高考数学第一轮复习复习第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲义）

第四章三角函数(必修第一册)第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数[课程标准要求]1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)角α的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,则|α|=lr(3)角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π180rad≈0.01745rad,1rad=(180π)°≈57.30°=57(4)扇形的弧长公式:l=|α|·r,扇形的面积公式:S=12lr=12|α|·r3.任意角的三角函数(1)定义设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=yx(2)三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=1.扇环的面积公式S=122.面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长l与半径r满足l=2r,即扇形圆心角等于2rad.3.若角α∈(0,π21.若sinα<0,且tanα>0,则α是(C)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角2.若角α的终边过点(1,-3),则sinα=,cosα=.

答案:-310103.角-225°=弧度,这个角在第象限.

答案:-5π44.已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为.

解析:因为α=30°=π6,l=|α|r,所以r=2ππ6=12,所以扇形面积S=12lr=1答案:12π5.在-720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为.

解析:所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z),得-765°≤k·360°<-45°(k∈Z),解得-765360≤k<-45从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.答案:-675°或-315°角及其表示1.(多选题)下列与角-4π3A.π3 B.2π3 C.4π3解析:与角-4π3终边相同的角的集合是{α|α=-4π当k=1时,α=2π3;当k=-1时,α=-10π2.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π解析:当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π3.已知α为第三象限角,则α2是第象限角,2α是解析:因为α是第三象限角,即2kπ+π<α<2kπ+3π2所以kπ+π2<α2<kπ+4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z.当k为偶数时,α2为第二象限角;当k为奇数时,α答案:二、四第一、第二象限或y轴的非负半轴上4.终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.

解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=3x,可以发现它与x轴的夹角是π3,在[0,2π)内,终边在直线y=3x上的角有两个:π3,4π3;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-2π3,-5π3,故满足条件的角α构成的集合为{-5π3,-答案:{-5π3,-2π3,π3(1)象限角的判定有两种方法:①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.②转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.(2)确定kα,αk(k∈N*)终边位置的方法:先写出kα或αk的范围,然后根据k的可能取值确定kα或弧度制及其应用[例1]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3(2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3解:(1)因为α=π3所以l=|α|R=π3×10=10π(2)由已知得,l+2R=20,所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)所以当R=5时,S取得最大值,此时l=10,α=2.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3(1)应用弧度制解决问题的方法①利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;②求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.[针对训练]1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12cm,则弧长l等于()A.43π3cm C.43cm D.83cm解析:设扇形的半径为rcm,如图.由sin60°=6r得r=43cm,所以l=|α|·r=2π3×43=82.已知扇形的面积是4cm2,当扇形周长最小时,扇形的圆心角的弧度数为.

解析:设此扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则扇形的面积S=12所以l=8r则L=2r+l=2r+8r由基本不等式得2r+8r≥216=8,当且仅当2r=8r,即r=2时,等号成立,扇形的周长取得最小值8,此时l=8r=4,故α=l答案:2三角函数定义三角函数定义的应用[例2]已知角α的终边上一点P(-3,m)(m≠0),且sinα=2m4,则cosα=,tanα=解析:设P(x,y).由题意知x=-3,y=m,所以r2=OP2=(-3)2+m2(O为坐标原点),即r=3+m2,所以sinα=mr=2所以r=3+m2=2即3+m2=8,解得m=±5.当m=5时,cosα=-322tanα=-153当m=-5时,cosα=-322=-6答案:-64-153利用三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.三角函数值的符号判定[例3](1)已知点P(cosα,tanα)在第二象限,则角α的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)sin2·cos3·tan4的值()A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析:(1)因为点P(cosα,tanα)在第二象限,则cosα(2)因为π2<2<3<π<4<3π2,所以2rad和3rad的角是第二象限角,4rad的角是第三象限角,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2·cos3三角函数值在各个象限内的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sinθ在第一、第二象限为正,cosθ在第一、第四象限为正,tanθ在第一、第三象限为正.特别地,三角函数值的正负有时还要考虑坐标轴上的角,如sinπ2[针对训练]1.若sinθcosθ<0,tanθA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析:由tanθsinθ2.已知α的终边过点(x,4),且cosα=-35,则tanα=解析:因为α的终边过点(x,4),且cosα=-35所以x<0.因为cosα=xx2+16所以x=-3,所以tanα=-43答案:-4[例1](多选题)已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能正确的是()A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2解析:设扇形半径为r,圆心角弧度数为α,则由题意得2解得r=1,可得圆心角的弧度数是4或1.故选ABC.[例2]已知θ是第三象限角,满足|sinθ2|=-sinθ2,则A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析:因为θ是第三象限角,所以π+2kπ<θ<3π2+2kπ,k∈Z,则π2+kπ<θ2<3π4+kπ,k∈Z,即θ2所以θ2[例3]已知角α的终边经过点(3,-4),则sinα+1cosA.-15 B.3715 C.3720解析:因为角α的终边经过点(3,-4),所以sinα=-45,cosα=3所以sinα+1cosα=-45+5[例4]一个扇形的面积是1c