高考数学复习第七章　第一节　数列的概念（导学案）

第七章数列第一节数列的概念【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【必备知识·精归纳】1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an2.数列的表示法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法点睛(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.3.数列的分类单调性递增数列∀n∈N*,an+1>an递减数列∀n∈N*,an+1<an常数列∀n∈N*,an+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*,存在正整数k,an+k=an点睛数列的单调性可类比数列通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性.4.数列的前n项和数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an−1+an,则an点睛若n≥2时,求出的an也适合n=1时的情形,则用一个式子表示an,否则分段表示.【常用结论】在数列{an}中,若an最大,则an≥an−1,an【基础小题·固根基】教材改编结论应用易错易混1,3,5241.(教材变式)在数列{an}中,a1=2,an=1-1(n≥2),则a2024等于 ()A.-12 B.12 C.-1 D解析：选B.由a1=2,an=1-1an−1(a2=1-1a1=12,a3=1-1a2=-1,a4=1-1a3=2,a5=1-1a4=12,故数列{an}为周期性数列,每3项一循环,而2.(结论)数列{an}满足an+1an>1(n∈N*),且a1>0,则数列是A.常数列 B.摆动单调数列C.递增数列 D.递减数列解析：选C.由a1>0,an+1an>1可知an+1>a3.(教材变式)数列1,34,59,716,…的一个通项公式是 A.(-1)nn22n−1 C.n22n−1 解析：选B.根据题意,数列1,34,59,其中a1=2×1−112=11=1,a2=2×2−1a3=2×3−132=59,a4=2×4−142=716,4.(忽视n=1的讨论)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1-1,则数列{an}的通项公式为()A.an=2n B.an=3,C.an=2n-1 D.an=2n+1解析：选B.当n≥2时,Sn-1=2n-1,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=21+1-1=3,不符合an=2n,则an=3,n5.(教材变式)数列{an}如表所示:n12345678…an37-1-514312…则由表格可知a3+a7=,a1+a8=.

解析：由列表法表示数列可知a1=3,a3=-1,a7=3,a8=12,因此a3+a7=2,a1+a8=15.答案:215【题型一】已知数列的前几项求数列通项公式[典例1](1)已知a1=1,a2=13,a3=16,a4=110,则数列{an}的一个通项公式为an= A.2(n+1)2 C.22n−1 解析：选B.a1=1=22=21×2,a2=13=22×3,a3=16=212=23×4,a4则an=2n(2)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为 ()A.6n-1 B.-6n+1C.6n+2 D.-6n-2解析：选B.由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),可知第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=1-6n.(3)下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是 ()A.an=n2-n+1 B.an=nC.an=n(n+1)2 D解析：选C.方法一:由题图可知,当n=1时,有1个,排除BD,当n=3时,有6个,排除A.方法二:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1颗;n=2时,有3颗;n=3时,有6颗;n=4时,有10颗…;所以an=1+2+3+4+…+n=n((4)数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为.

解析：观察数列可知,a1=10-1,a2=102-1,a3=103-1,a4=104-1,所以这个数列的一个通项公式是an=10n-1.答案:an=10n-1【方法提炼】由数列的前几项求通项公式的方法(1)根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.【对点训练】1.已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20,则数列{an}的通项公式可能是 ()A.an=4n-2B.an=2n+2(n-1)C.an=n2+nD.an=3n-1+2n-1解析：选C.对于A,a3=10≠12,故A错误;对于B,a4=16+6=22≠20,故B错误;对于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正确;对于D,a3=9+5=14≠12,故D错误.2.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 ()A.不在此数列中 B.第13项C.第14项 D.第15项解析：选D.由于1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.3.已知数列{an}满足a1=a,an+1=an2−2an+1(n∈N*).若数列{an}是常数列,则A.-2 B.-1 C.0 D.1解析：选A.因为数列{an}满足a1=a,an+1=an2−2an+1(n∈N*),因为数列{an}是常数列,所以a=a2解得a=-2.4.如图,用4根火柴可以拼出1个正方形,用7根火柴可以拼出2个正方形…设用an根火柴可以拼出n个正方形,则数列{an}的通项公式为.

解析：拼1个正方形用a1=4根火柴,拼2个正方形用a2=4+3根火柴,拼3个正方形用a3=4+3×2根火柴,…以此类推,得到拼n(n≥2,n∈N*)个正方形用an=4+3(n-1)=3n+1根火柴,a1=3×1+1=4,n=1时符合,所以数列{an}的通项公式为an=3n+1.答案:an=3n+1【题型二】由an与Sn的关系求通项公式an[典例2](1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=.

解析：由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32,而S所以Sn=32答案:3(2)金榜原创·易错对对碰①已知数列an的前n项和为Sn=3n+1,则数列an的通项公式an=解析：当n=1时,a1=S1=3+1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1.显然n=1时不满足上式,所以an=4,答案:4,②已知数列an的前n项和为Sn=3n-1,则数列an的通项公式an=解析：当n=1时,a1=S1=3-1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2·3n-1.显然n=1时满足上式,所以an=2·3n-1.答案:2·3n-1【方法提炼】 ——自主完善,老师指导已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.【对点训练】1.记Tn为数列{an}的前n项积,已知1Tn+3an=3,则T10=A.163 B.154 C.133 解析：选C.n=1,T1=43,Tn=a1a2a3…an,则an=TnTn−1(n≥2),化简得Tn-Tn-1=13,则{Tn}是以T1为首项,公差为13的等差数列,即Tn=所以T10=1332.已知正项数列{an}中,a1+a2+…+an=n(n+1)2(n∈N*),则数列{aA.an=n B.an=n2C.an=n2 D.an=解析：选B.因为a1+a2+…+an所以a1+a2+…+an−1=两式相减得an=n(n+1)2所以an=n2(n≥2),①又当n=1时,a1=1×22=1,a1=1,适合①式,所以an=n3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=12,当n≥2时,Sn2=anSn-an.则Sn解析：当n≥2时,Sn2=anSn-a所以Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn整理得SnSn-1=Sn-1-Sn,即1Sn-1所以数列{1Sn}是以1S1=1a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以1Sn=答案:1【加练备选】1.设数列{an}满足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,求{an}的通项公式.解析：数列{an}满足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,当n=1时,得a1=3.当n≥2时,由a1+4a2+…+(3n-2)an=3n可得a1+4a2+…+(3n-5)an-1=3(n-1),两式相减得(3n-2)an=3,所以an=33n−2(n≥2,n∈当n=1时,a1=3,上式也成立.所以an=33n−2(n∈N2.(多选题)已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则ananA.2 B.5 C.3 D.4解析：选BD.因为Sn=n+23an,所以n≥2an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13整理可得anan−1=由于数列{2n−1}单调递减,可得n=2时,2n−1取得最大值2.所以【题型三】数列通项公式的求法[典例3](1)已知数列{an}满足:a1=1,an-an+1=nanan+1,则下列正确的是 ()A.a7=122 B.a8=C.a9=136 D.a10=解析：选A.因为an-an+1=nanan+1,等式两边同除以anan+1,所以1an+1-1可得到1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,…,11a2-1a1+1a3-1a2+…+1an-1又因为a1=1,所以1an=(1a7=(7−1)×72+1=22,所以a7=122,故A正确;1a8=(8−1)×82+1=29,所以a81a9=(9−1)×92+1=37,所以a9=137,故C错误;1a10=(10−1)×102+1=46,所以a10(2)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是an= ()A.2n-1 B.nC.n2 D.n解析：选D.由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,方法一:即an+1a则anan−1=nnan−2an−3=n−2n由累乘法可得ana1=n,所以an=n,n≥2,又a1=1,符合上式,所以a方法二:因为an+1n+1=an所以ann=a11,所以an=(3)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,则{an}的通项公式为.

解析：由an+1=3an+1得an+1+12=3an+=3(an+12).又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列,因此数列{an}的通项公式为an=3n答案:an=3(4)若数列{an}满足a1=1,an+1=2anan+2,则解析：因为an+1=2anan所以an≠0,所以1an+1=1即1an+1-1an=12,又所以1an是以1为首项,1所以1an=1a1+(n-1)×12所以an=2n答案:2【一题多变】(1)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改为“an+1=3an+2n-1”,其他条件不变,结果如何?(2)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改为“an+1=3an+2n-1”,其他条件不变,结果如何?解析：(1)由an+1=3an+2n-1,得an+1+n+1=3(an+n).又a1+1=2,所以{an+n}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an+n=2·3n-1,因此数列{an}的通项公式为an=2·3n-1-n.(2)由an+1=3an+2n-1,得an+1+2n=3(an+2n-1).又a1+21-1=2,所以{an+2n-1}是首项为2,公比为3的等比数列.所以an+2n-1=2·3n-1,故an=2·3n-1-2n-1.【方法提炼】 ——自主完善,老师指导由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1且anan−1=f(n)可用“累乘法”(3)已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{an+k}.(4)形如an+1=AanBan+C(A,B,C为常数【对点训练】1.在数列{an}中,a1=2,an+1n+1=ann+ln(1+1n),则A.2+nlnn B.2n+(n-1)lnnC.2n+nlnn D.1+n+nlnn解析：选C.因为an+1n+1=ann+ln(则有an+1n+1-于是得,当n≥2时,ann=a11+(a22-a11)+(a3=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+lnn−ln(n因此,an=2n+nlnn,显然,a1=2满足上式,所以an=2n+nlnn.2.已知a1=2,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式an=解析：因为an+1=2nan,所以an+1a当n≥2时,an=anan−1×an=2n-1×2n-2×…×2×2=2n又a1=2也符合上式,所以an=2n答案:23.在数列{an}中,a1=1,且an+1=an1+nan,求数列{解析：因为an+1=an1+nan,所以an+1(1+nan)=an,化简得an+1+nanan两边同时除以anan+1并整理得1an+1-即1a2-1a1=1,1a3-1an-1an−1=n-1(n≥2,将上述n-1个式子相加得,1a2-1a1+1a3-1a2+1a即1an-1a1=n(n−1)2,所以1an=1a1+n又因为1a1=1所以1an=n2−n+2所以an=2n2−n+2(n【加练备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an,则数列{an}的通项公式an=.

解析：由4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an得Sn=(n+2)2an4(Sn-1=(n+1)两式相减得an=(n+2)2化简整理得n3an=(n+1)3an-1.当n=1时,S1=a1,即有8(a1+1)=9a1,解得a1=8,因此,n∈N*,n≥2时,ananan=anan−1·an−1an−2=(n+1)3n3·n3(n−1)3·而a1=8满足上式,所以an=(n+1)3.答案:(n+1)3【题型四】数列的性质及应用角度1数列的周期性[典例4]在数列{an}中,a1=0,an+1=3+an1−3an解析：因为a1=0,an+1=3+所以a2=31=3,a3=3+=-3,a4=3−即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2023=S3×674+1=a1=0.答案:0角度2数列的单调性及最值[典例5](1)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=n2,bn=an+110−an,则bA.-16 B.-15C.-13 D.-11解析：选C.因为Sn=n2,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,此时a1=1,综上,数列an的通项公式为an=2n-1所以bn=an+110−an记f(x)=1211−2x-1,则f(x)在(-∞,5.5)与(5.5,+∞)上都是增函数,所以数列bn的最小项是第6项,(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是()A.第2项 B.第3项C.第4项 D.第5项解析：选B.因为Sn=n2-10n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.所以an=2n-11(n∈N*).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=114,但n∈N*所以当n=3时,f(n)取最小值.