九年级（上）期末数学试卷 (二)

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个

选项中，只有一项正确）

L（3分）下列方程中没有实数根的是（）

A.X2-2x+2=0B.x2-4x+4=0C.X(x-2)=0D.(x-1)2=3

2.（3分）矩形、菱形都具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等

3.（3分）已知反比例函数经过点A（3,2）、B（-1,m）,则m的值

X

为（）

A.-6B.上C.2D.6

33

4.（3分）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻，阳光

下旗杆的影长是15m,则旗杆高为（）

A.14米B.16米C.18米D.20米

5.（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2

张卡片，分别标有数字1、2,从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意

摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（）

A.1B.1C.1D.1

4324

6.（3分）如图，D为AABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△

ABC^ABDC的是（）

DC

----------------“B

A.BC2=AC.CDB.空侬C.ZABC=ZBDCD.ZA=ZCBD

ACBC

7.（3分）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示,

这样的几何体最少需要正方体个数为a,最多需要正方体个数为b,则

a+b的值为（）

主视图俯视图

A.14B.15C.16D.17

8.（3分）已知义IE是一元二次方程X?-x+m=O的一个根，则方程的另

2

外一根为（）

A一］BC］一~/^D~~3

"2'2'2'2

9.（3分）国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵

爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边

形ABCD与EFGH均为正方形，若AG=BH=CE=DF=a,AF=BG=CH=DE

=b,且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的

10.（3分）如图，已知E,F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF

与DE交于点M,则下列结论：①AFJ_DE；②AE=EG；③AM=2MF；（4）

3

也反1」.其中正确的结论有（）

SAADM4

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.（4分）已知包工，那么生也=______.

b2a-b

12.（4分）矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,ZACB=40°,贝lj/

A0B=°.

13.（4分）一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个

黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜

色并放回，实验数据如下表：

实验次数100200300400

摸出红球78161238321

则袋中原有红色小球的个数约为个.

14.（4分）如图，反比例函数yi=£L和正比例函数y2=kzx的图象都经过

X

点A（-l,2）,若y1>y2,则x的取值范围是.

15.（4分）已知2x2-3x-2=0.则*2+工=

2--------------

x

16.（4分）如图，菱形ABCD边长为4,ZB=60°,DE=1AD,BF=1BC,

44

连接EF交菱形的对角线AC于点0,则图中阴影部分面积等于

17.（4分）如图，AABCAB=AC,A（0,8）,C（6,0）,D为射线AO

上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-D-C,点P在AD上的运

动速度是在CD上的5倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应

3

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

18.（6分）解方程：（x+3）（x-V3）=x-V3.

19.（6分）小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B

（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一

盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况.

（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为.

（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好

客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明.

20.(6分)如图，ZiABC中，ZACB=90°,CA=CB=班,D、E为AB

上两点，且NDCE=45°.

(1)求证：ZiACEsZiBDC；

(2)若AD=1,求DE的长.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21.（8分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=K的图象交

X

于C、D两点，与X、y轴分别交于B、A两点，CELx轴，且0B=4,

=3CE1

BE2

（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式.

（2）求△OCD的面积.

22.（8分）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国

产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售

40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件.

（1）售价为850元时，当天的销售量为多少件？

（2）如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，

问每件售价为多少元？

23.（8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD,小明上午上学

时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影

子恰好落在路灯CD的底部C处;晚自习放学时，站在上午同一个地方，

发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处.

（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示）.

（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，

他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高.

BD

AEC

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24.(10分)如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y=K的图象过AB

X

上一点E,BE=2,幽=3.

0E5

(1)求k的值.

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y=ax+b过点D及线

段AB的中点F,探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明.

(3)点P是直线OF上一点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标.

25.(10分)如图1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点P是对角线BD

上一点，连接AP,AEXAP,且星=工连接BE.

AE2

(1)当DP=2时，求BE的长.

(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能,请说明理由；如果可能，

求出此时四边形AEBP的面积.

(3)如图2,作AQLPE,垂足为Q,当点P从点D运动到点B时，直

接写出点Q运动的距离.

图1图2

-广东省佛山市南海区九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个

选项中，只有一项正确)

L(3分)下列方程中没有实数根的是()

A.X2-2x+2=0B.x2-4x+4=0C.x(x-2)=0D.(x-1)2=3

【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的

意义判断各方程根的情况即可.

【解答】解：A.A=(-2)2-4X2=-4<0,则方程没有实数解，

所以A选项符合题意；

B.A=(TV-4X4=0,则方程有两个相等的实数解，所以B选项

不符合题意；

C.方程化为X2-2X=0,A=(-2)2-4X0=4>0,则方程有两个不

相等的实数解，所以C选项不符合题意；

D.方程化为X2-2x-2=0,A=(-2)2-4X(-2)=12>0,则方

程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

的根与A=b?-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实

数根；当八=0时，方程有两个相等的实数根；当AV0时，方程无实

数根.

2.(3分)矩形、菱形都具有的性质是()

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等

【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解.

【解答】解：二.菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且

相等，

，矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决

问题是解题的关键.

3.(3分)已知反比例函数丫工经过点A(3,2)、B(-1,m),则m的值

x

为()

A.-6B.J.C.2D.6

33

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案.

【解答】解：.••反比例函数y上经过点A(3,2),

X

Ak=3X2=6,

•，.y=旦，

X

将点B(-bm)代入反比例函数解析式得：

m=-6,

故选：A.

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确同一反

比例函数图象上的点的坐标符合k=的小刚在阳光下的影长是1.2m,

在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m,则旗杆高为（）

A.14米B.16米C.18米D.20米

【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算.

【解答】解：根据题意可得：设旗杆高为xm.

根据在同一时刻身高与影长成比例可得：工旦=工，

1.215

故x=20.

答：旗杆高为20米，

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似

三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆

的高度，体现了方程的思想.

5.（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2

张卡片，分别标有数字1、2,从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意

摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（）

A.1B.1C.1D.1

4324

【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇

数的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

12

AA

1212

和2334

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，

•••两次摸出的数字之和为奇数的概率为2=1,

42

故选：C.

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏

的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还

要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

6.（3分）如图，D为AABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△

ABC^ABDC的是（）

A

A.BC2=AC*CDB.空典C.ZABC=ZBDCD.ZA=ZCBD

ACBC

【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解.

【解答】解：•「BC2=AC・CD,

•BCCD

**AC=BC，

又•.•NC=NC,

.,.△ABC^ABDC,故选A不合题意,

VZABC=ZBDC,ZC=ZC,

.-.△ABC^ABDC,故选C不合题意,

VZA=ZCBD,ZC=ZC,

.-.△ABC^ABDC,故选D不合题意,

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关

键.

7.（3分）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示,

这样的几何体最少需要正方体个数为a,最多需要正方体个数为b,则

a+b的值为（）

主视图俯视图

A.14B.15C.16D.17

【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图

可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.

【解答】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，

由主视图可得第一列和第三列最少有2个正方体，最多有4个正方体,

那么最少需要5+2=7个正方体，即a=7.

最多需要5+4=9个正方体，即b=9.

则a+b=7+9=16.

故选：C.

【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现

了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图

疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

8.（3分）已知近上!是一元二次方程X?-x+m=O的一个根，则方程的另

2

外一根为（）

A娓一］Bc卜遥Da-3

'2'2'2'2

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代

入求出另一根即可.

【解答】解：:返堂■是一元二次方程x2-x+m=O的一个根，另一根设

2

为a,

.•.a+>+l=1,

2_

解得：a=1-疾+1，即a=1-娓.

22

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程

的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.

9.（3分）国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵

爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边

形ABCD与EFGH均为正方形，若AG=BH=CE=DF=a,AF=BG=CH=DE

=b,且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的

值为（）

D

4

A.2-V§B.V2C.2D.2W3

【分析】根据题意可得正方形EFGH的面积为(a-b)2,正方形ABCD

的面积为(a2+b2),然后列出方程求解即可.

【角军答】解：VAG=BH=CE=DF=a,AF=BG=CH=DE=b,

...正方形EFGH的面积为(a-b)2,正方形ABCD的面积为(a2+b2),

•.•正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，

(a-b)2=A(a2+b2),

2

.*.a2-4ab+b2=0,

.•.包-4+电=0,

ba

设包=x,

b

Ax-4+1=0,

X

.*.x2-4x+l=0,

解得Xi=2+F，X2=2-

Va>b>0,

A>1,

b

•'•a：b的值为2+为.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程,

解决本题的关键是掌握勾股定理.

10.(3分)如图，已知E,F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF

与DE交于点M,则下列结论：①AFLDE；②AE=EG；③AM=2MF；(4)

3

,△国」其中正确的结论有()

SAADM4

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】先由E,F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE

=BF、ZDAE=ZABF=90°、AD=AB,从而得证△DAE^Z\ABF,进而利

用全等三角形的性质得到NBAM+NAEM=90°判定①;过点E作EH//AF,

由点E是AB的中点得到点H是BG的中点，然后由NBGAW90。得证BE

==

WEG判定②；由BFAEBE得至UAF=V^BF=A/^AE,然后证明△AEM

s2\AFB,进而利用相似三角形的性质得到AM=2MF判定③；先证明△

3

AEM^ADAM,然后利用AD=2AE得到包磔」判定④.

SAADM4

【解答】解：二任，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，

.,.AE=BE=BF,ZDAE=ZABF=90°,AD=AB,

AADAE^AABF(SAS),

.*.ZBAF=ZADE,

VZADE+ZAED=90°，

.*.ZBAM+ZAEM=90o,

.,.ZAME=90°,故①正确，符合题意；

如图，过点E作EH〃AF,则NEHB=NAGB：ZGMD+ZMDG>90°,

•.•点E是AB的中点,

•••点H是BG的中点，

AEHB与AEHG不全等，

••.BEWEG,故②错误，不符合题意；

VBF=AE=BE,AB=2AE,

AF=V^BF=V5AE,

VZEAM+ZAEM=90°,ZBAF+ZAFB=90°

.*.ZAEM=ZAFB,

VZAME=ZABF=90°,

.•.△AEM^AAFB,

AAM_AE^EM；即AM二AE,

AB-AF-BFJ2AEAE

Z.AM=2V1AE,

5_

.,.MF=AF-AM=VBAE-W5_W5_,

5AE=5AE

.\AM=2MF,故③正确，符合题意；

3

VZAEM+ZEAM=90°,ZEAM+ZDAM=90°

.\ZAEM=ZDAM,

VZEMA=ZAMD=90°,

.△AEM^ADAM,

S2

r.AAEM=(AE)2=(I)=1,故④正确，符合题意;

S/kADM知24

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是过点E作EH〃AF交BD

于点H判定AEWEG.

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.（4分）已知包萼，那么空也=5.

b2a-b

【分析】根据比例设a=3k,b=2k,然后代入比例式进行计算即可得

解.

【解答】解：二.包=3,

b2

.,.设a=3k,b=2k,

则a+b=3k+2k=5.

a-b3k-2k

故答案为：5.

【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便.

12.（4分）矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,ZACB=40°,则N

A0B=800.

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得0B=0C,再根据等边

对等角可得NOBC=NACB,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和列式计算即可得解.

【解答】解：•..矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,

.*.0B=0C,

.*.Z0BC=ZACB=40o，

：.ZAOB=Z0BC+ZACB=40°+40°=80°.

故答案为：80.

【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.

13.（4分）一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个

黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜

色并放回，实验数据如下表：

实验次数100200300400

摸出红球78161238321

则袋中原有红色小球的个数约为40个.

【分析】根据图表求出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x,根

据概率公式列出算式，然后求解即可

【解答】解：由图表可得摸到红球概率为生

5

设袋中原有红色小球的个数为X,则与_=生

x+105

解得：x=40,

经检验x=40是原方程的解，

答：袋中原有红色小球的个数约为40个.

故答案为：40.

【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率

稳定值即概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.（4分）如图，反比例函数yi=£L和正比例函数y2=k2x的图象都经过

X

点A（-1,2）,若yi>y2,则x的取值范围是或x〉l.

【分析】易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例

函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值

都大于正比例函数的值即可.

【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关

于原点对称，可得另一交点坐标为（1,-2）,

由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标

时反比例函数的值都大于正比例函数的值；

贝Ij-l<x<0或x>l.

故答案为：-1<XV0或x>L

【点评】考查一次函数和反比例函数的交点问题；正比例函数和反比例

函数的交点关于原点对称是本题的关键.

15.（4分）已知2x2-3x-2=0.则x2+」_=J7.

x2—4一

【分析】等式两边都除以2x,得x-工=反，等式两边平方，再去括号，

x2

移项合并同类项就可得出结果.

【解答】解：•••2X2-3X-2=0,

•x-1=3

X2

•t1、2=9

••yr

X2-2+J-=2,

x24

x24

故答案为：—.

4

【点评】本题考查了分式的加减法，掌握等式的性质，把2x2-3x-2

=0化为x-工=旦形式是解题的关键.

X2

16.（4分）如图，菱形ABCD边长为4,ZB=60°,DE=1AD,BF=1BC,

44

连接EF交菱形的对角线AC于点0,则图中阴影部分面积等于_遂—

【分析】由菱形的性质可得AD=CD,AD〃BC,ZABC=ZADC=60°,

由“AAS”可证△AEOZ/iCFO,可得AO=CO,由面积的和差关系可求解.

【解答】解：连接CE,

•..四边形ABCD是菱形，

，AD=CD,AD/7BC,ZABC=ZADC=60°,

「.△ADC是等边三角形，ZDAC=ZACB,

2

SAADC=ilxAD=4V3，

4

VDE=1AD,BF=1BC,

44

，AE=CF,

在△AEO和△CFO中，

'NA0E=NC0F

，ZEAC=ZBCA»

AE=CF

...△AEO名△CFO(AAS),

AAO=CO,

VDE=1AD,

4

••SACDE=—SAADC=百，SAACE=3后

4

VA0=C0,

SAADE=SACOE=3"Q,

2

••・阴影部分面积=4a-芭应=切3

22

故答案为：包区.

2

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

17.（4分）如图，AABCAB=AC,A（0,8）,C（6,0）,D为射线AO

上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-D-C,点P在AD上的运

动速度是在CD上的9倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为

3

【分析】过B点作BHLAC交于H点，交A0于D点，连接CD,设P点

的运动时间为t,在CD上的运动速度为v,t=L（毁+CD）,只需毁+CD

v_5_

最小即可，再证明△ADHS^ACO,可得DH=毁，则当B、D、H点三点

5

7

共线时，此时t有最小值，再由△BDOsaADH,求出0D即可求坐标.

【解答】解：过B点作BHJ_AC交于H点，交A0于D点，连接CD,

VAB=AC,

.,.BD=CD,

设P点的运动时间为t,在CD上的运动速度为v,

•.•点P在AD上的运动速度是在CD上的9倍，

3

.•.=AD_CD=I（ADD）,

T5+gu5+C

7VT

VZAHD=ZA0C=90°,

AAADH^AACO,

•••-A--D=-D-H-,

ACCO

VA(0,8),C(6,0),

.*.OC=6,0A=8,

.,.AC=10,

AD=D6H

lo-

DH-

A5D

3

：.t=l(DH+CD),

V

当B、D、H点三点共线时，t=lXBH,此时t有最小值,

V

VZBDO=ZADH,

.*.ZDB0=Z0AC,

.,.△BDO^AADH,

•••D-O=-0-C,川即~-D-O-=—6,

BOAO68

.•.DO=9,

2

AD(0,9),

2

故答案为：(0,1).

2

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡

不归求最短距离的方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

18.（6分）解方程：（x+3）（x-V3）=x-V3.

【分析】先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解.

【解答】解：（x+3）（x-愿）-（x-F）=0，

（x-V3）［（x+3）-11=0.

即（x-Vs）（x+2）=0.

x-V3=0或x+2=0.

,,xj=V3J*2=-2.

【点评】本题考查了解一兀二次方程，掌握解一兀二次方程的因式分解

法是解决本题的关键.

19.（6分）小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B

（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一

盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况.

（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为1.

—3—

（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好

客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明.

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮

的等可能结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：⑴1,

3

故答案为：—;

3

(2)画树状图如下:

开始

共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2

种：BC、CB,

，正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率=2」.

63

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏

的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还

要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

20.(6分)如图，ZiABC中，ZACB=90°，CA=CB=W5，D、E为AB

上两点，且NDCE=45

(1)求证：△ACEs/XBDC；

(2)若AD=1,求DE的长.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出NA=NB,可证明aACEs

ABDC；

（2）由勾股定理求出AB=4,由相似三角形的性质得出£3,可求

BDBC

出DE的长，则可得出答案.

【解答】（1）证明：•.•NACB=90°,CA=CB,

•*-ZA=ZB=y（180°-90°）=45。，

XVZCDB=ZA+ZACD=45°+ZACD=ZACE,

AACE^ABDC；

（2）解：由勾股定理得AB=4（）?+（2V^）2=4，

设DE长为x,

VAD=L

.\BD=3,AE=l+x,

VAACE^ABDC,

•ACAE

*"BD=BC，

即晅上

3272

解得x=5,

3

即DE=

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，

勾股定理，证明△ACEs^BDC是解题的关键.

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

21.(8分)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=K的图象交

X

于C、D两点，与X、y轴分别交于B、A两点，CELx轴，且0B=4,

CE=3,出」.

BE2

(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式.

(2)求△OCD的面积.

【分析】(1)根据已知条件求出B、C点坐标，用待定系数法求出直线

AB和反比例函数的解析式；

(2)由一次函数解析式求得A的坐标，然后联立一次函数的解析式和

反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解

【解答】解：(1);①。，CE=3,

BE2

.*.BE=2CE=6,

VOB=4

.*.OE=BE-0B=2,

AC(-2,3),B(4,0)

将C(-2,3)代入得：k=-2X3=-6；

X

z_f_1

将C(-2,3),B(4,0)代入y=ax+b得「2na+b=o3,解得卜=3,

l4a+b=0|b=2

J一次函数的解析式为y=-lx+2,反比例函数的解析式为y=_1；

(2)y=-^-x+2

AA(0,2)

'_1

y二万x+2f=-2fXo=6

由2,解得X11,2,

y=mM=3ly2=-i

X

VC(-2,3)

AD(6,7),

ACOD=ABOD+^ABOC而又4X1+yX4X3=8-

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数

与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

22.(8分)为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国

产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售

40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件.

(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？

(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，

问每件售价为多少元？

【分析】(1)降低50元增加10件，可知若想每天出售850件，降低(1000

-850):50元，进而即可列出算式求解.

(2)利润=售价-进价,根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，

列出方程求解即可.

【解答】解：(1)40+(1000-850)4-50X10=70(件).

答：售价为850元时，当天的销售量为70件；

(2)方法一：设每件服装售价x元，

(x-500)X[(40+1P.(1000-x)]=40X(1000-500)+4000,

50

化简得X?-1700x+7200=0,

解得：Xi=800,X2=900,

使顾客得到尽可能大的实惠，

.*.x=800.

方法二：设每件服装降价x元.

(1000-500-x)X(40+1P.X)=40X(1000-500)+4000,

50

解得：X1=100,X2=200,

.二使顾客得到尽可能大的实惠，

.*.x=200,

1000-200=800(元).

答：每件应定价800元.

【点评】考查了一元二次方程的应用，掌握利润=售价-进价，根据一

件商品的利润乘以销售量=总利润列出方程是解决问题的关键.

23.（8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD,小明上午上学

时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影

子恰好落在路灯CD的底部C处;晚自习放学时，站在上午同一个地方，

发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处.

（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示）.

（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，

他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高.

BD

AEC

【分析】（1）作出太阳光线BE,过点C作BE的平行线，与DE的交点

即为小明的位置；

（2）易得小明的影长，利用△EFGs/XEDC可得路灯CD的长度.

【解答】解：（1）如图，FG就是所求作的线段.

（BE、DE、CF、FG每条线1分）

（2）•.•上午上学时，高1米的木棒的影子为2米,

，CG=2FG=3,

•.•FG〃CD,

.*.ZEFG=ZD,ZEGF=ZECD,

.,.AEFG^AEDC,

•FGEG

"CD=EC，

•.占上，

CD5

解得CD=3.75,

一路灯高3.75米.

【点评】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线

是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长

是成比例的；两三角形相似，对应边成比例.

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24.（10分）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y=K的图象过AB

X

上一点E,BE=2,旭=3.

OE5

（1）求k的值.

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y=ax+b过点D及线

段AB的中点F,探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明.

（3）点P是直线OF上一点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标.

【分析】（1）设AE=3x,则0E=5x,由勾股定理得A0=4x,则3x+2

=4x,求出x即可求点E坐标为(6,8),再由E点坐标即可求k值;

(2)求出D(8,6),证明△AOFs^BFD,贝l]NAOF=/BFD,可得NOFD

=180°-(ZAFO+ZBFD)=90°,即可得至UOF_LDF；

(3)延长DF交y轴于点G,连接CG交OF于点P,则点P为所求作点，

证明△AFGZZXBFD(AAS),得到OF为线段DG的垂直平分线，C(8,0),

G(0,10),求出直线CG解析式为y=-Sx+10,直线OF为y=2x,联

4

^y=2x

立5，即可求点P的坐标为&，地).

y=-^x+10k1313;

【解答】(1)证明：•••四边形OABC是正方形，

.*.AO=AB,Z0AB=90°,

••AE3

•0E=5,

设AE=3x,则OE=5x,由勾股定理得A0=4x,

.•.3x+2=4x,

，x=2,

/.AE=3x=6,A0=4x=8,

•••点E坐标为(6,8),

.*.k=6X8=48；

(2)OF±DF,理由如下:

将x=8代入y冷得y=6,

X

AD(8,6)

.*.BD=BC-CD=8-6=2

•••点F是线段AB的中点,

.,.AF=BF=4,

•.,空小型，Z0AF=ZFBD=90°

AO2BF

AAOF^ABFD,

ZAOF=ZBFD,

ZAFO+ZBFD=ZAF0+ZA0F=90°,

.*.Z0FD=180o-(ZAFO+ZBFD)=90°,

.,.OF±DF；

(3)延长DF交