《余弦定理》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教学设计

第一课时余弦定理

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向

量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。

本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出

了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般

三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理

以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所

对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方

那么第三边所对的角是锐角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”，还要启发引导学生注

意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达

到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量

知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；1.数学抽象：余弦定理的推导过程；

B.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解2.逻辑推理：余弦定理的证明；

决两类解三角形问题；3.数学运算：利用余弦定理解三角形；

C.掌握给出三边判断三角形的形状问题；4.直观想象：数形结合法；

D.培养学生的数形结合的能力。

【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形

的思路。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新

1.向量的减法：通过复习所学知识，

建立知识间的联系，

宁提高学生概括、类比

推理的能力。

【答案】OA-OB=BA.相同起点，尾尾相连，指向被减向量。

2.向量的数量积

【答案】a-b=]a\\b\cos0

3.证明三角形全等的方法有哪些？

【答案】ASA,AAS,SAS,SSS»

二、探索新知

通过探究，由向量证

探究1.在三角形4式1中，三个角4B,C所对的边分别为a,b,c,怎

明余弦定理，提高学

样用a,3和。表示c?

—»—>—>—>—>—>—>—>—>生分析问题、概括能

【解析】如图，设CB=a,C4=0,AB=c，那么c=a-0,

力。

IT2ff(Tf、(T—ffffff

c=c-c=a-b-a-b\=a-a+h-b-2a-b

=a2+〃-2abcosC

所以c?=a2+b2-2abcosCo

同理可证：

a2=h2+c2-2hccosA

h2=a2+c2-2accosB

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两

边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a1=〃+/-2bccosA

-2QCCOS3

通过思考，推导余弦

c2=a2+b2-2abcosC

定理的推论，提高学

应用：已知两边和一个夹角，求第三边.

生解决问题的能力。

思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应

用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，

怎么确定呢？

力222

由余弦定理变形得cosA=--------------

2bc

222

Da+c-b

cosB=-----------

lac

222

厂a+h-c

cosC=-----------

lab

应用：已知三条边求角度。

思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则

指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理通过思考与探究，进

之间的关系吗？一步推导余弦定理的

【解析】a2=b2+c2-2bccosA,a2=b'+c2变形结论，提高学生

的观察、概括能力。

探究2：当角C为直角时，有,2=/+》2,当角c为锐角时，这三者的

关系是什么？钝角呢？

【结论】当角C为锐角时，cr+b2>c\

当角C为钝角时，a2+b2<c2,

当角C为直角时，cr+b2=c2.

一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的

元素，已知三角形的儿个元素求其它元素的过程叫做解三角形。

例1.在AA8C中，已知b=60cm,c=34cm,A=41",解这个三角形（角

度精准到1°,边长精确到1cm.）

解：由余弦定理，得

a2=b2+c2-2/JCCOSA=602+342-2x60x34xcos41°

通过例题的讲解，让

«1676.78

学生进一步理解余弦

所以。之41,

定理，提高学生解决

由余弦定理的推论，得

与分析问题的能力。

+c"—b~34~+41~—60-763工“山」2加口一za

cos8=---------------=--------------------=----------,利用计算器，可r得

2ac2x34x412788

所以，。=180°-（4+3）。180°-（41°+106°）=33°

例2.在A48C中，已知a=7,b=8,锐角C满足sinC=e叵，求B。（精

14

准到1°）

解：因为sinCn笔，且C为锐角.

所以cosC=/l-sin?C=J1—（专书=日.

由余弦定理.得

〃=小+小一勿6cosC=49+64-2X7X8X-=9t

14

所以c=3.

进而cosBn/f理&七64=」

2ca2X3X77,

利用计算器.可得

B*98'.

三、达标检测

1.在中，a=7,b=4小,c=y/13,则△/眩的最小角为（）

JIHJIJI

A-TB-TC-TD.正

【答案】B通过练习巩固本节所

【解析】由三角形边角关系可知，角。为的最小角，则cosC=学知识，通过学生解

a+lj-c72+（4也）2—（，15）"理it将冼R决问题的能力，感悟

2ab-2X7X4m一2,所以，-6'故选仄

其中蕴含的数学思

2.在中，已知3=4+/+/^,则角1等于（）

想，增强学生的应用

A.60°B.45°C.120°D.30°

意识。

【答案】C

l）-\~c—a1

【解析】由cosA—,..A—120.故选C。

9Lbcz

3.在△力比中，若d=2AosC,则的形状为_______.

【答案】等腰三角形

才+4一c2a+/f—c

【解析】-a-26cosC=2b•°/=，

2aba

:.M=M+U—d,BPl}=c,b=c,

・・・△/!欧为等腰三角形.

4.在△4?C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知6=C2b=4

a,则cosA=_______.

【答案】g

【解析】由8=12^=小a

可得

32_J_322

而g1——+L1

所以cose2bc-J3Vj-3-

2乂七aX寄a

5.在△四。中，已知a=5,6=3,角。的余弦值是方程59+7x—6=0

的根，求第三边。的长.

【解析】5X2+7*—6=0可化为(5x—3)•(x+2)=0,

3

，小=£,在=一2(舍去)，

5

/.cos

5

根据余弦定理.，

c=a-\-l}—2abcosC

3

=52+32-2X5X3X-=16,

5

・・.c=4,即第三边长为4.

四、小结通过总结，让学生进

1.余弦定理及其推论；一步巩固本节所学内

2.利用余弦定理的解三角形。

容，提高概括能力，提

五、作业

高学生的数学运算能

习题6.46(1)(2)题

力和逻辑推理能力。

【教学反思】

本课中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题

解决问题、应用反思的过程,学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造

的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实,为今后的定理教学提供了一

些有用的借鉴。

创设教学情境是“情境问题反思应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、

知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较,选择具有较好

的教育功能的情境。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案

第1课时余弦定理

【学习目标】

1.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；

2.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题；

3.掌握给出三边判断三角形的形状问题；

4.培养学生的数形结合的能力。

【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形

的思路。

【知识梳理】

余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于_____减去这两边与它们一

文字表述

____________的两倍

a=___________________,

公式表达炉=_____________________,

C=______________________£_

cosA=________________；

变形cosB=__________________；

cosC=__________________o

【学习过程】

一、探索新知

探究1.在三角形4%中，三个角4B,。所对的边分别为a,b,c,怎样用a,6和C

表示c?

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

余弦的积的两倍，即_________________________________

应用：已知两边和一个夹角，求第三边.

思考1:余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理,

我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形

的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？

探究2：当角C为直角时，有。2=/+〃，当角c为锐角时，这三者的关系是什么？

钝角呢？

一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角

形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。

例1.在A4BC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解这个三角形（角度精准到1°,

边长精确到1cm.）

例2.在A4BC中，已知军7,左8,锐角C满足sinC=±8,求B。（精准到1°）

14

【达标检测】

1.在△4?。中，a=7,b=4小,c=y[13,则△/回的最小角为（）

nnnn

A•彳B-TCTD.瓦

2.在△力a'中，已知a2=4+c2+bc,则角1等于（）

A.60°B.45°C.120°D.30°

3.在△?1%中，若a=2Z）cosC,则△/比1的形状为

4.在△4式■中，内角力,B,。的对边分别为a,b,c,已知人"2A=/a,则cosA

5.在△力玄中，已知a=5,6=3,角C的余弦值是方程5f+7x—6=0的根，求第三

边。的长.

参考答案：

探究1.如图，设&=[a=Z,Z5=W,那么建

IT2->—>7、（->—>、ff->f->f

c=c・c=a-b-a-b-a-a+h-b-2a-b

-cr+b2-2abeosC

所以c?=。2+心—2abcosC0

同理可证：

a2=h2+c2-2hccosA

h2=a2+c2-2accosB

余弦定理：

a2-b14-c2-2bccosA

b2=a24-c2-2accosB

c2=a2+〃-2ahcosC

1222

思考1.由余弦定理变形得cosA=+J一仆

2bc

«24-C2-/72

cosB=

2ac

a2+b2-c2

cosC=

lab

思考2.a2=b2+c2-2bccosA,a2=b2+c2

探究2.【结论】当角C为锐角时，a2+b2>c\

当角C为钝角时，/+"</；

当角C为直角时，a2+b2=c2

例1.解：由余弦定理，得

2=b2+c2-2&ccosA=602+342-2x60*34xcos41°

1676.78

所以,

由余弦定理的推论，得

35一2+,2-=4+412一行当~,利用计算器，可得8a106°

2ac2x34x412788

所以，。=180°-(4+3)=180°-(41°+106°)=33°

例2.

解：因为sinC=49,且C为锐角,

14

所以cosC=>/1—sin:C=第

由余弦定理，得

d=a'+Z>，-2a6rosC=49+64-2X7X8X^=9,

14

所以c=3.

一+M-l9+49—641

进而cosBk-2ca-=2X3X7=-7,

利用计算器，可得

8、98°.

达标检测

1.【答案】B

a2+Z>2~~

【解析】由三角形边角关系可知，角，为△/比1的最小角，则cosC=-2ab-

如一

7-1+(4,所以，兰，故选民

2X7X4V3—2

2.【答案】C

_21

【解析】由3公."=⑵。.故选配

3.【答案】等腰三角形

【解析】Va=2Z?cosC=2b•

2aba

*.a=a+t)-cf即。2=占b=c,

...△Aft7为等腰三角形.

4.【答案】|

【解析】由8=C2Z?=，5a,

可得。=。=乎输

302i3022

皿―4a+4a-a1

所以cos力=2bc=爽爽F

2X2aX2a

5.【解析】5/+7x—6=0可化为(5x—3)•(x+2)=0,

3

.•・小=三，生=—2(舍去)，

0

/.cosC=7.

□

根据余弦定理，

c=cfI）—2abcosC

3

=52+32-2X5X3XT=16,

5

・・・c=4,即第三边长为三

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习

第一课时余弦定理

一、选择题

1.在△,颍窗中，已知筋=郊嫉，怔=*，盍=：!哪，则a等于（）

A.普而B.6C.窑质或6D.氧屈而后

整

2.△,施修的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知满=心,箱=既，感酩＞总=一，

3

则愚=（）

A.虑B.万C.2D.3

3.在△地初中，若彝=胃怎=蜀.麻邮好=联，则最大角的余弦值是（）

A.:1B.C.--D.

飞

4.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,则a的取值范围是()

A.8c水10B.2石VaV而

C.2/<a<10D-Ji<a<8

5.(多选题)在△zL8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

岫“北炉-三激他酶4=并滥;,则角端的值为(

A,巴B,受或场c.

展幅

6.(多选题)设A.1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

〃=2,。=26,<：0524=^^,且1)<。，则(

)

2

A.b=2B./,=2>/2C.8=60"D.B=3O°

二、填空题

7.已知AABC中，3a2—2。匕+3/—3。2=0，则cosC=

8.在AA6C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/=〃+/7c+c?,则4=

9.已知a,b,c为回的三边，Q120°,则才+c2+ac—4=.

10.设△,施修的内角悬斶，鳏的对边分别为礴玛芹.若娥朴小=濯开展;，且

蹒蘸？=鸣”则

A=,△,施S窗是—三角形.

三、解答题

7

11.设AABC的内角A,8,C所对的边分别为仇c,且域不%=演盛=既，cos8=3.

(I)求a,c的值；

(II)求sin(A-B)的值.

12.在△ABC中，BC=a,AC=b,已知“，》是方程/一2氐+2=0的两个

根，且2cos（A+8）=1.

（1）求角C的大小;

（2）求A3的长.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习答案解析

第一课时余弦定理

一、选择题

1.在△,本密中，已知曲=现有，*,J.=WS,则a等于（）

A.等而B.6C.既而或6D.氧痴祗后

【答案】A

【解析】初志

由余弦定理得睛=5/妊/一禁检蝌或=48¥12-2XX驾曲X（一荔）=84,所以谢=

篝

察商•故选A.

兽

2.△施S窗的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知满=透，彩=%，蹦圈4=一，

曹

则愚=（）

A.&B.垂C.2D.3

【答案】D

♦Qjr

【解析】由余弦定理，得受=,蛭普现—窝搬落翦寓f,解得&=笔（B=—舍去）.故选

冬3

D.

11软

3.在△感糊中，若典=*自=鼠&解辟=罄，则最大角的余弦值是（）

【答案】c

【解析】

由余弦定理得蹈?公=巴竺士=迎，解得您=兽，可知角感最大,

寓就兜B：楞14

则—婷叱一婷=3故选C.

4.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,则a的取值范围是（）

A.8<a<10B.2厘<"腐

C.2石<a<10D.覆<a<8

【答案】B

【解析】

即

3>嫡>2#；当a=3时符合题意，综上2/<@<腐，故选B.

5.（多选题）在△W3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

窗"*-&号他逊®殿=假圈，则角廨的值为（）

//嗤7-

【答案】CD

【解析】

因为（d+二—b*）tan3=,所以2accosStan3=J8ac，即sin3=、^,所

以强=学或腐=.，故选CD.

兽兽

6.（多选题）设△zLSC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

a=2,c=2A/^,COSA=且b<c,则（）

2

A.b=2B.b=2MC.B=60°D.8=30°

【答案】AD

【解析】由余弦定理得4=〃+12-6b=>〃一6Z?+8=0，由b〈c得b=2,由a=2,

cosA=--->所以8=A=30,，故选AD。

2

二、填空题

7.已知AABC中，3a2-2ab+3b2-3c2=0>则cosC=_

【答案】2

3

【解析】

8.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若〃=尸+秘+。2,则4=

【答案】12