数学（浙江新中考专用）-2024年中考终极押题猜想（解析版）

第第页2024年中考数学终极押题猜想（浙江新中考专用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一从图象中获取信息 1押题猜想二一次函数的综合 16押题猜想三反比例函数与几何综合 28押题猜想四二次函数的综合 43押题猜想五二次函数的应用 59押题猜想六相似三角形的判定与性质综合 75押题猜想七解直角三角形的应用 95押题猜想八四边形相关的压轴题 111押题猜想九圆的综合问题 128押题猜想十尺规作图问题 147押题猜想十一旋转问题 157押题猜想十二动点问题 178押题猜想一从图象中获取信息1．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（

）A．体内血乳酸浓度和时间是变量B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松【答案】C【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．【详解】解：由题意可知，、体内血乳酸浓度和时间均是变量，该说法正确，故选项不合题意；、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，该说法正确，故选项不合题意；、采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项符合题意；、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，故选项不合题意；故选：．2．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了分钟．【答案】【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键．【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，设乙的速度为米分，由图可得，，解得，∴乙的速度为米分，∴甲到达终点的时间为分钟，乙达到终点的时间为分钟，∵甲先出发分钟，∴乙先到终点原地休息了分钟，故答案为：．3．方格纸中的数学——运算线【加法线】如图1，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为．（1）在图②中画出的号加法线；【减法线】（2）类比画加法线的方法，在图2中画出的号减法线．【换个角度看】（3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）；②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是．【乘法线】（4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式；【应用】（5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数．（6）号乘法线（为常数，）上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出k的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①互相垂直；②，；（4）；（5）男同学人数是人；（6）【分析】本题考查了新定义，坐标，正比例函数，一次函数的性质，两直线交点求方程组的解；（1）根据新定义，类比画出的号加法线；（2）根据新定义，类比画出的号加法线；（3）①观察图象即可求解；②根据题意写出解析式，即可求解；（4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即；（5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的号减法线，交点的横坐标即为所求；（6）根据题意得，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解．【详解】（1）在图②中画出的号加法线，如图所示，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．

（2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号减法线．

（3）①如图所示，

的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直，根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线，∴的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直②∵则，，则，故答案为：，．（4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即，号乘法线的函数表达式为；（5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，依题意，，即画出号乘法线与的号减法线，如图所示，交点对应的横坐标为，∴男同学人数是人；

（6）如图所示，

2号减法线的解析式为，3号加法线的解析式为∵k号乘法线（k为常数，）上任一点的函数值与的2号减法线和的3号加法线．设k号乘法线的解析式为，∴，则过定点，如图所示，

∵当时，．当时，，将代入，得，∴结合函数图象可得．押题解读本猜想题型为常考题型，多以选择题和解答题的形式出现；主要考查的知识点是函数与实际问题相结合，通过函数的图象分析有关的数据，最终得到符合条件的相关结论；这块题型的难度中等，关键在于理解图象的意义，学会分析各个“拐点”的实际含义，这样就可以把握考查的方向；此猜想题型的分值大概在3-10分，属于必拿分数，各位考生在答题的时候要仔细、认真；1．机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（

）A． B．15 C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的实际应用，分过程探讨所需要的时间是解题的关键．根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可．【详解】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，根据题意得：，，，，，，，乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，此时，时间过去：，行李离起点的距离为，乘客找回行李所用时间为：，此时，乘客离终点的距离为：，乘客找行李后，走到终点，所用时间为：，整个过程共耗时11分钟，，整理得：，即，若该乘客直接走到终点，则所用时间为：，将代入，得：，行李到达终点所用时间为：，将代入，得：，还需要等待，故选：A．2．小聪上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小聪离家的路程（）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（

）

A．小聪去超市途中的速度是/分 B．小聪回家途中的速度是/分C．小聪在超市逗留了分钟 D．小聪在来去途中，离家处的时间是和【答案】D【分析】观察横坐标可得去超市的时间和从超市返回的时间，然后观察纵坐标可得去超市的路程，最后根据路程与时间的关系即可判断A，B选项；根据函数图像观察横坐标变化即可判断C选项；根据路程、速度、时间关系即可判断D选项，即可求解．【详解】（1）解：由横坐标可知：去超市用了分钟，从超市返回用了分钟；由纵坐标可知，家到超市的距离是千米，故去超市的速度是(千米/分)，从回家途中的速度是(千米/分)故A，B选项不正确由横坐标可知，在超市逗留的时间是(分钟)．故C选项不正确；去超市的过程中，(分钟)，返回的过程中，(分钟)，(分钟)．故小聪在和时离家千米，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图像的应用，正确从函数图像上获取信息是解答本题的关键．3．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是．【答案】【分析】由函数图象得出相应函数关系式，再根据题目要求求出x的取值范围即可；【详解】解：函数图象可知，燃烧时，与成正比例函数：，将代入得，即，∴，燃烧后，与成反比例函数：，将代入得，即，∴，∵，∴即；即，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查正比例函数、反比例函数的应用，正确理解题意并列出函数关系式是解题的关键．4．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图，则点B点的坐标为．【答案】（5.8，348）/(,348)【分析】由图像信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据图像和快、慢车的速度，可知快车修好比慢车先到达终点，B点是快车到达终点时所用时间，即可得答案．【详解】解：由图像可知：慢车的速度为：60÷(4-3)=60(km/h)，∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3=180(km)，∴快车的速度为：(480-180)÷3=300÷3=100(km/h)，通过图像和快、慢车的速度，可知快车比慢车先到达终点，B点是快车到达终点时所用时间，∵快车到达终点时所用时间为：480÷100+1=5.8(h)，5.8×60=348(km)，∴B点的坐标为(5.8，348)，故答案为：（5.8，348）．【点睛】本题考查了从函数图像中获取信息和行程问题，解题的关键是从函数图像中获取有用的信息．5．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示：直播间活动方案甲全场六折乙“满送”(如：购买元商品，赠元购物券；购买元商品，赠元购物券)丙“满减”(如：购买元商品，只需付元；购买元商品，只需付元)请根据上述信息，解答下列问题：(1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为元的破壁机和标价为多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气作锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价．(2)小明研究了丙直播间的活动方案，发现实际售价元可以看成标价元的函数，并绘制了如图所示的部分函数图象．请写出当时，关于的函数表达式，并在图中画出这个函数的图象．(3)在甲、丙两个直播间标价均为元的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？【答案】(1)元(2)，图象见解析(3)当时，到甲直播间购买更划算，当时，甲、乙直播间购买花费一样多；当时，到乙直播间购买更划算【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用；（1）设这种空气炸锅的标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）根据题意列出函数关系式，进而画出函数图象；（3）结合函数图象，即可求解．【详解】（1）解：设这种空气炸锅的标价为元，根据题意得：，解得，答：这种空气炸锅的标价为元；（2）根据题意得：，图象如图所示：（3）当时，甲直播间购买需花费元，乙直播间需花费元，，在甲直播间购买更划算；当时，甲直播间购买需花费元，乙直播间需花费元，当时，解得，当时，到甲直播间购买更划算，当时，甲、乙直播间购买花费一样多；当时，到乙直播间购买更划算．当时，到甲直播间购买更划算．6、几百年前，伽利略通过推理与实验验证得到：当小车从斜坡上向下自由滑行时，滑行距离与时间的函数关系为：，其中是初始速度，是滑行时的加速度．小明重返伽利略斜坡实验继续探索．【实验准备】光滑的斜坡、打点计时器、计算器、直尺等．【验证关系】将小车从斜坡上向下滑行，得到与的函数关系如下表：（秒）0.4（米）0.08求出与的值．【深入探索】在不改变斜坡长度的前提下，小明发现初速度一定时，斜坡角度越大，小车下滑的时间越小．经过反复试验与推理计算，小明得到斜坡角的正弦值与加速度的函数关系，如图所示：请选择适合的函数模型表示关于的关系．【综合运用】小车从坡角为，坡长为1.5米的光滑斜坡上下滑，初速度为每秒0.35米，求小车下滑所需时间．【答案】验证关系：；深入探究：斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：；综合应用：小车下滑所需时间为s【分析】本题考查二次函数的实际应用，正比例函数的实际应用，正弦值，读懂并正确理解题意是解题的关键．验证关系：利用待定系数法求解即可；深入探究：根据图象近似一条直线，即可解答；综合应用：根据深入探究所得结论，代入数值计算即可．【详解】解：验证关系：将代入得：，即，解得：；；深入探究：根据图象近似一条直线，设斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：，将代入得：，解得：，斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：，斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：；综合应用：由题意得：，，，，即，解得：或（舍去），小车下滑所需时间为s．押题猜想二一次函数的综合1．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．当直线与有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一次函数解析，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，分别将代入一次函数中求出b，即可得到b的取值范围．【详解】解：将点代入直线中，得：，∴，将点代入直线中，得：，∴，将点代入直线中，得：，∴，∴要使直线与有交点，且，∴．故选：D．2．如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为．

【答案】【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．直接利用函数图象上点的坐标特征得出的值，再利用函数图象得出答案．【详解】解：函数和的图象相交于点，，解得：，故点坐标为：，时，，则关于的不等式的解集为：．故答案为：．3．九河下梢，芳华天津．小明利用假期来到美丽的天津，已知他入住的酒店、文创馆、某老字号糕点店依次在同一条直线上，糕点店离酒店，文创馆离酒店小明从酒店骑共享单车到文创馆，在那里逛了后返回，匀速步行了到糕点店买糕点，在糕点店停留了后，散步返回酒店．给出的图象反映了这个过程中小明离开酒店的距离与小明离开酒店的时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：离开酒店的时间/min57255060离开酒店的距离/km1.251.5②填空：小明从蛋糕店返回酒店的速度为__________；③当时，请直接写出小明离酒店的距离关于时间的函数解析式；(2)当小明离酒店时，请直接写出他离开酒店的时间．【答案】(1)①，，；②；③(2)或【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象．（1）①根据图象中线段的含义结合行程，求出各个时间段的速度及各个线段表示的实际意义，再分别求解即可；②根据图象作答即可；③当时，分成两部分分别求解析式；（2）根据离开酒店和回酒店时离酒店两种情况进行求解．【详解】（1）①由题意知，前10分钟骑共享单车到文创馆速度为，∴在第时，离酒店的距离为，第10到30分钟，在文创馆停留，此时，第55到85分钟小明从蛋糕店返回酒店，速度为，∴在第时，离酒店的距离为，第10到30分钟，在文创馆停留，此时，故答案为：，，；②①由题意知，第55到85分钟小明从蛋糕店返回酒店的速度为，故答案为：；③当时，停留在文创馆，此时；当时，从文创馆去蛋糕店，速度为，∴小明离开酒店的距离，∴；（2）由题意知，出发去文创馆，离酒店距离为时，前10分钟骑共享单车到文创馆速度为，离酒店的时间为，从文创馆去蛋糕店，酒店距离为时，代入可得解得∴当小明离离酒店距离为时，他离开家的时间为或，故答案为：或；押题解读本猜想题型为必考题型，浙江各地区的中考题型均有所涉及，选择题、填空题和解答题均有可能出现；本猜想题型考查的知识点主要是一次函数的图象与性质、一次函数的平移问题、一次函数与不等式、方程的关系和一次函数的几何问题；掌握此类题型的重点在于要理解一次函数的图象与性质，这个是运用一次函数知识点的重中之重；此猜想题型的分值大致在10分左右，属于考生必拿分数，故考生在复习时要作为重点复习知识点；1．如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】用待定系数法求出直线的解析式为：，根据平移的法则可得，再用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程组可得，从而根据两点间的距离公式进行计算即可得到的长度．【详解】解：设直线的解析式为：，将代入可得：，解得：，直线的解析式为：，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，沿着轴正方向平移了两个单位长度，得到，，设直线的解析式为：，将代入得：，，直线的解析式为：，联立方程组，解得：，，，故选：A．【点睛】本意考查了待定系数法求函数解析式，平移的性质，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，平移的性质，两点间的距离公式，是解题的关键．2．如图，直线与坐标轴相交于点A，B．分别以，为直角边，以B为直角顶点，在的外部作等腰，等腰，与y轴相交于点E，则的值为（

）

A．4 B．7 C． D．不能确定【答案】C【分析】先求出，，则，，过点C作轴于点F，通过证明，得出，，再证明，则．【详解】解：把代入，解得：，∴，则，把代入得：，∴，则，过点C作轴于点F，∵为等腰直角三角形，

∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵为等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴．故选：C．

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征，正确画出辅助线，构造全等三角形求解．3．在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．【答案】/【分析】点在线段上，根据已知条件确定的取值范围以及对应的直线解析式，，找到界点，，然后代入解析式，求出的最大值和最小值即可．【详解】解：点在线段上，，令，，，当，，即，当时，，即，当时，，线段为：，当时，，线段为：，当时，，当时，，则，如图所示：

直线恒过，若与两线段交于两点，由图象可知界点，，将、两点代入，得，，，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数综合问题，用待定系数法求函数解析式，理解题意是解决问题的关键．4．点，均在直线上，点的横坐标是2，且，若将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是．【答案】或【分析】设直线分别交x轴，y轴于F、E，先求出，则，，，设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，解直角三角形求出，即，求出直线解析式为，设点B对应点坐标为，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设直线分别交x轴，y轴于F、E，再中，当时，，当时，，当时，，∴，∴，，∴，∴，设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，∴，∴，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，设点B对应点坐标为，∵，∴由旋转的性质可得点B对应点到点A的距离为5，∴，整理得，解得或，∴点B对应点的坐标为或，故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，旋转的性质等等，正确求出旋转后直线所在的直线解析式是解题的关键．5、高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：

物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．(1)若先接温水26秒，求再接开水的时间；(2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为．①若，求x的值；②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．【答案】(1)12秒(2)①②，【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．（1）设接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；（2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；②根据物理知识中等量关系，列出关于的函数，根据增减性，即可求解．【详解】（1）解：设接开水的时间的时间为秒，根据题意得：，解得，答：接开水的时间为12秒；（2）解：①由题意知，温水体积，开水体积为，则，解得；②由①得：，化简，得，，，关于的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为．6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．(1)求该函数的表达式．(2)是上的一个动点；是一次函数上的一个动点．当时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，求n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法，点到坐标轴的距离，利用函数图象解不等式等；（1）将代入，即可求解；（2）由点到坐标轴的距离得到x轴的距离，Q到x轴的距离，设，要使当时，是图象始终在图象的上方，利用函数图象，即可求解；掌握待定系数法，能根据题意画出图象，利用函数图象求解是解题的关键．【详解】（1）解：将代入得，解得：，该函数的表达式为；（2）解：由题意得，，到x轴的距离，Q到x轴的距离，时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，，设，此时，如图：要使当时，是图象始终在图象的上方，由图象得：；故：n的取值范围为．押题猜想三反比例函数与几何综合1．如图，、是反比例函数上两点，直线分别交轴、轴于、两点，轴于点，连结、．若，的面积为，则的值（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定；先证明，取的中点，连接，则是的中位线，，设，则，进而得出，证明得出，根据的面积为，即可求解．【详解】解：∵轴于点，，∴，∴∴∴取的中点，连接，则是的中位线，∴，∵、是反比例函数上两点，设，则∴，，即∴∴又∴∴∴∴的面积为，则∴解得：故选：C．2．如图，已知点，，点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数．经过点P的双曲线为．（1）当点P与点B重合时，k的值为；（2）k的最大值为．【答案】【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数；（1）由点与点重合，，将代入解析式，即可求解；（2）求出直线的解析式，由点P的横、纵坐标均为整数可求出的坐标，从而可求出满足的值，即可求解；能根据点的横坐标，求出发的坐标是解题的关键．【详解】解：（1）点点，，点与点重合，，双曲线为经过点，，故答案：；（2）设直线的解析式为，，解得，线段所在直线的函数表达式为；点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数，横坐标，点坐标为或或或，双曲线为经过点，的值为或或或，的最大值为；故答案：．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．

(1)已知点的坐标为，求：一次函数和反比例函数的解析式；

在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标；(2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值．【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为；的坐标为或；(2)．【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解；根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标；（）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解；本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，∴，，∴，，∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；∵，的面积为，∴，∴，∴，由直线得，，∴的坐标为或；（2）∵一次函数，∴，，∵轴于点，∴是等腰直角三角形，∴，∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，∴设，则，∴，∵点为中点，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵的面积为，∴即，∴．押题解读本猜想题型属于必考题型，常以解答题的形式出现，中等难度；本猜想题型考查的知识点有反比例函数的图象与性质、反比例函数k值意义、反比例函数与一次函数的综合和反比例函数与几何问题等，掌握此类题型，关键有两点，一个是反比例函数的k值意义，注意k=xy的运用，另一个是反比例函数与几何的综合运用，关键要灵活运用反比例函数的图象与性质；1．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点，若点，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形的性质及勾股定理可知，再利用相似三角形的判定与性质可知，最后根据反比例函数的性质解答即可．【详解】解：解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，如图，过点作轴于点F，过点作轴于点E，过点A作轴于点H，过点D作轴于点G，∴，∵在菱形中，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，同理：，∴，∵，∴，∵点在第二象限，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，故选：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图像上，连接交轴于点，作点关于轴的对称点，连接恰好经过坐标原点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作轴于，作轴于，根据题意证明，得到，设，，表示出和的长从而得到，根据对称性表示出点坐标，设的解析式为，求出，即可得到最后结果．【详解】解：如图，作轴于，作轴于，，，，，设，，，，，关于轴的对称点，，设的解析式为，，则，，则，，则，，，，，，故选：．【点睛】本题考查了反比例函数图像及其性质，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线建立相似三角形是解答本题的关键．3．如图，将腰长为4的等腰放置在平面直角坐标系中，斜边在轴上，直角边的中点在轴正半轴上，则过点的反比例函数的解析式为．【答案】【分析】过点作轴于点，首先证明为等腰直角三角形，进而可得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而确定点，设该反比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可．【详解】解：如下图，过点作轴于点，∵为等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，即为等腰直角三角形，∵点为的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，设该反比例函数解析式为，将点代入，可得，解得，∴该反比例函数解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，确定点的坐标是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，且，点B的坐标为．反比例函数的图象交于点C，交于点D．若C为的中点，则．【答案】/【分析】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．先求出反比例函数，然后求出，最后计算即可．【详解】解：∵点B的坐标为，∴，∵为等腰直角三角形，且，∴，∴直线的解析式为：，∵C为的中点，∴，∵反比例函数的图象交于点C，交于点D，∴，∴反比例函数为，由，解得或，∴，∴．故答案为：．5．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．

(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．(2)设点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)，(2)或【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．（1）把B的坐标代入一次函数解析式求出b的值，再把A的坐标代入一次函数解析式求出a的值，最后把A的坐标代入反比例函数解析式求解即可；（2）确定n的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．【详解】（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，解得，∴，把代入，得，解得，∴；（2）解：∵，∴，∵点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，∴，∴或，当时，；当时，，由图象可知，若点在该反比例函数图象上，且的面积小于4，则m的取值范围为或．6．在平面直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A，B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．(1)求的值．(2)连接并延长至点P，使得，过点P作x轴的垂线，交x轴于点C，交的图象于点D，连接．设的面积为，的面积为，求的值．【答案】(1)(2)3【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）首先将点的横坐标代入，求出点的坐标，然后代入，求出，然后将点的纵坐标代入，求出，然后代入，即可求出；（2）首先根据题意画出图形，利用两点间距离求出，即可得到，利用待定系数法求出所在直线的表达式，设点，利用两点间距离公式求出，然后求出点和点的坐标，根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得：，，将代入，得：，，将点的纵坐标代入，得：，即，，将代入，得：，，，；（2）解：如图，由（1）知，，，，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，设点，，即，，则，轴，，的面积为，△OCD的面积为，．押题猜想四二次函数的综合1．如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，结合开口方向再分类讨论，当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别列式计算，即可作答．【详解】解：抛物线对称轴为直线，当点P，Q均在对称轴左侧时，有，，，则，∵m随t的增大而减小，，∴当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，，，则，对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当时，，，则，对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大，∴，∵，∴点P，Q不可能均在对称轴右侧．综上可得：，故答案为D．2．如图所示，已知抛物线，与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，过点A作交抛物线于点D，连接，则的度数．【答案】/度【分析】先求出，得到，，由勾股定理得到，求出直线解析式为，进而直线解析式为，联立求出，则，证明，求出，则，可证明是等腰直角三角形，则．【详解】解：如图所示，过点B作于E，在中当时，解得或，∴，∴，在中当时，，∴，∴，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∵，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立解得或，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，正确作出辅助线构造相似三角形，从而通过证明是等腰直角三角形是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）．(1)判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由；(2)若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，；(3)若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围．【答案】(1)个；理由见解析(2)，(3)【分析】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据，即可求解；（2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可；（3）根据函数图像的顶点在第二象限，且过点列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：，，，故函数图像与轴的交点个数为个；（2）函数图像的对称轴为直线，，则，则函数表达式为，当时，有，解得或，，，；（3）将代入函数表达式得，则，，故，解得，则函数表达式为，由（1）知，函数图像与x轴的交点个数为个且图像的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即，则函数图像的对称轴，解得，，，，即的取值范围为．押题解读本猜想题型属于中考必考题型，也是重点考查压轴的题型，难度系数大，要作为重点复习的知识点；本猜想题型考查的知识点有二次函数的几种不同的解析式，二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与一次函数、反比例函数的综合问题、二次函数与几何图形的综合等；常考的题型有最值问题、相似问题、存在性问题等；1．已知：，，，则下列说法中正确的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值【答案】C【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；【详解】由题意得，，，当时，m有最小值，当时，m有最大值，，，，当时，n随着b的增大而减小，当时，n有最小值1，当时，n有最大值4，，，，，解得：，，，n有最大值3，最小值1；故选：C．2．已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则 B．若恒成立，则C．若恒成立，则 D．若恒成立，则【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：，，即，解得：，，，，，，，抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，点和也在此抛物线上，若恒成立，则；若恒成立，则；故选：A．3、如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，．已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据轴对称图形的性质得出点E坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．记与y轴的交点为F，根据图像关于y轴对称且直径，得出点，再根据对称性求得点A坐标，将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可即可解答．【详解】解：记与y轴的交点为F，∵且半圆关于y轴对称，∴，∵，∴，∴左侧抛物线的顶点E坐标为，∵且关于y轴对称，∴,设，则有，解得：，∴，∵，，∴，∴图案中这段抛物线的函数表达式为故答案为：．4．若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键．根据题意设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为联立方程组得到坐标，由中点坐标公式得到再根据两点间的距离公式得到的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可．【详解】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线k值都存在，设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为直线与抛物线联立方程组为：，消去y得设由根与系数的关系得：∵为线段的中点，∴∴同理得∴∵∴根据均值不等式，当时，即时，的面积最小值为4．故答案为：4．5、如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在；点P的坐标为或或或【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．【详解】（1）解：∵点，，∴，，∵，∴，把和代入二次函数中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：；（2）解：如图1，∵直线经过点和，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为：，∵二次函数，∴设点，则，∴，∴当时，的最大值为，∴点E的坐标为；；（3）解：存在，∵，∴对称轴为直线，设，分三种情况：①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，∴，解得：或，∴或；综上，点P的坐标为或或或．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．6．如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的函数表达式．(2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：．(3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)见解析(3)存在，或【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）连接，，根据平行线的性质得出，即可求解；（3）延长交轴于点，得出，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得，过点作交于点，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，则，进而即可求解．【详解】（1）解：将点代入，得，，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：∵，则，则，当时，，∴，，∴,连接，如图所示，∵四边形是平行四边形，∴，，当、、三点在同一直线上，∴，∴；（3）解：如图所示，延长交轴于点，∵，，∴，∴，设直线的解析式为，代入，，得，解得：，∴直线的解析式为，，解得：或，∴，∴，，，∴，∴，∵将沿边翻折，得到，∴在直线上，且，，过点作交于点，∵，∴，则，∴，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则设，则，，，∵是直径，∴，则，∴，解得，，∴或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．押题猜想五二次函数的应用1．新农村建设示范村“幸福村”为配合上级部门做好春耕防汛工作，进一步推进美丽乡村建设，计划重修一条标准化示范水渠（如图），水渠的横截面是一个等腰梯形．根据工程造价预算，水渠的湿周（即图中的的长）为10米，当汛情来临时，为使得水渠的泄洪量达到最大，水渠横截面的底边长BC应设计成（

）米

A．5 B． C． D．【答案】B【分析】过点D作交的延长线于点H，设，结合图形得到，利用梯形面积公式得到截面，利用二次函数的性质求解即可.【详解】解：设底边长，则，

过点D作交的延长线于点H，又，，，，，,故当时，最大，水渠的泄洪量达到最大，即．故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，结合图形正确的求得二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解题的关键．2．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为，n的值为

【答案】【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．【详解】解：设抛物线的解析式为，根据题意得，在抛物线上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为，与直线联立方程，得：，整理得：,∵直线与抛物线有唯一公共点，∴解得，；帮答案为：；．【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．3．设计喷水方案素材1图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米

素材2如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为(如图4)．

问题解决任务1确定水柱形状在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．任务2选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度．任务3选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围．【答案】任务1：任务2：的高度为米任务3：【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论；任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解．任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论．【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．∵，∴．∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，∴左侧抛物线顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，∴即．任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．设的最高高度为．∴设图3中抛物线解析式为由（1）可得图2中的抛物线解析式为:令，得，解得（舍去），，∵，∴，∵，∴，∴点G的坐标为．将代入解得：∴的最高高度为米任务3：如图．设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，又∵抛物线形状相同，∴抛物线表达式为，把代入得，解得或（舍去），∴，∵喷出的水柱高度不低于，∴∴又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．由（2）可得代入即解得：∴∴喷水装置高度的变化范围为．押题解读本猜想题型是中考常考题型之一，在选择题、填空题和解答题均有可能出现，在选择和填空题出现难度一般不大，解答题出现难度中等，故该题型属于学生必拿分数的题型；二次函数的应用主要有增长率问题、销售利润问题、与图形几何运动有关的问题等；此类型的题目考查常规的题型并不难，要注意防止含参类型的题目，学会“配方法”和运用二次函数的图象与性质是关键；1．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．【详解】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，∴设二次函数解析式为，代入原点得，解得，∴，令得，解得∴一个球从出发到落地用时2秒，∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），∴，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．2．如图，现有一张透明网格（1000×1000）塑料片，纵向的网格线A1B1，…，A1000B1000，以A1为原点，A1A1000所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，现有抛物线y＝x2+x的一部分落在这个网格内，那么此抛物线在A20B20与A21B21之间（包括这两条网格线）与横向的网格线相交的点的个数为（）A．20 B．38 C．40 D．42【答案】C【分析】分别求出当x＝19时和当x＝20时的函数值，然后求出两个函数值的差值即可得到答案．【详解】∵A1为原点，∴A20对应的x＝19，A21对应的x＝20，当x＝19时，y1380，当x＝20时，y2，∴y2﹣y1＝40，∴此抛物线在A20B20与A21B21之间与横向的网格线相交的点的个数为40个，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当x＝19时和当x＝20时的函数值是解题的关键．3．有一种手持烟花，该烟花有10个花弹，每1秒发一发花弹，每一发花弹的飞行路径均相同第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系式：当秒时，该花弹的高度为米（1）第一发花弹的飞行高度的最大高度是米（2）第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其的值为．【答案】10秒或秒或秒．【分析】本题主要考查了二次函数的应用，抛物线的性质，待定系数法，配方法，一元二次方程与二次函数的联系，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法解答即可得出结论；（2）由题意得：第一发花弹飞行需要4秒，第一发花弹飞行过程中可能与第二发花弹，第三发花弹，第四发花弹在同一高度，设第一发花弹与第二发花弹在高度为米时，高度相同，得到，根据第一发花弹与第二发花弹相差1秒，得到，再利用根与系数的关系求得值；利用同样的方法求第一发花弹与第三发花弹，第一发花弹与第四发花弹高度相同时的值．【详解】解：（1）当秒时，该花弹的高度为米，，．．，抛物线的顶点坐标为，第一发花弹的飞行高度的最大高度是米．故答案为：；（2）令，则，或，第一发花弹飞行需要秒．第一发花弹飞行过程中可能与第二发花弹，第三发花弹，第四发花弹在同一高度，设第一发花弹与第二发花弹在高度为米时，高度相同，，，，．第一发花弹与第二发花弹相差秒，，，，，．当时，，解得：（不合题意，舍去）或．设第一发花弹与第三发花弹在高度为米时，高度相同，，，，．第一发花弹与第三发花弹相差秒，，，，，．当时，，解得：（不合题意，舍去）或．设第一发花弹与第四发花弹在高度为米时，高度相同，，，，．第一发花弹与第四发花弹相差秒，，，，，．当时，，解得：（不合题意，舍去）或．综上，第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其的值为秒或秒或秒．故答案为：秒或秒或秒．4．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若，则为．【答案】【分析】先求出OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，得h1=-900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，得得h2=-625a，即可得答案．【详解】解：如下图，∵OB=90，OA=2AB，∴OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，∵抛物线过原点O，∴0=a(0-30)2+h1，解得：h1=-900a，∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），∴两个抛物线的a是相等的，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，∵，h1=-900a，∴BC=-600a，∵抛物线过A、B两点，∴解得故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．5．随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；②求喷灌器底端O到点B的距离；(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．【答案】(1)①图见解析，；②(2)【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键．（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可；（2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案．【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为把代入得解得：抛物线的表达式为；②令，得，解得：，（舍去）喷灌器底端O到点B的距离；（2）如图所示：，，设把代入得解得：当时，设，把代入得解得：当时，使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．6．小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．(1)求a，b的值．(2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．(3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．【答案】(1)，(2)能过网，见解析(3)【分析】（1）根据一次函数解析式和过点解得b，再求出点P的坐标，代入二次函数求得a；（2）选择扣球，利用一次函数求得网的高度，选择吊球，结合利用二次函数求得值与网高进行判断即可；（3）由吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，得点P的坐标为，设向前移动m米，则二次函数解析式为，将及点P的坐标代入，求出m即可．【详解】（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m，∴，解得，∴一次函数解析式为；当时，，则点P的坐标为，∴，解得或（舍去）；（2）令中，则，∴球网的高度为1.6m，选择吊球，二次函数，∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；（3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，∴点P的坐标为设向前移动m米，则二次函数解析式为将点及点P的坐标代入，得，解得，∴他应该向正前方移动米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与实际问题，以及二次函数图象的平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．押题猜想六相似三角形的判定与性质综合1．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线，四边形是正方形，，，，，，由旋转知，，，，，在与中，，，，，，，，，，点在的平分线上，如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，点关于直线的对称点，，，，，四边形为平行四边形，，设，由图知，，，，∴，∴，，即，解得：，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．2、如图，正方形的边长为，平分交于，F是BC延长线上一点，且，延长线交于，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了正方形性质、全等三角形、相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．先根据正方形的性质得出，再由平分交于，求出，再证明，得，再证明，得，再证明，由即可得出结论．【详解】过点E作，垂足为，∵正方形，，，∴，又∵平分交于，∴，∵，即∴，∴，，∴在中，，∵正方形，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴．故答案为：．3．综合与实践．【问题发现】（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．【类比探究】（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或【分析】（1）证明，可得；（2）通过证明，可得；（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，；（2）解：，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，；（3）解：由（2）知：，，，，，，为的中点，，由（2）知，，，又是直角三角形，，，设，则，，，，，，，，或（不合题意，舍去），当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，，，，，，，，（不合题意，舍去）或，综上所述，的长为或．【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．押题解读本猜想题型是中考的必考题型，常作为大题的压轴题目，难度大；相似三角形的主要考点有相似三角形的判定与性质、相似三角形的模型和相似三角形的存在性问题；解决此类问题要学会分析题干中给出的条件，对相似三角形有个清晰的判断；1．如图，正方形中，，与相交于点H，点O为中点，连接，若，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的性质和勾股定理，先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设，然后根据勾股定理表示出、即可得到答案；【详解】解：四边形是正方形，，，又，∴，，，，，，点为中点，，，，，，设，则，，在中，，，解得，在中，根据勾股定理，过点作于点，过作于点，过作交的延长线于点，如图：则四边形为矩形，，，在中，，，，又，，，，，，根据勾股定理可得，，故选：A．2．四个全等的直角三角形和小正方形组成的大正方形如图所示，过点C作交的延长线于点K，连接分别交于点M，N，若已知，则的值为（）A．6 B． C．8 D．【答案】A【分析】设，则，，进而求出，面积公式求出，进而得到，根据同角的余角相等，得到，进而得到，勾股定理得到，根据，得到，进而得到，设，，则，证明，求出的长，进一步求解即可．【详解】解：设，则，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴（负值舍去），∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，设，，则，∵，∴∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，难度大，属于选择题中的压轴题，掌握相关性质和定理，并灵活运用，是解题的关键．3．如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得与重合，与重合，若，则．【答案】【分析】连接，，设交于点，交于．由折叠可知，，，根据，证得，再证明，得，解得，从而得，再由同角的余角相等，证得，求出．【详解】连接，，设交于点，交于．由折叠可知，，点D为的中点，，，，设，则则有又．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由相似求出解题的关键．4．如图所示，在平面直角坐标系中，，，点是第一象限的动点且，线段绕点在第一象限转动；（1）在转动过程中，求点到的最近距离；（2）试求的最小值．【答案】【分析】根据已知条件判断，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，当射线于点时，点到的距离最近，最近距离为的长，用面积法求的长，，即可求解；在上取，连接，，由，，得，又因为，可推出∽，根据相似三角形的性质，得，所以，，在中，根据三角形三边关系，，当点、、三点共线时，，此时值最小，在中，根据勾股定理，得，所以的最小值为．【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作弧，作于点，点是第一象限的动点且，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，在中，，，，，即，解得，．故答案为：．如图，在上取，连接，，，，，又，∽，，，，在中，，当点、、三点共线时，，此时值最小，在中，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归模型，垂线段最短，三角形相似的判定和性质，勾股定理，将转化为的长是解题的关键．5．如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．(1)求证：平分．(2)若，，求的长．(3)若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质可得，再根据点M是的中点，可证，进而证明，即可证出；（2）由折叠性质和由（1）得，可以求出，即可证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；（3）由折叠性质和第（2）问可得，进而求出，由（1），可求，进而求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，由折叠性质可得：，∵延长交于E，∴，∴，∵点M是的中点，∴，由折叠性质可得：，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）证明：由折叠性质可得：，由（1）得：，∵，∴，∵，∵，∴，∵，∴∴∵，点是的中点，∴；∴∴解得：（3）解：由（2）得：，∵，∴，由（2）得：，由折叠性质得：，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）得：，∴，∴，由折叠性质的：，∴，∴，∴；【点睛】本题考查矩形与折叠问题，三角函数、全等三角形的证明与性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．6．如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，连接．(1)求证：；(2)若，求的值；(3)将绕点逆时针旋转一定的角度到如图，若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；（1）根据题意得出，，根据相似三角形的性质得出，进而即可得证；（2）根据题意设，则，根据得出，，进而根据正弦的定义，即可求解；（3）连接，证明，得出，进而在中，勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，（2）解：∵∴，∵，∴∴∴，∵设，则，在中，，∵∴∴∴；（3）如图所示，连接，在中，，∴，∵∴，∴∴，∴，∵，∴，在中，．押题猜想七解直角三角形的应用1．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形、、，分别记正方形、的面积为、，若，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，令正方形、的边长分别为、，由正方形的性质易证，再根据表示出，进而得出，再利用锐角三角函数，得出，代入比值计算即可求解．【详解】解：如图，连接，令正方形、的边长分别为、，正方形、、，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次根式的混合运算，作辅助线构造全等三角形是解题关键．2．如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板（与地面平行）或绕定点（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，．通过向下踩踏点到（与地面接触点）使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线、垂直，垂足为点、，设．测得，，，，．（1）要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于；（2）当时投入一个小球，并能顺利盖上垃圾桶盖，小球的最大半径为．【答案】6.775【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．（1）过点作，垂足为点，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，由题意得：，再利用相似三角形的判定与性质求得线段即可得出结论；（2）当时，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，进而求得，则垃圾桶的内径可求，由题意即可确定结论．【详解】解：（1）过点作，垂足为点，如图，在中，若，则，，由题意得：，．，，，，．桶盖张开的角度不小于，．的最小值为，即踏板离地面的高度至少等于；故答案为：；（2）如图2，当时，在中，，设，则，，，，，，，即垃圾桶的内径为16.9cm,半径为8.45cm.设EF中点为O，则OD=13.55，当球与DH、DH′相切时，小球半径最大，最大值为13.55÷2=6.775故答案为：6.775．3．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点C到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．

(1)求显示屏所在部分的宽度；(2)求镜头A到地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数）【答案】(1)(2)【分析】本题考查三角函数的实际应用，准确认清线段关系，作出合适的直角三角形是解题的关键．（1）过点作点所在铅垂线的垂线，垂足为，则，由三角形边角关系即可求出答案；（2）连接，作垂直反向延长线于点，在中，由，，即可求出，从而得出答案．【详解】（1）∵，与水平地面所成的角的度数为，∴显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．过点作交点所成铅垂线的垂线，垂足为，则，∵，∴；（2）如图，连接，作垂直反向延长线于点，

∵，为的中点，∴，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，，∵，∴，∴，∴，∴镜头到地面的距离为．押题解读本猜想题型是中考的必考题型，尤其是有关解直角三角形的实际应用，是考查的重点，一般难度在中等，属于学生必拿分数；本猜想题型考查的知识点有特殊角的三角函数值、三角函数中的倍角关系、解直角三角形的相关应用等；解决此题型的关键在于找到合适的直角三角形，要学会添加辅助线，可以提醒一下考生，这一块题型的辅助线添加一般都是横平竖直的垂线；1．等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正六边形的性质，得到等角螺线中等腰三角形顶点到中心的距离等于正六边形的边长，由此规律可得第8个