCD的度数.

【解答】解：连接AC,

•..AB为。。的直径，

/.ZACB=9Q°,

VZAED=20°,

/.ZACD=2Q°,

/.ZBCD=ZACB+ZACD=110°,

故选：B.

【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半.

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5.“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、。四地.如

图，其中4、2、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°

方向.C地在A地北偏东75°方向.J.BD=BC=30m.从A地到。地的距离是（）

A.30j^mB.20yC.D.15-•/gm

【分析】过点。作。H垂直于AC,垂足为H,求出/QAC的度数，判断出△BC。是等

边三角形，再利用三角函数求出的长，从而得至UAB+BC+CZ）的长.

【解答】解：过点。作。”垂直于AC,垂足为”，

由题意可知/ZMC=75°-30°=45°,

：△BCD是等边三角形，

AZDBC=60°,BD=BC=CD=30m,

.•.O〃=返X30=15«,

2

/.AD--\/~2DH=15yf^n.

答：从A地到。地的距离是15在

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将

解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

6.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字

-1,0,1,2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰

好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）

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8642

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都

是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

开始

•••共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，

.••两个数字都是正数的概率是：A=l.

164

故选：C.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两

步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.如图，半圆的直径恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合.若3c=4,则

图中阴影部分的面积是（）

【分析】如图，连接CD,OD,根据已知条件得到0B=2,ZB=45°,根据三角形和

扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：如图，连接CO,0D,

VBC=4,

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：.OB=2,

VZB=45°,

：.ZCOD=90°,

；•图中阴影部分的面积=S^BOD+S扇形COD=1X2X2+9Q，-71X2i=2+-rr，

2360

故选：A.

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

8.下列关于二次函数的说法错误的是()

A.抛物线y=-2/+3x+l的对称轴是直线x卫

4

B.函数y=27+4x-3的图象的最低点在(-1,-5)

C.二次函数丫=(x+2)2+2的顶点坐标是(-2,2)

D.点A(3,0)不在抛物线y=/-2x-3上

【分析】利用二次函数的性质对四个选项逐一判断即可得到答案.

【解答】解：A、抛物线y=-2/+3尤+1的对称轴是直线》=-且=3,正确，选项不符

2a4

合要求；

B、函数-3=(x+1)2-5的最低点是(-1,-5),正确，选项不符合要求；

C、二次函数丫=(x+2)2+2的顶点坐标是(-2,2),正确，选项不符合要求；

D、当x=3时-2x-3W0,错误，选项符合要求.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的

判断.

9.如图，半径为3的OA经过原点。和点C(0,2),2是y轴左侧OA优弧上一点，贝Utan

/OBC为()

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A.AB.2A/2C.返D.2&

343

【分析】作直径CD,根据勾股定理求出OD根据正切的定义求出tan/CDO,根据圆

周角定理得到NOBC=/C。。，等量代换即可.

【解答】解：作直径CD,

在RtZSOCD中，CD=6,0C=2,

则OD=Q2_QQ2=4»

t-瑞邛,

由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,

则tan/OBC=2/l,

4

故选：C.

【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧

或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

10.几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图和左视图如图所示，则小正方体的个数最

A.5个B.7个C.8个D.9个

【分析】根据俯视图知几何体的底层有4个小正方形组成，而左视图是由3个小正方形

组成，故这个几何体的后排最有1个小正方体，前排最多有2义3=6个小正方体，即可

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解答.

【解答】解：由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下:

俯视图左视图

故选：B.

【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想

象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就

容易得到答案.

11.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿

OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）

：'、

BNAv

A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米

【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的

变化.

【解答】解：设小明在A处时影长为x,2处时影长为y.

'：AC//OP,BD//OP,

:.LACMsLOPM,△BDNS^OPN,

.AC_MABD=_NB_

"OP-MO'OP-NCT)

则x=16,

x+208

•・x=5,

y_1.6

y+^=8

・・.y=1.5,

•~y—3.5,

减少了3.5米.

故选：D.

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t^^7A~

【点评】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化.

12.如图，OO的半径为2,点A的坐标为（2,2近），直线AB为。。的切线，B为切点.则

【分析】先利用切线AC求出OC=2=」04,从而/BOD=/AOC=60°,则8点的坐

2

标即可求出.

【解答】解：过点A作AC,无轴于点C,过点8作BD_Lx轴于点O,

；G）O的半径为2,点A的坐标为（2,2«）,即OC=2,

；.AC是圆的切线.

:点A的坐标为（2,2«）,

0）=62+（2折2=4,

；BO=2,AO=4,ZABO=9Q°,

AZAOB^6Q°,

VOA=4,OC=2,

sinZOAC=A,

2

.\ZOAC=30°,

：.ZAOC=60°,ZAOB=ZAOC=60°,

ZBOD=180°-ZAOB-ZAOC=6Q°,

：.OD=l,BD=M，即B点的坐标为（-1,73）.故选D

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【点评】本题综合考查了圆的切线长定理和坐标的确定，是综合性较强的综合题，关键

是根据切线长定理求出相关的线段，并求出相对应的角度，利用直角三角形的性质求解.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）如图，抛物线y=a?+bx+cQ>0）的对称轴是过点（1,0）且平行于y轴的直

线，若点P（4,0）在该抛物线上，贝I]4a-26+c的值为0.

【分析】依据抛物线的对称性求得与无轴的另一个交点，代入解析式即可.

【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是。

•.•抛物线的对称轴是过点（1,0）,与x轴的一个交点是P（4,0）,

...与x轴的另一个交点。（-2,0）,

把（-2,0）代入解析式得：0=4a-2b+c,

4a-2b+c=0,

故答案为：0.

【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与X轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x

轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键.

14.（4分）如图，已知在△ABC中，AB^AC.以AB为直径作半圆。，交BC于点D若

ZBAC=40°,则命的度数是140度.

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【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径的半圆交BC于点D,

可得/"W=/CW=20°,即可得乙43。=70°,继而求得/AOD的度数，则可求得向

的度数.

【解答】解：连接A。、OD,

,：AB为直径，

/.ZADB=90°,

即ADLBC,

'：AB=AC,

：.ZBAD=ZCAD=1ZBAC=2O°,BD=DC,

2

:./ABD=1O°,

ZAOD=]40°

它的度数为140。；

故答案为140.

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助

线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

15.（4分）如图，在△ABC中，AC=4,将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC,

则图中阴影部分的面积为里兀.

-3-

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【分析】根据旋转的性质得到△CAB的面积=Z\CFG的面积，得到阴影部分的面积=扇

形CAF的面积，根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：由题意得，△CAB的面积=Z\C『G的面积，

由图形可知，阴影部分的面积=4（7k7的面积+扇形C4P的面积-/XCBA的面积，

阴影部分的面积=扇形CAF的面积=义兀.一4_=居内

3603

故答案为：匡兀.

3

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得

到阴影部分的面积=扇形CAF的面积是解题的关键.

16.（4分）在中，圆心角/4。8=100°,则弦48所对的圆周角=50°或130°.

【分析】此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类.再根据一

条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算.

【解答】解：根据圆周角定理，得

弦AB所对的圆周角=100°4-2=50°或180°-50°=130°.

【点评】此题考查了圆周角定理.注意：弦所对的圆周角有两种情况.

17.（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形0A2C顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴

上，顶点B在反比例函数y=K（x>0）的图象上，点尸是矩形OABC内的一点，连接

x

PO、PA,PB、PC,若图中阴影部分的面积10,则I为20.

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【分析】作PELOC于E，£尸的延长线交A2于R由题意得至US阴=工・。。・尸£+工，48

22

•PF=4,CO，EF=/.0c・OA=/s矩形ABCO=10，进一步得至!JS矩形ABCO=20,根据反比

例函数系数k的几何意义即可求得上=20.

【解答】解：作PELOC于E,£尸的延长线交于凡

"•'S阴=」・0。・尸£+」.？18.尸尸=1・。。・£厂=工・℃・0A='$矩形4BCO=10,

22222

'S矩形ABC。=20，

：.k=20.

故答案为20.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩

形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

18.（4分）如图，直角三角形A3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,在△ABC内部以

AC为斜边任意作Rt^ACZ）,连接BD,则线段长的最小值是2.

【分析】取AC的中点O,根据圆周角定理得到点。在以AC为直径的圆上，根据勾股定

理可计算出08=5,当D点在02上时，BD的值最小，最小值为5-3=2.

【解答】解：取AC的中点。，

iSAABC内部以AC为斜边任意作RtAACD,

...点。在以AC为直径的圆上，

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，当。点在OB上时，BD的值最小，

在Rt/XBOC中，OC=LC=3,BC=4,

2

的值最小为5-3=2.

故答案为2.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设O。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=d,

则有点P在圆外=">r；点尸在圆上=d=r；点P在圆内也考查了圆周角定理

和勾股定理.

三、解答题（第19题4分，第20、21题各7分，第22题8分，第23、24题各9分，第

25题11分）

19.（4分）计算：tan45°-sin%。°-4（l-tan60°）2+2cos30。.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案.

【解答】解：原式=1-（返炉-（«-1）+2*返

22

=1---/3+1+V3

4

=_5

T

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

20.（7分）如图，一个工件是由大长方体上面中间部位挖去一个小长方体后形成，主视图

是凹字形的轴对称图形.

（1）请在答题卷指定的位置补画该工件的俯视图；

（2）若该工件的前侧面（即主视图部位）需涂油漆，根据图中尺寸（单位：cm）,计算

需涂油漆部位的面积.

【分析】（1）俯视图为左右相邻的3个长方形，并且两边的长方形的宽度相同，小于中

间的长方形的宽度；

（2）主视图的面积为两边长为11,7的长方形的面积减去两边长为5,4的长方形的面

积.

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【解答】解：（1）俯视图（看形状、大小基本正确）

（2）需涂油漆（主视图）面积：11X7-5X4=57（cm2）

【点评】俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意主视图的面积可分割为两个规则图

形的面积的差.

21.（7分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4,另

有一个可以自由旋转的圆盘.被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如

图所示）.小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从

口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和

小于4,那么小颖去；否则小亮去.

（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指

数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；

（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使

游戏公平，只要概率相等即可.

【解答】解：（1）画树状图得：

•••共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况,

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：.P（和小于4）=W=」，

124

小颖参加比赛的概率为：1；

4

（2）不公平，

VP（小颖）=1,

4

p（小亮）=3.

4

:.P（和小于4）WP（和大于等于4）,

游戏不公平；

可改为：若两个数字之和小于5,则小颖去参赛；否则，小亮去参赛.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，

概率相等就公平，否则就不公平.

22.（8分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场

内的甲种蔬菜的销售利润约（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图①

所示，乙种蔬菜的销售利润”（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=/+6x的图象

如图②所示.

（1）分别求出?、”与x之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为/吨，写出这

两种蔬菜所获得的利润之和W（千元）与f（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜

各进多少吨时获得的利润之和最大，最大利润是多少？

【分析】（1）把（5,3）代入正比例函数即可求得上的值也就求得了”的关系式；把原

点及（1,2）,（5,6）代入即可求得”的关系式；

（2）销售利润之和卬=甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的

最值即可.

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【解答】解：(1)由题意得：5左=3,

解得左=0.6,

・・yi=0.6%；

rc=0[a=-0.2

由，a+b+c=2，解得：＜b=2.2.

,25a+5b+c=6c=0

，y2=-0.2/+2.2x；

(2)W=0.6(10-r)+(-0.2?+2.2f)=-0.2r+1.6f+6=-0.2(f-4)2+9.2.

所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最

大利润是9200元.

【点评】本题考查了二次函数的应用；得到甲乙两种商品的利润是解决本题的突破点；

得到总利润的关系式是解决本题的关键.

23.(9分)图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁

环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为25a”，

设铁环中心为O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,ZMOA^a,且

sina=­.

(1)求点M离地面AC的高度BM；

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC^55cm,求铁环钩MF的长度.

【分析】(1)过M作与AC平行的直线，与04、FC分别相交于”、N.那么求的

长就转化为求HA的长，而要求出HA,必须先求出OH,在直角三角形OHM中，sina

的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5,可求得的值，从而求得的值；

(2)因为,ZFMN=ZMOH,又因为sinZMOA

=3,所以可得出-V和EM之间的数量关系，即m=3F加，再根据MN=11-3=8,

55

利用勾股定理即可求出FM=10个单位.

【解答】解：(1)过点M作交04于点

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在RTZiODM中，sina=I^-W

ON5

.\DM=15cm.\OD=20cm,

C.AD—BM—5cm\

（2）延长DM交C尸于点E,

易得：ZFME=ZAOM=a,

'：ME=AC-DM=55-15=40cm,

cosa=-^^5-^A

MF5

图2

【点评】考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只

要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答.

24.（9分）已知△ABC内接于O。，过点A作直线EE

（1）如图①所示，若AB为OO的直径，要使EF成为。。的切线，还需要添加的一个

条件是（至少说出两种）：/BAE=90°或者/EAC=/ABC.

（2）如图②所示，如果是不过圆心O的弦，且/C4E=/B,那么E尸是。0的切

线吗？试证明你的判断.

【分析】（1）求出NA4E=90°,再根据切线的判定定理推出即可；

（2）作直径AM,连接CM,根据圆周角定理求出ZACM=90°,求出/

MAC+ZCAE=9Q°