江苏省南京高二年级下册期中数学试题（含答案）

江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期

中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.口+:1的二项展开式中的常数项为()

A.20B.15C.10D.5

2.随机变量X的分布列如表：其中。，b,。成等差数列，则尸([X|=1)=()

X-101

Pabc

3.已知随机变量X满足E(l-X)=5,D(l-X)=5,则下列说法正确的是()

A.E(X)=-5,D(X)=5

B.E(X)=-4,D(X)=5

C.E(X)=-5,D(X)=-5

D.E(X)=-4,D(X)=-4

4.已知某年的FRM(金融风险管理)一级测试成绩X服从正态分布N(45,32),则54

分以上的成绩所占的百分比约为()(附：P(〃-2b<X<〃+2b)”95.4%,

尸(〃-3cr<X<〃+3b)=99.7%)

A.2.38%B.1.35%C.0.26%D.0.15%

5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合

格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是

()

A.0.63B.0.24C.0.87D.0.21

6.如图，在三棱柱/3。-/血£中，侧棱垂直于底面，AB1BC,AB=BC,AC=2.42,

“4=啦，点K为4。的中点，点厂在2C的延长线上且丽=；前，则异面直线BE

与G尸所成角的余弦值为()

试卷第1页，共6页

7.如图，在三棱柱4BC///G中，2G与SC相交于点O,44B=44C=60°,/-BAC=

90°,AjA=3,AB=AC=2,则线段/。的长度为（）

8.西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教,若要求

女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有

A.36种B.68种C.104种D.110种

二、多选题

9.2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行

调查，5家商场的售价x（元）和销售量»（件）之间的一组数据如表所示：

售价X99.51010.511

销售量y1110865

根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是？=-3.2x+4,则下列说法正确的有

（）

A.0=40B.回归直线过点（10,8）

C.当x=8.5时，y的估计值为12.8D.点（10.5,6）处的随机误差为0.4

试卷第2页，共6页

52345

10.（1-2x）=a0+axx+（22x+a3x+a4x+a5x,则下列结论中正确的是

A.%=1B.q+%+%+%+%=2

C.Q0_Q]+_%+Q4_Q5=3，D.旬一|。1|+〃2一|。31+。4一|。5]=一]

11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（）

3

A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率为y

40

B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为正

C.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，

2

第二次再次取到红球的概率为]

D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为If

12.已知图1中，A、B、C、。是正方形EFGH各边的中点，分别沿着48、BC、

CD、D4把△NBF、ABCG、ACDH、AD/E向上折起，使得每个三角形所在的平面

都与平面/BCD垂直，再顺次连接斯G8,得到一个如图2所示的多面体，则（）

A.△/斯是正三角形

B.平面平面CG8

C.直线CG与平面/£尸所成角的正切值为行

Q

D.当/8=2时，多面体4BCD-E尸G8的体积为§

三、填空题

13.-2C；+2?-2c+24C,-25C；+26Cf-27C；=

14.是正四棱锥，48CD-481GA是正方体，其中48=2,PA=46,则名

到平面PAD的距离为

试卷第3页，共6页

p

15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部

分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不

同的涂色方案有种.（用数字作答）.

16.将字母a,a,b,b,c,c放入3x2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行

的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为;若共有左行字母相同，

则得左分，则所得分数J的均值为.

四、解答题

17.为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校

高二年级调查了55名学生，结果如下：

（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例（用百分数表示,

保留两位有效数字）

（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？

18.从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4x100米接力赛，在下列条件下，各有多少

种不同的排法？

（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒;

（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.

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19.已知E,尸分别是正方体/8CD-44GD1的棱3C和CD的中点.

⑴求其。与EF所成角的大小；

⑵求&E与平面B.FB所成角的余弦值.

20.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提

供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级

的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,

4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每

天学习时间达到5小时及以上的学生人数;

(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学

生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

21.如图，在三棱柱中，底面/8C是边长为2的正三角形，侧面NCQ4

是菱形，平面平面A8C,E,尸分别是棱4G，8c的中点，G是棱CG上

一点，MQG=2GC.

试卷第5页，共6页

(1)证明：EF〃平面/8耳4；

⑵从①三棱锥G-/8C的体积为1；②GC与底面N5C所成的角为60。；③异面直线

BB、与AE所成的角为30。这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A-EG-F的余

弦值.

22.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方

案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%

以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.

武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50

个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分

布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：

垃圾[12.5,[15.5,[18.5,[21.5,[24.5,[27.5,[30.5,

量X15.5)18.5)21.5)24.5)27.5)30.5)33.5]

频数56912864

(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值嚏(精确到0.1)；

(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(M,

W),其中u近似为(1)中的样本平均值，/近似为样本方差一,经计算得s=52请

利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.

(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市

政府决定对这8个，超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个，超标”社区中任

取5个先进行跟踪调查，设丫为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y

的分布列与数学期望.

(参考数据：P(M-o<A^n+o)M.6827；P(p.-2o<J^p.+2o)«0.9545；P(p,-30V

Wpi+3c)=0.9974)

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参考答案:

1.A

【分析】化简得到展开式的通项为4+i=玛・％6“，令尸=3,即可求得展开式的常数项.

【详解】由题意，二项式+展开式的通项为7川=或76。6)'=以72，

令r=3,可得展开式的常数项为看=或=20.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是

解答的关键，着重考查了计算能力.

2.D

【分析】由。，b,c成等差数列得到。，b,。的关系，再根据随机变量分布列的性质得到

a,b,c的和为1,进而求出a+c,最后根据题意得到答案.

【详解】因为。，b,。成等差数列，所以6=胃，根据随机变量分布列的性质：a+b+c^i,

所以3("+c)=i=°+c=2,所以尸([X|=1)=尸(X=l)+尸(X=-l)=：.

233

故选：D.

3.B

【分析】利用均值和方差的性质求解.

【详解】因为E(aX+6)=aE(X)+6,

所以E(1-X)=E(-X+1)=-£(X)+1=5,

所以E(X)=-4.

因为。(0¥+6)=/。(入)，

所以。(1一X)=D(-X+1)=(-1)2D(X)=5,

所以现X)=5.

故选：B.

4.D

【分析】根据题意，先求出P(45-3X3<X<45+3X3),进而根据正态分布的对称性求得答

案.

【详解】因为X服从正态分布"卜5,3),所以P(45-3x3<X<45+3x3”99.7%,即

答案第1页，共16页

P(36<X<54)。99.7%,所以P(X>54)»1(1-99.7%)=0.15%.

故选：D.

5.C

【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可.

【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件买到的灯泡是乙

厂产品为事件5,则由题可知尸(/)=0.7,尸⑻=0.3,

从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C,

从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件。，

则由题可知尸(0=0.9,­0=0.8,

由题可知/、B、C、。互相独立，

故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：

+尸(8D)=尸(/)P(0+P(8)尸(0=0.7x0.9+0.3x0.8=0.87.

故选：C.

6.D

【分析】以2为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

厉£.C尸|

标系，利用向量法，根据卜5赤，于卜树高即可求出答案.

【详解】在三棱柱NBC-44G中，因为侧棱垂直于底面，且/8/8C,

所以以5为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系.

由=AC=2亚,AA、=也,得AB=BC=2,

所以3（0,0,0）,C（2,0,0）,4（0,2,V2）,。（2,0亚），E（l,l,行）.

答案第2页，共16页

—•1——一.1(1、

由C尸=：BC,得C尸=:(2,0,0)=彳,0,0,

44UJ

所以C/=GC+CF=(0,0,->72)+^—,0,0^=,0,-V2^j,BE=(1,1,V2),

所以异面直线BE与G尸所成角的余弦值为

\BE-C^\

故选：D.

7.A

【解析】用»表-*示»出右\，计算房2/，开方得出/。的长度.

【详解】因为四边形8CG4是平行四边形，

..的=;西=:回+函),

:.AO=AB+W=AB+-BC+-AA.=-AC+-AB+-AA

2212221I

•・•/A、AB=AAXAC=60°,ABAC=90°,A,A=3,AB=AC=29

------»2►2-------►2------*，

AAB=AC=4㈤=9,ABAC=0,

疝怒=就石=3x2xcos60°=3,

2

AO=^(AB+AC+AAl^,

+AC+AA.+2AB-AC+2AB-AAi+2AC-AAij

29

-T

即/。=叵.

2

故选:A

8.C

【详解】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C；-1)/；68种;第二类

有（C；-C；）•/；=36种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.

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考点：排列组合的综合应用.

9.ABC

【分析】先算出样本中心点，进而求出6,即可判断A,B；然后将x=8.5代入回归直线方程

可以判断C；最后将x=10.5代入回归方程算出》，进而算出随机误差判断D.

【详解】由题意可知于=；(9+9.5+1+10.5+11)=10,j=1(ll+10+8+6+5)=8,故回归直

线过点(10,8),且8=-3.2xl0+<5=a=40,故A,B正确.当x=8.5时，

^=-3.2x8.5+40=12.8,故C正确.点(10.5,6)处的随机误差为

6-(-3.2x10.5+40)=-0.4,故D不正确.

故选：ABC.

10.ACD

【分析】根据赋值法，分别令x=0,x=l,x=-l,可判断ABC；根据二项展开式的通项

公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D选项.

52345

［详解)因为(1一2x)=%+axx+6Z2X+a3x+a4x+a5x,

令x=0,则为=15=1,故A正确；

52345

令x=1代入(1-2x)=4+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,

得—1=旬+q+〃2+“3+。4+。5,所以为+Q?+牝+%+%=-1--2,故B错；

52345

令x=—1代入(1-2x)=%+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,

得3,=%―%+4-%%-牝,故C正确；

因为二项式(1-2x)’的展开式的第r+l项为加=G(-2XV,

所以当「为奇数时，《(-2y为负数；即q<0(其中i为奇数)，

所以-+。2—1%|+一|%|=+。1+。2+。3+。4+。5=-1；故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属

于常考题型.

11.AD

【分析】利用古典概型的概率公式判断A选项，利用二项分布判断B、D选项，利用条件

答案第4页，共16页

概率判断C选项.

【详解】解：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，

对于A：恰有1个白球的概率为尸=与3=等=|,故A正确.

对于B：6次试验中取到白球的次数X服从二项分布，即X〜8（6，!）,所以

P（^=2）=C<（1）2-（1-1）4=^,故B错误.

3

对于C：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为不，故C错误.

对于D：3次试验中取到红球的次数y服从二项分布，即y〜2（3,g）,所以

p（y>i）=i-p（y=o）=i-（i-|）3=||,故D正确.

故选：AD.

12.AC

【分析】取C。、48的中点。、M,连接OH、OM,证明出年，平面48CD,然后以点

。为坐标原点，OM、0C,。H所在直线分别为X、了、z轴建立空间直角坐标系，求出

\EF\,可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公

式可判断D选项的正误.

【详解】取C。、4B的中点。、M,连接OH、OM,

在图1中，-.-A,B、C、。是正方形EFG”各边的中点，则CH=gGH=MEH=DH,

・・・。为CD的中点，

CDH1ABCD,平面Pl平面4BCD=CD,OHu平面CD”,

：.OH±平面ABCD,

在图1中，设正方形EFGH的边长为2应“a>0）,可得四边形的边长为2。，

在图1中，△4DE和下均为等腰直角三角形，可得NB/尸=/£>/£=45。，

.•.4/0=90。，.•.四边形48CD是边长为2a的正方形，

・•・。、M分别为C。、N8的中点，则OC〃8M且OC=8M,且NOC8=90°,

所以，四边形0cBM为矩形，所以，OMICD,

以点O为坐标原点，OM、0C、耽所在直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2a,—a,0）、5（2。,。,0）、C（0,〃,0）、D（0,-6Z,0）、E（^a,-a,a）、T7。。,。,。）、

答案第5页，共16页

G（〃,a,a）、//（0,0,6Z）,

对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得|/阂=\AF\=\EF\=42a,

所以，△/即是正三角形，A选项正确；

对于B选项，设平面4E尸的法向量为旭=(%,%*]),AE=(-a,O,a),AF=(0,a,a

m•AE=-ax+az=0

xx，取Z]=1,则玉=1,乂=T,则加=（1,一1,1）,

m-AF=ayaz[=0

设平面CG7/的法向量为〃=(工2,歹2/2)，CG=(Q,O,a),CH=(O,-a,Q),

由,\:n-国CG一=g明++QZ,%==0。'-取可侍_"％=y1'%则i"=（/1TT、），

m-n=l2+(-l)2-lxl=1^0,所以，平面NEF与平面CGH不垂直，B选项错误;

cos<CG，…岂W=2a

对于C选项,

CG\-\m3'

设直线CG与平面4EF所成角为6,则sinO=—cos(9=Vl-sin20=—,

33

所以，tane=9g=亚，C选项正确；

cos6*

对于D选项，以4BCZ)为底面，以|。刃为高将几何体4BC0-E尸G8补成长方体

ABCD-AMn，则£、F、G、〃分别为4。、的中点,

因为45=2,即〃=1,则=长方体48CD-4与。1。1的体积为/=xl=4,

VSAA

A-AXEF=\^EF-l=；x〈xFxl='，

3326

因此，多面体48cZ）-EFG77的体积为^ABCD-EFGH=忆-4%_4M=4-4x—=—,

63

答案第6页，共16页

D选项错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面

内的射影，即可确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度力，从而不必作出

线面角，则线面角。满足sin。=：(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设Z为直线/的方向向量，3为平面的法向量，

则线面角0的正弦值为sin6>=|cos<a,”.

13.-2

【分析】构造项后即可轻易看出该式符合二项式定理的展开式，利用二项式定理化

简后即可求解.

【详解】

-2Cj+22C^-23+2C-25C；+26Cf-27C；=C°(-2)°+C；(-2)1+(-2)2+C；(-2)3+C；(-2)4+C；(-2)5+C：

=口+(-2)了-1=2

故答案为：-2.

【分析】以4片为X轴，42为V轴，4/为2轴建立空间直角坐标系，求出平面尸的法

向量，4/的坐标，利用距离公式，即可得到结论.

【详解】解：以44为X轴，4。为了轴，4/为z轴建立空间直角坐标系，

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设平面PAD的法向量是加=(x,y,z),

AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),

[fn-AD=Of2j?=0

.•.由〈一一.,可得<cc

[m-AP=O[x+y+2z=0

取2=1得前=(一2,0,1),

•.•瓦5=(-2,0,2),

|g,，m|

.­■用到平面PAD的距离d=l=yV5.

|m|5

故答案为：述.

5

【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档

15.96

【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F,分析6个区域

的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.

【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F,如图所示：

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，

B、C、D、E、尸这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，

所以共有3x2x2x2x2x2=96种涂色方案.

故答案为：96

【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：

(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；

(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同

的涂色方法种数；

(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别

答案第8页，共16页

计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.

23

16.—；—/0.6.

155

【分析】运用排列中的倍缩法求出6个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列

的字母也互不相同时，分三列依次讨论6个字母的排列情况，进而求出概率分数可能取值

为0,1,3,进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最

后求出均值.

【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a,b,c三个字

母全排列，有A；种方法，第二列剩下的a,b,c三个字母的排列方法有A；种，所以共有

A；A；=12种排列方法，六个字母在3x2的表格中进行排列，共有=90种排列方法，

1220109以2?

所以所求概率为篙限.由题意知，分数看的可能取值为0,1,3,P(=1)=35"A2

9。15905

PC=3)="=L,PC=0)=l-PC=l)-PC=3)=l一二=三，所以所得分数g的均

901551515

Q24

值为矶自)=0xFix—+3x——=—.

155155

23

故答案为：

17.(1)55%；(2)有.

【分析】(1)根据表格即可计算百分比；

(2)根据列联表的数据求出K2,再和临界值表对照下结论.

【详解】(1)该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例的估计值为

20+1030

«55%.

5555

(2)55x(20x15-l°xlO『

«3.9b

30x25x30x25

因为3.911>3.841,所以有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与

性别有关.

18.(1)60；(2)480.

【分析】(1)先排甲、乙两人，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，分步乘法

计数原理，即得解；

(2)从甲、乙2人中选出1人，排在第一棒或第四棒，再从另外6人中选3人排在剩余的三

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个位置，根据分步乘法计数原理，即得解

【详解】（1）甲、乙2人必须跑中间两棒，则有A；种排法，余下的两个位置需要在剩余的6

人中选2人排列，有A：种排法，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为A；A；=60.

（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出1人，有C；

种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有C；种选法，另外6人中要选3人在剩余的三

个位置上排列，有A：种排法，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为C；C；A：=480.

19.（1）60°；

（2+

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角

的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，

进而结合线面角的范围即可求出结果；

【详解】（1）以AD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

4EC

设正方体/BCD-44CQ］的棱长为2a,则4(0,0,2a),Z)(0,2(z,0),E(2a,a,0),

F(a,2a,0),

所以丽=(0,2a,-2°),EF=(-a,a,0),设4。与访所成角的大小为",

答案第10页，共16页

AXDEF\2a

则cosa=cos(AREF

丽|网V4a2+4a2-^a2+a22

因为异面直线成角的范围是(0,901，所以4。与所所成角的大小为60°.

(2)设平面瓦£8的法向量为0=(%,%,z。)，与平面型吆所成角为A，X0,1

因为3(2”,0,0),乌(2a,0,2a),所以丽=(-a,2a,0),西=(0,0,2a),

所以［"普=°,令%=2,得需=(2,1,0)为平面8。的一个法向量，又因

=2az0=。

为A[E=(2a,a,-2a),

所以sinQ=cos(45%)=_.,J.=/2L/i—=T，

1、'h目.同Ja+4Q+4a.Jl+43

所以cos/=71-sin2/7=-.

20.(1)480；(2)分布列答案见解析，数学期望为：1.

【分析】(1)根据频率即可计算出；

(2)可知X可取的值为04,2,分别计算出概率，即可得出分布列，进而求出数学期望.

【详解】(1)根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人

数约为600x(0.500+0.250+0.050)=480；

(2)甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为40x0.050=2

乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为40x0.100=4,

从甲班抽到的学生人数X可取的值为0』,2,

1CXC23C2CX1

则尸(X=0)=甘=7*")=彳广=丁p(x=2)=-1”,

所以的分布列为:

【点睛】本题考查频率分布直方图的理解，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于

答案第11页，共16页

基础题.

21.（1）证明见解析

（八4后

53

【分析】（1）取4瓦的中点连接ME,MB,易证四边形ME/咕为平行四边形，从而有

EFHMB,故而得证；

（2）过点G作。于。，连接03,由平面/CG4,平面4BC,推出G。，平面

ABC.

选择条件①：先求得。。=1,可证O81.nC,故以。为原点，OB、0C、分别为x、

了、，轴建立空间直角坐标系，依次得平面/CG4和平面的法向量无与血再由

--OR.n-,

cos<OB,万>=1历川川，得解；选择条件②：易知“0。=60。，从而得OC=1,接下来同

①；选择条件③：易知4/E=30。，从而有NCCO=60。，接下来同②中.

【详解】（1）证明：取4区的中点加，连接ME,MB,因为E,尸分别是棱4G，3c的

中点，则MEHB\C\UBF,ME=；B、C、=gBC=BF,

.［四边形为平行四边形，

EFHMB,

•.・EFU平面ABBXAX,MBu平面ABBXAX,

/.EFH平面ABBXAX.

答案第12页，共16页

(2)解：在平面4CG中过点G作于O,连接05,

・平面4CC/1_L平面48C,平面4CC/1口平面48c=4。，

_L平面4BC,

选择条件①：

三棱锥G-/8C的体积展;yas.血=；yo[x2xG=i,；.GO=g,

在&加。℃中，OC="C；_C0=1,

.•.点。为/C的中点，

故以。为原点，OB、OC.OG分别为X、V、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则3(百,0,0),E(O,-1,VJ),F-,0,G0,—,

I227\55J

-：OBLAC,平面48Cc平面=/C,O5u平面4SC,

OB_L平面/CC/i，

平面/CG4即平面血的一个法向量为砺=(g,o,o),

答案第13页，共16页

n3

——x+—y~岳=0

n-EF=O22'

设平面£尸G的法向量为)=(x,y,z),则＜即

n-EG=O52后八

[33

显然二面角"EG-尸为锐二面角，故二面角/-EG-尸的余弦值为生恒.

53

选择条件②:

••・CC与底面所成的角为60。，；.“。。=60。，；.OC=1,

.,.点。为/C的中点，.•.O8L/C,

故以。为原点，OB、OC、OG分别为X、y、，轴建立如图所示的空间直角坐标系,

G102内

'G°TT

7

---OB±AC,平面48Cc平面NCC]4=NC,Offu平面4BC,

.^.。3_L平面/CG4，

平面ACQA,即平面血的一个法向量为丽=(V3,o,o),

——x+-y-也z=0

n-EF^O22

设平面石尸G的法向量为方=(x/,z),则即《

n-EG=O5273

—y-----z—0n

[33

cos(0B,n^=OBn4753

\OB\-\n\53

显然二面角N-EG-尸为锐二面角，故二面角/-EG-b的余弦值为勺匣.

53

选择条件③:

■：BBXHAAX,

N4/E即为异面直线BB、与NE所成的角，即ZAtAE=30。,

答案第14页，共16页

AAX-2,AXE=1,

:.ZAA1E=6009gpZC,CO=60°,OC=\,

故以。为原点，OB、OC、OG分别为X、了、？轴建立如图所示的空间直角坐标系,

G102⑻

，G叼5