福建省龙岩市龙岩第一中学2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

福建省龙岩市龙岩第一中学2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（）A． B． C． D．2．下列结论正确的是（）A． B．若，则C．当且时， D．3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，按学段用分层抽样的方法抽取该地区的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里5．直线被圆截得的劣弧与优弧的长之比是（）A． B． C． D．6．已知函数f(x)满足：f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a7．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④8．已知球面上有三点，如果，且球心到平面的距离为，则该球的体积为（）A． B． C． D．9．在中，，，，则的面积是（）A． B． C．或 D．或10．设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．12．中，若，，则角C的取值范围是________.13．正项等比数列中，，，则公比__________．14．已知向量满足，则15．已知向量，，且，则_______．16．如图，四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：x04060120Q020（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？18．已知函数，为实数．（1）若对任意，都有成立，求实数的值；（2）若，求函数的最小值．19．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是；（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．20．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在的最大值为2，求实数的值.21．如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，.（1）求证：平面平面；（2）当时，求多面体的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．【详解】解：机器人到与点距离为8的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹方程为，如图所示；与，直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离为．故选．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．2、D【解析】

利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明．【详解】当时，A不正确；，则，B错误；当时，，，C错误；由不等式的性质正确．故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．3、A【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。【详解】由图1得样本容量为，抽取的初中生人数为人，则初中生近视人数为人，故选．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用。4、B【解析】

根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.5、A【解析】

计算出圆心到直线的距离，根据垂径定理，结合锐角三角函数关系，可以求出劣弧所对的圆心角的度数，根据弧度制的定义，这样就可以求出劣弧与优弧的长之比.【详解】圆心O到直线的距离为：，直线被圆截得的弦为AB,弦AB所对的圆心角为，弦AB的中点为C，由垂径定理可知：，所以，劣弧与优弧的长之比为：，故本题选A.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、点到直线距离公式、弧长公式，考查了数学运算能力.6、B【解析】

根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.【详解】由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.7、D【解析】

取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．【详解】解：取的中点，连接，，连接，，正方形和所在平面互相垂直，、分别是和的中点，可得，，平面，可得，故①正确；由为的中位线，可得，且平面，可得平面，故②③正确，④错误．故选：D．【点睛】本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．8、B【解析】

的外接圆半径为球半径球的体积为，故选B.9、C【解析】

先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：由，，，根据正弦定理得：，为三角形的内角，或，或在中，由，，或则面积或．故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10、C【解析】

由题设条件，得到直线与直线异面或平行，进而得到答案．【详解】由题意，因为直线与平面平行，直线在平面上，所以直线与直线异面或平行，即直线与直线没有公共点，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线只见那的位置关系的判定及应用，以及直线与平面平行的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

先将函数的解析式利用降幂公式化为，再利用辅助角公式化为，其中，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．【详解】，其中，当时，函数取得最大值，则，，所以，，解得，故答案为．【点睛】本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．12、；【解析】

由，利用正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而可得结果.【详解】由正弦定理可得，又，则,即，则，C是三角形的内角，则，故答案为：.【点睛】本题注意考查正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.13、【解析】

根据题意，由等比数列的性质可得，进而分析可得答案.【详解】根据题意，等比数列中，，则，又由数列是正项的等比数列，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】试题分析：=,又，，代入可得8，所以考点：向量的数量积运算.15、-2或3【解析】

用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.【详解】由题意得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.16、.【解析】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．【详解】解：四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设直线与直线所成角为，则，直线与直线所成角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）选择模型①，见解析；（2）80.【解析】

（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.【详解】（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.（2）将，代入函数型①，可得：，则，总耗油量：，当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.【点睛】本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据二次函数的解析式写出对称轴即可；（2）根据对称轴是否在定义域内进行分类讨论，由二次函数的图象可分别得出函数的最小值．【详解】（1）对任意，都有成立，则函数的对称轴为，即，解得实数的值为．（2）二次函数，开口向上，对称轴为①若，即时，函数在上单调递增，的最小值为；②若，即时，函数在上单调递减，的最小值为；③若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，的最小值为；综上可得:【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，应用了分类讨论的思想，属于中档题．19、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，从而证得平面.（2）连接，证得为与平面所成角.根据的值求得的长，作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的正切值．【详解】（1）证明：取的中点，连接.∵是中点∴又是的中点,∴∴，从而四边形是平行四边形，故又平面，平面，∴（2）∵平面，∴是在平面内的射影为与平面所成角，四边形为矩形，∵,∴,∴过点作交的延长线于，连接，∵平面据三垂线定理知.∴是二面角的平面角易知道为等腰直角三角形，∴∴=∴二面角的正切值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的定义和应用，考查面面角的正切值的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.20、(1)；(2)或【解析】

（1）根据二倍角公式进行整理化简可得，从而可得最小正周期；（2）将通过换元的方式变为，；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得的值.【详解】（1）最小正周期（2）令，则由得①当，即时当时，由，解得（舍去)②当，即时当时，由得，解得或（舍去）③当，即时当时，，由，解得综上，或【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后