浙江省新高考2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（含答案解析）

浙江省新高考2023-2024学年高二上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线/=2夕的准线方程为（）

A.x=—B.x=—1

2

C.y=--D.y=-i

2

2.双曲线/一鼻_=1的一个焦点的坐标为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,V2）D.电,0）

3.已知空间的三个不共面的单位向量1,b，c,对于空间的任意一个向量力，（）

A.将向量G,b，己平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上

B.总存在实数x,y,使得p=xa+yb

C.总存在实数x,y,z,使得万=xZ+y,+B）+z,-B）

D.总存在实数x,y,z,使得万=xa+y（a+B）+z（G-O）

4.已知数列｛。“｝是递增的等比数列，a1+a2+a3=14,=64,则公比9=（）

A.yB.1C.2D.4

5.已知点/。,1）和8（2,4）,点/＞在夕轴上，且/"5为直角，则点尸坐标为（）

A.（0,2）B.（0,2）或（0,3）C.（0,2）或（0,4）D.（0,3）

6.若直线V=x+6与圆f+/=i有公共点，则实数6的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,V2]D.[-0，亚]

7.已知椭圆。和双曲线E具有相同的焦点，离心率分别为de2,椭圆的长轴恰好被双

曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段，则（）

4

A.exe2=1B.,4=5

C.，=3色D.e{+e2=-

8.在三棱锥S—力中，SA=SB=C,AB=2,BC=1,AB上BC.若SC与面S43所成

角的最大值为6,则tai?。的值为（）

试卷第1页，共4页

A/5-1仆+1

A.

222,2

二、多选题

9.已知椭圆=1与双曲线C,:上」+E=l（9＜《＜16）,下列关于两曲线的

169216-k9-k'7

说法正确的是（）

A.G的长轴长与的实轴长相等B.G的短轴长与G的虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率不相等

22

10.设片，与为椭圆］+g-=l的左,右焦点，直线/过片交椭圆于/,3两点，则以

下说法正确的是（）

A.的周长为定值8B.△48工的面积最大值为26

C.球的最小值为&

D.存在直线/使得鸟的重心为

3

11.已知函数/（x）=xlnx,若0＜再＜%,则下列结论正确的是（）

A.x2/（x1）＜x1/（x2）B.玉+/（占）＜工2+/（%2）

C〃网）-小）（0

D.当lnx＞-l时，

项-x2

玉/■（X］）+x2f（尤2）＞2%2/（%1）

12.在矩形/BCD中=24D=2,£为的中点，将V4DE沿DE翻折到的

位置，4史平面/8CO,“为4c的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）

A.恒有W〃平面

B.8与"两点间距离恒为定值

C.三棱锥4-。瓦必的体积的最大值为正

6

D.存在某个位置，使得平面4DEJ■平面4。

三、填空题

13.已知向量为=（2,0,1）为平面夕的法向量，点”（-1,2,1）在c内，点P（l,2,-2）在1外,

则点P到平面&的距离为.

试卷第2页，共4页

14.在平面直角坐标系xOy中，若圆=4和圆/+_/+4》一4了+4=0关于直线/对

称，则直线/的方程为.

15.在数列｛〃"｝中，4=1,a„+!=an+—("GN*),若feZ,则当取得最小值

an

时，整数％的值为.

16.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射

出.今有抛物线C:/=2/(p>0)(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点2点，经过

C的焦点/射向。上的点。，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距

离是4,则。的方程是.

四、解答题

17.已知圆C经过点/(4,2)、5(6,0),圆心C在直线x+y-4=0上.

(1)求圆C的方程；

⑵若直线夕=左(》+2)与圆C相交于P、。两点，|尸°|=26，求实数上的值.

18.如图，在四棱锥S-/BCD中，底面是直角梯形，

BC//AD,BCLAB,AD=2BC,侧棱S4_L平面SCD,AS=AB=BC,E是/。的中

点.

⑴求证：8E_L平面S/C；

(2)求直线AB与平面SBD所成的角的正弦值.

19.2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召

开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后,

试卷第3页，共4页

从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试(试卷满分100分)，并记录下他们的成

绩，其中成绩分组区间是：第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组

［75,85),第五组［85,95］,并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率

(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数(保留一位小数)；

(2)为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四、五组中

用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人

作为校二十大精神的宣传员，求85分(包括85分)以上的同学恰有1人被抽到的概率.

〃n

20.记Z巧=匹+、2+%3+…+%〃，”项…£N*,已知数列｛“〃｝和也｝

z=lz=l

分别满足：/,="2巾a=(6产.

Z=11=1

(1)求｛%｝,｛4｝的通项公式；

n

⑵求£。力.

i=l

21.已知耳，耳为椭圆C：=+《=1(〃>6>0)的左、右焦点.点〃■为椭圆上一点，当

/耳收取最大值:时，(砺+说).诟=6.

⑴求椭圆C的方程；

(2)点P为直线x=4上一点(且尸不在x轴上)，过点尸作椭圆C的两条切线尸区,PB,

切点分别为A,B,点B关于无轴的对称点为"，连接交x轴于点G.设△/gG,

△典G的面积分别为S-邑，求Wi-Szl的最大值.

22.已知函数/'(x)=alnx+x2—(a+2)x,其中aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线的斜率为1,求。的值；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

(3)若函数/*)的导函数/'(x)在区间(l,e)上存在零点，证明：当xe(l,e)时,/(x)>-e2.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；

【详解】因为抛物线f=2y,

所以其准线方程为

故选：C.

2.A

【分析】由双曲线的标准方程结合Q,b,C的关系求出。的值即可得到结论.

【详解】双曲线/一'=1的焦点在y轴上，且C2=1+3=4,

所以焦点坐标为(0,±2).

故选：A.

3.D

【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.

【详解】解：对于A,当空间的三个不共面的单位向量3,I，日作为空间直角坐标系的标

准正交基底时，

向量入b，^平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为夜的正三角形，

其外接圆半径「满足2r=上一，即厂="，不是单位圆，故A不正确；

sin6003

对于B,由三个向量共面的充要条件可知，当向量入b，力共面时，总存在实数x,乃使

np=xa+yb,但向量力是空间的任意一个向量，即鼠b，/可以不共面，故B错误；

对于c,由于向量(1+5)+e-3)=0，则向量是空间中的一组共面向量，不

能作为空间的基底向量，

所以当力不与万，B共面时，则找不到实数x,修z,使得力=x@+Ma+B)+z伍-B)成立，

故c不正确；

对于D,已知空间的三个不共面的单位向量工b>c,则向量比及+瓦及-工不共面，所以

可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数X,丹Z,使得力=切+>(3+0+2(3-己)，

故D正确.

故选：D.

答案第1页，共16页

4.C

【分析】由方程％。2%=64利用等比数列的性质先求。2,再代入4+出+%=14,联立方程

组求出9.

【详解】已知生。2a3=64,所以断=64,解得出=4,即下,=4①;

又4+4+%=14,贝|4+%=10，即/（1+/）=10②；又qwO,

由①②得匕/=:，所以2d-5q+2=0,解得4=2或4=上

q22

因为数列｛%｝是递增的等比数列，所以4=2.

故选：C.

5.B

【分析】设点尸（0））,由N/心为直角，得”上BP,然后由3P•左*=T列式计算即可.

【详解】由题意，设点尸（0/）,

♦;NAPB为直角,AP1BP,

]1

由左转=-p=-y^BP=1^，

kAP-kBP=（1-y^[~2~y.i，

解得y=3或2,所以点尸的坐标为（0,2）或（0,3）

故选：B

6.D

【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.

【详解】依题意，圆心。（0,0）到直线y=x+b的距离”=裳41,解之得一四

所以实数b的取值范围是卜力,亚].

故选：D

7.B

【分析】根据题意确定椭圆顶点坐标、双曲线顶点坐标、焦点用。表示，进而可求解.

【详解】不妨设焦点在x轴上，

根据题意，若双曲线的实轴长为2a,则椭圆的实轴长为6a,

答案第2页，共16页

则有椭圆的左右顶点为(-3。,0),(30,0),双曲线左右顶点为0),30),

焦点为(-2d0),(2°,0),

所以9=="勺=%=2,所以的2=/，故A错误，B正确;

3a3a3

?2=3芍，故C错误；

Q

ei+e2=->故D错误，

故选:B.

8.C

【分析】取48,/C,S/中点分别为。，D,E,连SO,OD,SD,DE,过。作。G_LS。于G,

连EG,可证/DEG为所求线面角，设NSOD=a,用cosa表示出tan?。求最值.

【详解】取中点分别为。，D,E,连SO,OD,SD,DE,过。作。G_LS。于G,

连EG,

由S/=SS,则/8_LSO,又ABLBCQD〃BC,则ZB_L。。,

又SOu平面SOD,DOu平面SOD,SOIDO=O,

所以工平面SOD,又DGu平面SOD,则A8，Z)G,

又/8u平面S43,SOu平面&43,SO^AB=O,则。G_L平面&48.

又SCIIDE,故SC与面1s43所成角与DE与面WB所成角相等，所以/DEG为所求线面角,

设NSOZ）=a,ae（0,K）,则DG=—sin«,OG=—cosa,SG=1cos«,

EG?=S£2+SG2-2S£-SG-COS45°=，cos2a—』cosc+L

422

]

DG2sin2a1-cos2a

故tan?NDEG=,2cosa-3

EG2cos2a-1cosa+2cos2a-2cosa+2-1+——3----

cosa-1

答案第3页，共16页

c11

tan2/DEG=------------------=----------------

令t/=2cosa_3,/w(―5,—1),贝|—1H—-----------—1H------------,

'入6，+5,+3+6

t

因为所以f+；+6W6-26,当且仅当行时取等号.

所以tan2ZDEG＜叵］.

2

故选:C

【点睛】关键点点睛：已知斜线与平面夕交于点瓦则直线与平面a所成角的作法:

(1)直接法作线面角：即定义法，过N作面。的垂线，垂足为。，根据线面角的定义得乙48。

为直线48与平面C所成角.

(2)借助于面面垂直作线面角：过/点作平面e的垂面，过/点作两面交线的垂线，垂足

为O,则4480为直线与平面二所成角.

9.CD

【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，椭圆G的长轴长为2%=8,短轴长为24=6,焦距为

2q=2J16-9=2V7,

离心率为6=包=彳，

ax4

当9〈左＜16时，16—左〉0,9—左＜0,

双曲线的焦点在x轴上，其实轴长为2a2=2J16-左,虚轴长为24=2灰与，

__________5

焦星巨为2c2=2J16—k+k—9=，用心率为e,==—j=-----.

a2J16-斤

故G的长轴长与c2的实轴长不相等，c,的短轴长与c2的虚轴长不相等，

G与c2的焦距相等，离心率不相等.

故选：CD.

10.ACD

【分析】利用椭圆的定义可判断A,根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C,设直线/的

方程为x=联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出工的面积，△"为的重心

答案第4页，共16页

进而判断BD.

【详解】由椭圆］+：=1,可得。=2,6=6,c=l,

所以町为+⑷+|期|+|即|=4a=8,故A正确；

因为MKI+M用=4,所以।皿「+恒闾2JI期|?盟|）=8,当且仅当卜周=|/阊取等号,

故C正确；

x=my

由题可设直线/的方程为工=町-1,由

可得（3加+4jy2-6my—9=0,

设石,乂）,3（%2,%）’则必+%二3加2+4,必%―-3冽2+4

6m912痴2+1

所以乂+犷一钠％=

IM_%I=1（3m2+43m2+43加,+4

所以AABF］的面积为s=3F巴卜-乃卜127mM，

2112111213m2+4

令％=y/m2+1,则看之1,m2=t2-1y

12J加2+1_⑵_12

所以-3加2+4—3»+1-3/+1，

t

因为由对勾函数的性质可知次+124,

t

<_12荷+1_⑵_12一二

所以3m2+4=彳1?=二，当：=1，即加=。取等号，故B错误;

t

,t一j6m

由上可知必+%=—^~-

3m+4

所以芯+%=机5+%）-2=7匕-2=寻喜,又月（1，0），

8]1

人3(3m2+4J6々”曰,

令＜'7解得冽=2,

2m_1

.3m2+44

答案第5页，共16页

所以当直线/的方程为^=2y-l时的重心为[,故D正确.

故选：ACD.

11.AD

【分析】设g(x)=乎=lnx,函数g(x)单调递增,可判断A；设“x)=/(x)+x,则

〃'(x)=ln无+2不是恒大于零，可判断B；/(x)=xlnx,/''(x)=lnx+l不是恒小于零，可判

断C；当时，lnx>-l,故/''(x)=lnx+l>0,函数=xlnx单调递增，故

XXXXXXXXXXXX>0

(2-I)[/(2)-/(I)]=I/(I)+2/(2)-2/(I)-I/(2)>

即X，(%i)+x2/(x2)>x2/(占)+尤J(%),由此可判断D.得选项.

【详解】解：对于A选项，因为令g(x)=—=lnx,在(0,+¥)上是增函数，所以当

0<X]<X2时，g(X1)<g(x2),所以^^〈一^，即X2y(xJ<X]/(X2).故A选项正确；

对于B选项，因为令g(尤)=/(尤)+x=xlnx+x,所以g〈x)=lnx+2,所以工©(/,+8)时,

g'(x)>O,g(x)单调递增，xe(0,e-2)时，g(x)<O,g(x)单调递减.所以尤i+/(xj与

无2+/(X2)无法比较大小.故B选项错误;

对于C选项，令/<x)=lnx+l,所以口时,1(x)<OJ(x)在(of单调递减,

xeg+sj时，r(x)>OJ(x)在单调递增，所以当时，/(再)>/伍),

故,")一(％)<0成立,当,<为</时，/(X1)</(x2),“*)-"/)>0.故C选项错

X]-%2CXj—%2

误;

X<XX

对于D选项，由C选项知，当lnx>-l时，/(X)单调递增，又因为A正确，^2/(I)I/(2)

成立，

所以玉•/(xj+z・/(X2)-2尤2〃占)>5•/(尤J+W所(/)一切(再)一芭/(莅)

+=(占-3)[〃否)-/(马)]>0,故D选项正确.

故选：AD.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

答案第6页，共16页

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程

中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

12.CD

【分析】对选项A：取4。的中点N,可得8M//EN,所以平面（也可以延长

DE,CB交于H，得MB//A.H，从而BMH平面AXDE）

对选项B：在可求得EN为定值，所以政为定值；

对选项C：三棱锥C-/QE的体积是三棱锥的体积的两倍，当平面平面

时，求得三棱锥。-4。后体积的最大值，可求得三棱锥4-。瓦W的体积的最大值；

对选项D：假设平面4QE，平面A.CD，由面面垂直可得4E，4C,求得4c=1,故4,C,0

三点共线，与4e平面N8CD矛盾.

对选项A：取4。的中点N,连结儿W,EN,可得MN=BE艮MN"BE,所以四边形8M/E

是平行四边形，

所以5M//EN,又平面ENu平面所以3M7/平面故选项A结

论正确；

（也可以延长交于//,所以”B=8C,所以MB//%",又即Zcz平面4"u平

面AQE,从而BMH平面AXDE）

对选项B：因为ZW=；,DE=6，N4QE=NADE=45°,

答案第7页，共16页

根据余弦定理得EN?=1+2-2xCxLx1=3,^EN=—,

42242

因为EN=BM,故BM=旦,故选项B结论正确；

2

对选项c：因为“为4c的中点，

所以三棱锥C-4OE的体积是三棱锥的体积的两倍，

VS

故三棱锥C-/QE的体积忆.4QE=Ai-DEC=^^CDE＞其中〃表示4到底面48c。的距离，

当平面4OEL平面43。时，〃达到最大值，止匕时力=1,

2

此时V.=~SCDE由=-X-X2X1X—=—,

4]-JLZJCV3△Vjtxzi3226

所以三棱锥4-OEM体积的最大值为言，故选项C结论错误；

对选项D：假设平面4DE1平面4co,平面A}DEA平面AXCD=AXD,AXE1Afi,AXEu

平面ARE,

故4£j_平面4cD,又4Cu平面45,所以4£，4。，

则在△&CE中，NE4c=90。,A1E=1,EC=&,所以4c=1.

又因为4。=1,CD=2,所以4。+/0=。，故4,C,。三点共线，

所以4eCO,得4e平面/BCD,与题干条件4W平面/BCD矛盾，故选项D结论错误；

故选：CD

13.—/-V5

55

【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.

【详解】依题意，ZP=(2,0,-3),而平面a的法向量为为=(2,0,1),

b,、,-kfh,,-^-,IAP-nI|2x2+(-3)xlI后

所以点P到平面a的n距i禺d=!-匕!-----X~L=—.

\n\V55

故答案为：。

14.x-y+2^0

【分析】直线/为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.

【详解】若圆/+丁=4和圆x2+/+4x-4y+4=0关于直线/对称，

答案第8页，共16页

则直线/为两个圆心的中垂线，

/+产=4的圆心为0](0,0),

22

x+y+4%-4歹+4=0的圆心为O2(-2,2).

koa=T,中点为(-1,1)

可得直线/为l=x+l,整理得：X-"2=0.

故答案为：x->+2=0.

15.4

【分析】由递推关系式求得附值，结合即可得解.

_1c15

【详解】q=l,%=%+—=2,a3=a2+—=-,

axa22

12919411969581

%=%+—==，%=%+—a6=a5+—=，

a310a4290a5272890

1969581272890。

%=a,H---=-------1-------«3.o8,

76

a6272890969581

又生Z,则当信-I取得最小值时，整数才的值为4.

故答案为：4.

16.y2=4x

【解析】先由题意得到尸。必过抛物线的焦点，设出直线尸。的方程，联立直线尸。与抛物线

方程，利用韦达定理表示出弦长，得出的最小值，进而可求出〃的值，得出抛物线方程.

【详解】由抛物线的光学性质可得：尸。必过抛物线的焦点厂(],0),

当直线尸。斜率不存在时，易得卢。|=2。；

当直线尸。斜率存在时，设尸。的方程为夕=小-5，尸(2)，Q(x2,y2)

由’，।2,得r(x2-px+彳；=2px,整理得4A■4-(4/2p+8p)x+K2p2=0,

=2Px

所以玉+七=卜P；2P,

所以\PQ\=xt+x2+p=-——/z，=〔2+5>>?；

综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，

答案第9页，共16页

又因为两平行光线间的最小距离为4,故2。=4,

所以抛物线方程为/=4x.

故答案为：/=4x.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线

方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题.

17.(l)(x-4)2+y=4

【分析】（1）求出直线N5的中垂线方程联立直线X+V-4=0方程即可得圆心坐标，进而可

求半径，即可求出圆C的方程;

（2）由|闻=2行可得点C（4,0）到直线y=A（x+2）的距离为1,由点到直线的距离公式即可

列方程求解.

【详解】（1）的中点为“（5,1）,斜率上=-1,

则直线的中垂线为V=x-4

y=x-4%=4

联立尸4-,解得

y=0，

即C(4,0),忸C|=2

圆C的方程为（x-4『+y2=4.

L/\/\6阂

（2）由于忸。|=2石，点C（4,0）到直线y=A（x+2）的距离"=74=1，

，左+1

即35左2=1,解得左=±叵

35

18.（1）证明见解析

2^22

11

【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）法一：建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面S3。的法向量，再

答案第10页，共16页

由线面角的向量公式代入即可得出答案；

法二：由等体积叱一SB3=^TB3求出/点到平面的。的距离，再由Sine=3，即可得出答

AB

案.

【详解】（1）因为E是/。的中点，所以NE〃8C且/E〃8C,ED〃BC旦ED〃BC,

所以由条件可知48CE是正方形，2CDE是平行四边形，

所以

因为“，平面SCD,所以S/J_C£>,SAA.BE,

因为“cZC=/,S4/Cu平面&4C,所以BE_L平面&4C；

（2）设NCIBE=O,贝!J（1）得BELS。，

在直角梯形48CD中，AC=42AB=41AS>

又因为&4_L平面SCO,得S/J.SC,

所以A/SC为等腰直角三角形，

因为O为斜边的中点，所以SOL/C,

所以SO,平面/8C£>,

不妨设。8=1,

则A(l,0,0),5(0-1,0),S(0,0,1),£>(-1,2,0),

AB=(-l,-l,0),SS=(0,l,l),5Z)=(-1,3,0),

设万=（无，乃z）是平面S3。的一个法向量，则由

n-BS=Q,Jy+z=0,

[-x+3y=0则可取方=（3』,一1）,

iiBD=0

所以sin8=|cos<|AB,五〉|==拽2

\AB\-\n\11

答案第11页，共16页

法--因为匕-S3。=七T3Z）,所以§8垓3。X〃UIZMDXS。,

也不妨设80=1,所以

AB=&AD=2&e2,SO=l,SB=6,BD=而如£s5理

而|、|74.%2y/22

所以"=-j=,sm9=——=-----

而AB11

19.（1）中位数为69.4,平均数为69.5

(2)|

【分析】（1）根据题意，结合平均数，中位数的定义，代入计算，即可得到结果.

（2）根据题意，结合古典概型的计算公式，代入计算，即可得到结果.

0.005+/?=0.025x2^^^=0.02

【详解】（1）由题意可知:(0.005+0.025+6+。+0.005)x10=1'解得%=0.045

设中位数为x,则0.005x10+0.025xl0+0.045x（x-65）=0.5,x*69.4.

故中位数为69.4

平均数为

50x0.005x10+60x0.025x10+70x0.045x10+80x0.020x10+90x0.005x10=69.5

（2）由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人、第五组有1人

C1xC14x]2

故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为P=f===7

20.(1)«„=2»-1:4=3“

(2)XaA=3+(〃-1)x3向

1=1

【分析】（1）根据题意可知数列｛%｝的前〃项和,进而可求解｛4｝的通项公式；而

1=1

a=7即可求解；

4-1

⑵由（1）知a/“=（2〃-l）x3",结合错位相减法求解即可.

【详解】（1）设则

1=11=1

答案第12页，共16页

当〃=1时，q=H=1；

22

当〃>2时，an=Sn-Sn_x=n-{n-Y)=2n-\.

经检验，当〃=1时，满足所以。〃二2〃-1；

当T时’『=3；当〃“时，"片焉占

=(拘2"=3”,

当〃=1时，满足"=3",所以"=3".

(2)由(1)知。也=(2〃-l)x3",则

=1X3+3X32+5X33+…+(2，L1)X3",①

i=\

=1X32+3X33+5X34+•••+(2n-3)x3"+(2M-1)X3,②

i=l

由①-②相减得：-2£3=3+2(32+33+34T3)(2"1)x3"」

Z=1

9-3n+1

=3+2x7^(2n-1)x3,,+1=-6-(2«-2)x3"+1

故春也=3+(1)x3用

Z=1

22

21.⑴土+匕=1

43

(2)—

4

【分析】（1）由已知结合椭圆定义，可求。与。的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中

a2=b2+c2,即可求得。与6,也就得出椭圆方程.

（2）利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线N3的定点坐标，

然后解设N3的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点G的坐标，由此求出

\S,~S2\的关系式，利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）依题意有当“为椭圆短轴端点时

JT

乙工”最大，此时/£峥=§,则

△耳为正三角形，则a=2。

且（诋+罐）.诋=2折.近=26"cos.=Ma=6

答案第13页，共16页

ba-2A/3，-b2+c2>a=2,b=#>,c-1

22

故椭圆方程为上+匕=1.

43

（2）设/（网,必）,B（x2,y2）,尸（4j）«wO）,

若必=0,则切线方程为x=x-

若MHO,则在A处的切线的斜率必定存在，

设该切线的方程为了=左（》-匕）+必=履+,一优，

,[y=kx+y,-kx,,、，

叫3/+勺2T2可得以+4（丘+必-例）=12,

整理得（3+4左2）^2+8左（%一日Jx+4（必一bJ?-12=0,

故A=64F（M一优）2_4（3+4左2）[4（必_g）2-12卜0,

整理得至U：后2+兽女+兽r=0,故左=.畀，

2必16方4M

3%13x12

故切线方程为:尸一会x+K+-^=-LXH-------

4必4M4M4必

故尸/:二+型=1,

43

综上，PA：空+型=1,同理心：至+里=1

4343

因为，尸B都过点P（4J）,则%+g=l,超+牛=1

则N8方程为x+弓=1,即48过定点。,0）.

故设45方程为、=町+1,,

联立[x<=+m>y+\3

（3加2+4）/+6阿-9=0

丁•必+'2=^-r~7fy^2=T-r~7f又2'（“2，一%）

3m+43m+4

直线48,方程为：yf=%'（xf）,令y=0得

X2-%1

答案第14页，共16页

r=国%+/必一（加M+l）%+（"Z-+l）Mh277-2+乃+了2

°必+%M+%必+%

-9

=2%%%+1=2%3〃9+4।1=4,G（4,0）

一6〃7