1.1直线的斜率与倾斜角-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页1.1直线的斜率与倾斜角【考点梳理】考点一：直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：C.2．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知点是直线上一点，则直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角【详解】因为，设直线的倾斜角为，又因为，且，故的倾斜角.故选：B.3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线的方程，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，因此，.故选：C.题型二：直线的斜率4．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.故选：A.5．（2023·全国·高二专题练习）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D．直线的倾斜角的取值范围是【答案】D【分析】利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答.【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误；对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误；对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误；对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.故选：D6．（2023·全国·高二专题练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2023秋·高二课时练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是故选：D.8．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.9．（2023·全国·高二专题练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A题型四：与斜率公式有关的问题10．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案.【详解】经过两点的直线的斜率为，因为直线的倾斜角大于等于小于，故经过两点的直线的倾斜角是，故选：D11．（2023·全国·高二专题练习）已知点，直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率公式列式计算即可.【详解】因为直线的倾斜角为，，可得直线的斜率为，可得.故选：C12．（2023·全国·高二专题练习）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出.【详解】令，则，所以，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以，故，则直线的斜率，所以.故选：D.题型五：斜率公式的应用13．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.【详解】

由，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由图可知，，解得.故选：A.14．（2023·全国·高二假期作业）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.【详解】由斜率公式可得，得，由图像可知，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，所以直线的斜率的取值范围为，故选：D．15．（2023·全国·高二专题练习）已知点和点，经过点作直线l，若直线l与射线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直线斜率的定义，依据题给条件数形结合去求直线l的斜率的取值范围即可解决【详解】如图已知点,，则，若经过点的直线l与射线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是故选：A题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数k的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.【详解】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.

17．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.【详解】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.18．（2023·全国·高二专题练习）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.【双基达标】一、单选题19．（2023秋·江苏·高二校联考）直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案.【详解】由直线，则其斜率为，设其倾斜角为，则，解得.故选：B.20．（2023秋·广西贵港·高二校联考）若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】通过三角恒等变换的知识求得，从而求得正确答案.【详解】依题意可得，则，，故．故选：D21．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.22．（2023秋·高二课时练习）直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找出直线在、的位置的斜率，进而得出直线的斜率的取值范围.【详解】如图所示，当直线在的位置时，；当直线在的位置时，，故直线的斜率的取值范围是．

故选：A23．（2023秋·高二课时练习）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.【详解】设三条直线，，的倾斜角为,由图可知,所以.故选：B.24．（2023秋·高二课时练习）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．【答案】或【分析】作出图形，根据直线与线段的关系及斜率的定义即可得解.【详解】设点，由题意作出图形，如图，

因为，,若要使直线与线段相交，则或，所以直线的斜率满足或.25．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．

【答案】【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可.【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为，两点之间的斜率为，又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知，即直线的斜率的取值范围为.【高分突破】一、单选题26．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案.【详解】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则.故选：B.27．（2022秋·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）若，，，三点共线，则（

）A．2 B．3 C．9 D．【答案】D【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可.【详解】由，解得，故选：D．28．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得.【详解】如图，由题意可知.要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.故选：C

29．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知点，在直线：上，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】将两点坐标代入直线方程解出即可求解.【详解】因为点，在直线：上，所以将，带入：，得，解得，所以直线，即的斜率为，故选：A30．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：经过定点，，．又直线l：与线段相交，所以或，故选：C．二、多选题31．（2023秋·全国·高二阶段练习）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AB【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当时，其斜率，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且.，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.32．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）下列命题中，是假命题的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为【答案】ABCD【分析】根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项.【详解】A.若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角，所以该选项错误；D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.故选：ABCD33．（2023·全国·高二专题练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根据斜率公式求解.【详解】由题可得，所以，结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，故选:ABC.34．（2022秋·广西桂林·高二校考期中）设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】AC【分析】直线过定点，求出直线的斜率，由图形可得直线与线段有公共点时的范围，从而可得无交点时的范围，由此可得正确选项．【详解】易知直线过定点，，，直线的斜率为，由图知或，所以或时有交点，因此当时，直线与线段无交点，故选：AC．35．（2023秋·高二课时练习）（多选）设直线过原点，其倾斜角为，若将直线绕坐标原点逆时针方向旋转45°后得到直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据的范围进行分类讨论，由此求得倾斜角的取值范围.【详解】当时，，所以直线的倾斜角为.当时，，，即直线的倾斜角为.故选：BD三、填空题36．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知，，三点共线，则实数m的值为．【答案】0【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可.【详解】由，，三点共线可得，即，解得.故答案为：0.37．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）直线的倾斜角的取值范围是.【答案】【分析】先求得直线的斜率的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率，即，所以.故答案为：.38．（2023秋·高二课时练习）已知两点所在直线的倾斜角为45°，则m＝．【答案】2【分析】根据题意利用斜率公式列方程求解即可【详解】由题意知k＝tan45°＝1．由斜率公式得，解得m＝2.故答案为：239．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）点在曲线上移动，且在点处的切线的斜率的取值范围是，则切线倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】根据切线斜率范围可得，结合的范围可得结果.【详解】由题意知：，又，.故答案为：.40．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，