甘肃省武威第十八中学2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

甘肃省武威第十八中学2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（）A．4 B． C． D．2．设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（）A．若，则对任意实数恒成立；B．若，则函数为奇函数；C．若，则函数为偶函数；D．当时，若，则（）．3．已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A． B． C． D．4．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大正整数n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40345．对于任意实数，下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A． B．C． D．7．已知向量a=(1，-1)，bA．-1 B．0 C．1 D．28．已知向量,满足,和的夹角为,则()A． B． C． D．19．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.10．为了得到函数，(x∈R)的图象，只需将(x∈R)的图象上所有的点（）.A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.12．数列满足，则的前60项和为_____．13．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.14．已知在中，，则____________.15．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.16．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列满足，且.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和的最大值.18．已知向量，满足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.19．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.20．已知向量,满足,,.(1)求向量,所成的角的大小;(2)若,求实数的值.21．函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．（1）求函数的单调递减区间．（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据正弦定理，代入数据即可。【详解】由正弦定理，得：，即，即：解得：选B。【点睛】此题考查正弦定理：，代入数据即可，属于基础题目。2、D【解析】

利用两角和的余弦公式化简表达式.对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得（），进而判断出D选项为假命题.【详解】.不妨设．为已知实常数.若，则得；若，则得．于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；当时，令，则，上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．将该方程的两边同除以得，令（），则，解得（）．不妨取，（且），则，即（），所以命题D是假命题．故选：D【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.3、B【解析】

分别根据和的单调减区间即可得出答案．【详解】因为和的单调减区间分别是和，所以选择B【点睛】本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况.4、D【解析】

由等差数列的性质可得，，由等差数列前项和公式可得则，，得解.【详解】解：由是等差数列，又，所以，又首项，，则，，则，，即使前n项和成立的最大正整数，故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.5、C【解析】

根据是任意实数，逐一对选项进行分析即得。【详解】由题，当时，，则A错误；当，时，，则B错误；可知，则有，因此C正确；当时，有，可知C错误.故选：C【点睛】本题考查判断正确命题，是基础题。6、D【解析】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．7、C【解析】

由向量的坐标运算表示2a【详解】解：因为a=(1,-1)，b=(-1,2故选C．【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．8、B【解析】

由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.【详解】由题意可得.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.9、B【解析】

根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.【详解】是第一象限角，但不是锐角，故A错误；与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.10、D【解析】

根据函数的平移原则，即可得出结果.【详解】因为，，所以为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点向左平移个单位.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记左加右减的原则即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据三角函数图象依次求得的值.【详解】由图象可知，，所以，故，将点代入上式得，因为，所以.故.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.12、1830【解析】

由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．【详解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，的前60项和为，故答案为：．【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．13、【解析】

本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；【详解】解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．14、【解析】

根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.【详解】因为，所以且，又，所以，所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.15、【解析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.【详解】解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，则从盒内随机抽取2张卡片有共15个基本事件，其中有相同字的有共6个基本事件，该游戏的中奖率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.16、【解析】

易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.【详解】因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.故四面体的体积.故答案为：【点睛】本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）144【解析】

（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。【详解】（1）设公差为，则则则（2）由等差数列求和公式得则所以当时，有最大值144【点睛】本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题18、(Ⅰ)=2(Ⅱ)【解析】

（I）计算，结合两向量的模可得；（II）利用，把求模转化为向量的数量积运算．【详解】解：(Ⅰ)由题意得即又因为所以解得=2.(Ⅱ)因为，所以=16+36-4×2=44.又因为所以.【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：，即模数量积的转化．19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段为直径的圆与轴相切．（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因为，所以的取值范围是．解法二：设，，将代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，将代入（*）式，得，所以，．代入，得．因为，所以的取值范围是．考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．20、（1）（2）【解析】

（1）化简即得向量,所成的角的大小；（2）由，可得，化简即得解.【详解】解：（1）由，可得．即，因为，所以，又因为，，代入上式，可得，即．（2）由，可得．即，则，得．【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、（1），；（2）．【解析】