高考数学第一轮复习复习第6节　复　数（讲义）

第6节复数[课程标准要求]1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾.2.理解复数的基本概念以及复数相等的定义.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.(2)复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)实数((3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ→(O为坐标原点).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).1.(1±i)2=±2i;1+i12.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).3.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z11.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)等于(D)A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则(A)A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2解析:由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b3.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(A)A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1解析:法一由题意知a+b+2ai=2i,所以a解得a法二由题意知a+b+(2a-2)i=0,所以a解得a4.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z等于(D)A.-2 B.-1 C.1 D.2解析:因为i(1-z)=1,所以z=1-1i所以z=1-i,所以z+z=1+i+1-i=2.5.若复数z=1+ii解析:因为z=1+ii=i(1答案:2复数的有关概念1.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(B)A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3解析:(b+i)i=-1+bi,则由a+3i=-1+bi,得a=-1,b=3.2.如果复数2+A.-2 B.1 C.2 D.4解析:2+bi由题意得b=-2.3.(多选题)若复数z=21A.z的虚部为-1B.|z|=2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i解析:z=21+i=2(1-i)(4.复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(C)A.恒等于1B.最大值为1,无最小值C.最小值为1,无最大值D.无最大值,也无最小值解析:设z=a+bi(a,b∈R),因为|z-1|=|z+3|,所以|a-1+bi|=|a+3+bi|,即(a-1)2+b2=(a+3)2+b2,解得a=-1,所以|z|=1+所以|z|有最小值为1,无最大值.(1)复数z=a+bi(a,b∈R),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数,则虚部b=0,与实部a无关;若z为虚数,则虚部b≠0,与实部a无关;若z为纯虚数,则a=0,且b≠0.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则复数的四则运算1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(z+i)等于(C)A.6-2i B.4-2iC.6+2i D.4+2i解析:因为z=2-i,所以z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.2.(2022·全国甲卷)若z=-1+3i,则zzA.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13解析:zzz-1=-1+33.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z等于(B)A.-1-32i B.-1+3C.-32+i D.-3解析:z=3+2i(1-i)(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的几何意义1.(2021·新高考Ⅱ卷)复数2-A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:2-i1-3i=(2-i)(2.(多选题)已知复数z1=2-A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z1D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上解析:由题意,复数z1=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以复数z1在复平面内对应的点是(-1,-1),位于第三象限,复数z1的虚部为-1,所以A,B正确;z13.已知复数z在复平面中对应的点(x,y)满足(x-1)2+y2=1,则|z-1|等于(B)A.0 B.1 C.2 D.2解析:由题意复数z对应的点在圆心为(1,0),半径为1的圆上,|z-1|表示复数对应的点到(1,0)的距离,也即圆上的点到圆心的距离,所以|z-1|=1.4.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

解析:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=3-a+(1-b)i,则|即a所以|z1-z2|2=(2a-3)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(3a+b)+4=4×4-4×2+4=12,所以|z1-z2|=23.答案:23(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ→(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.[例1]若复数z满足z(1+A.i B.-i C.1 D.-1解析:因为z(所以z(1+i)(-i)=(2-i)(1-i),所以z(1-i)=(2-i)(1-i),所以z=2-i,所以z=2+i,所以z的虚部为1.故选C.[例2](2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|等于()A.0 B.1 C.2 D.2解析:因为z=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D.[例3]设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:因为x,y是实数,所以(1-i)x=x-xi=1+yi,所以x=1所以x+yi在复平面内所对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选D.[例4]若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-1,+∞)解析:因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),又此点在第二象限,所以a+[选题明细表]知识点、方法题号复数的有关概念1,2,3,12复数的四则运算5,6,8,9,13,14复数的几何意义4,7,10,11,151.已知a∈R,i是虚数单位,若复数z=a2-1+(a+1)i为纯虚数,则a等于(D)A.0 B.1或-1 C.-1 D.1解析:由题意a即a=1.2.(2023·广东广州模拟)已知(2+i)z=1-3i,则复数z的虚部是(D)A.-15 B.-75C.75 D.-解析:由题意得z=1-3i2+i=(1-3.(2022·湖南郴州月考)若复数z的共轭复数z满足(2-i)z=i(i为虚数单位),则|z|等于(A)A.55 B.5 C.33 解析:由题意,z=i2-i=i(2+i)(因此|z|=(-154.(2022·山东日照期中)已知复数z=2i1A.z在复平面内对应的点位于第三象限B.z的虚部是iC.z=1+i(z是复数z的共轭复数)D.|z|=2解析:z=2i(z=-1-i,|z|=1+1=5.(2021·全国乙卷)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z等于(C)A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.6.(2022·重庆二诊)复数z在复平面内对应的点的坐标为(-3,4),i为虚数单位,则z1A.-12+12i B.-12C.-72+12i D.72解析:由题意z=-3+4i,所以z1-i=-3+4i1-i7.(2022·江西上饶联考)已知复数z=21+i-3i3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:z=21+i-3i3=2所以z在复平面内对应的点位于第四象限.8.(2022·辽宁鞍山二模)已知i为虚数单位,则3+i1解析:3+i1-i答案:1+2i9.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且z1-i=3+2i,则a=解析:由题意,z=(3+2i)(1-i)=5-i,故z=5+i,故a=5,b=1.答案:5110.(2023·山东潍坊模拟)已知复数z满足z+3=4z+5i,则在复平面内复数z对应的点在(A)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,由z+3=4z+5i,得a+3+bi=4a+(5-4b)i,则a+3=4a则在复平面内z对应的点(1,1)位于第一象限.11.已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应点的轨迹为(A)A.直线 B.线段C.圆 D.等腰三角形解析:设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知,|z-1|表示复平面内点P(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内点P(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点P(x,y)到A,B两点间的距离相等,所以点P(x,y)在线段AB的垂直平分线上,所以在复平面上z对应点的轨迹为直线.12.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(D)A.若|z1-z2|=0,则z1=B.若z1=z2,则z1C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·D.若|z1|=|z2|,则z12解析:A中,|z1-z2|=0,则z1=z2,故z1=z2,成立.B中,z1=z2,则z1=z2成立.C中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即z1·z1=z2·z2,C正确.D不一定成立,如z1=1+3i,z2=2,则|z1|=2=|z2|,但z12=-2+213.已知复数z=3+i(1-3i)解析:由z=3+i-2(1+得z=-34-1所以zz=(-34+14i)(-34=316+116=答案:114.已知a∈R,若1+ai2-i为实数,则a=解析:1+ai2-i=(1+a因为1+a所以1+2a5=0,所以a=-所以|1+ai2答案:-1215.在①|z|=2,且z2的虚部是2;②z=(1-i)2+3(已知i为虚数单位,复数z满足,设z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.

解:选①.设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=