2025届高考数学一轮总复习考点突破第二章函数2.1函数的概念及其表示

第二章函数2.1函数的概念及其表示考点一函数的概念例1下列函数为同一函数的是（C）A.fx=xx与gxC.fx=x2-2x-解：对于A，fx=∣x∣x=1,x>对于B，fx=x⋅x+1=xx+对于C，fx=x2-2x-1，定义域是R，gt=对于D，fx=1，定义域是R，gx=x0=1，【点拨】根据函数的定义，直线x=a（a是常数）与函数变式1【多选题】下列各图中，可能是函数图象的是（ACD） B. C. D.解：B中，当x>0时，有两个y值与之对应，不是函数.其他均符合函数的定义.故选考点二求函数的定义域命题角度1已知解析式求函数定义域例2函数fx=2A.(0,2] B.-∞,2 解：由题意，得2-x≥0,x≠0,x>0【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y=fx变式2（1）函数fx=-A.0,1∪(1,4] B.解：由-x2+3x即0<x≤4且x≠1.所以函数fx（2）已知函数fx=x2-2x-A.(-∞,-2] B.-∞,-2 C.[-解：由题意及二次函数性质，知Δ=4-4-a-1≤0命题角度2求抽象函数的定义域例3若函数fx的定义域是[2,4]，则函数f解：因为函数fx的定义域是[所以2≤x+1所以函数fx+1故填[3【点拨】求抽象函数的定义域常用转移法.若y=fx的定义域为a,b，则解不等式a<gx<b即可求出y=变式3已知函数fx=2x+1的定义域为[-2,解：由题意，得-2≤x-1≤2,-考点三求函数的解析式例4（1）已知fx是一次函数,且3fx+1-解：因为fx是一次函数可设fx所以3[即ax+所以a=2,5a所以fx的解析式是fx=2x+（2）已知fx+1=3x+x，则fx的解析式为解：令x+1=t,t≥1，则x=t故填fx=3x2（3）设函数fx=2f1xA.1 B.-1 C.10 D.解：由已知，得f1x=2fx+1，联立fx=2f故选B.【点拨】函数解析式的求法如下.①待定系数法.已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.②换元法.已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.③配凑法.由已知条件fgx=Fx，可将Fx改写成关于gx的表达式，然后以x替代gx，便得fx变式4（1）已知一次函数fx满足ffx=4x解：设fx=kx+bk≠0，则ffx=k2x+kb+b.所以（2）已知fx-1x=解：fx-1x=x2+（3）已知fx+2f-xA.-3x+13 B.-3x 解：因为fx所以f-联立①②，解得fx=-3x+1（4）若函数fx满足fx-y=fx解：由题意，令x=y=0，得f0=0.令y=x考点四分段函数例5（1）已知函数fx=2x,x解：依题意，当x<1时，函数fx=2x单调递增，fx<2；当x≥1时，fx=故填4.（2）设函数fx=gx,x<1,x13,x≥1,则当gx=解：若gx=ex-1，则当x<1时，当x≥1时，x13≤2，综上，x的取值范围是(-∞,8若gx=1,则x+1与2x均小于等于1不可能.当x+1≥1且2x≥1时，由fx+1>f2x，得x+113故填(-∞,8];（3）已知函数fx=x2-2x+A.1 B.2 C.3 D.4解：当x>0时，fx=x2-2x+2=x-12+1，值域为[1,+∞)；当x≤0时，【点拨】①此类分段函数与方程交汇问题，关键点是抓住“分段问题、分段解决”的核心思想，结合函数单调性及参数的特点分区间讨论，最后将结果合并起来.②解决分段函数的单调性问题,要注意“通观全局”，即对于分段函数在R上单调，需满足每一段具有相同的单调性,还需要分段点两侧的值也符合该单调性.③已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值域或最值，再结合已知条件建立不等式（组）求解.必要时可先分析函数性质，再画图实现数形结合.变式5（1）已知函数fx=x2+2x,A.-∞,-1∪2C.-2,1解：因为y=x2+2x在[0,+∞)上单调递增，y=-x2+2x在-∞,0上单调递增，且fx所以f2-a2>fa等价于2-a2>a，解得（2）已知fx=1-2ax+A.(-∞,-1] B.