2022-2023学年长沙市初三年级下册第一学段考数学试题含解析

2022-2023学年长沙市重点达标名校初三下学期第一学段考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）

Z~7

万刍

正面

A.-------------------------B.।।——

CRTHD+

2.不等式3x<2（x+2）的解是（）

A.x>2B.x<2C.x>4D.x<4

3.有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数.下面的数

据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）

A.+2B.-3C.+4D.-1

4.下列命题中，错误的是（）

A.三角形的两边之和大于第三边

B.三角形的外角和等于360。

C.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分

5.“a是实数，⑶冽”这一事件是（）

A.必然事件B.不确定事件C.不可能事件D.随机事件

6.如图，直角坐标平面内有一点P（2,4）,那么OP与x轴正半轴的夹角a的余切值为（）

7.数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值大于2的点是（）

ABCD

--1012345

A.点AB.点BC.点CD.点D

8.如图，在RtAABC中，NACB=90。，点D,E分别是AB,BC的中点，点F是BD的中点.若AB=10,贝！JEF=

()

A.2.5B.3C.4D.5

9.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

△D

A.三菱柱B.三棱锥C.长方体D.圆柱体

10.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45。,

旗杆低端D到大楼前梯砍底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=l:73，则大楼AB的高度约为

（）（精确到04米，参考数据：应a1.41,6a1.73,后土2.45）

C.37.9米D.39.4米

11.已知Xi,X2是关于X的方程x?+bx-3=0的两根，且满足X1+X2-3xiX2=5,那么b的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

12.已知关于x的不等式axVb的解为x>.2,则下列关于x的不等式中，解为xV2的是()

x1

A.ax+2<-b+2B.-ax-l<b-lC.ax>bD.—<----

ab

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，AB是。。的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D,C,若NACB=30。，AB=B，则

阴影部分的面积是

X

14.若代数式^有意义，则实数上的取值范围是—.

x+5

15.已知扇形的弧长为2二，圆心角为60。，则它的半径为

16.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15。后，得到△AB'C,则图中阴影部分的面积是<

17.将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为.

18.如图甲，对于平面上不大于90。的NMON,我们给出如下定义：如果点P在NMON的内部，作PE±OM,PF±ON,

垂足分别为点E、F,那么称PE+PF的值为点P相对于NMON的“点角距离”，记为d(P,ZMON).如图乙，在平

面直角坐标系xOy中，点P在坐标平面内，且点P的横坐标比纵坐标大2,对于NxOy,满足d(P,ZxOy)=10,

点P的坐标是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10x10网格中，已知点O,A,B均为网格线的交点.在

给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍,得到线段44（点A,B的对应点分别为4、4）.

画出线段4片；将线段A片绕点耳逆时针旋转90。得到线段44.画出线段4百；以44、Bp4为顶点的四边形

的面积是个平方单位.

20.（6分）.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外，其他都完

全相同.随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；小丽先从布袋中随机摸出一

个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个

小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落

在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率.

21.（6分）如图，已知点A,B的坐标分别为（0,0）、（2,0）,将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90。得到△AiBiC.

（1）画出AAiBiC；

（2）A的对应点为Ai,写出点Ai的坐标;

（3）求出B旋转到Bi的路线长.

。1

22.（8分）先化简，再求值：（一J——^）十—^~7,其中a是方程a?+a-6=0的解.

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x?+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是（3,0）,点C的坐

标是（0,-3）,动点P在抛物线上.

（1）b=,c=,点8的坐标为；（直接填写结果）

（2）是否存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存

在，说明理由；

（3）过动点尸作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点O,过点。作x轴的垂线.垂足为尸，连接EF,当线段E尸

的长度最短时，求出点尸的坐标.

24.（10分）如图，在AABC中，ZACB=90°,ZABC=10°,△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

如图1,当点E在边BC上时，求证DE=

EB；如图2,当点E在AABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；如图1,当点E在△ABC外部时,

EH_LAB于点H,过点E作GE〃AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=L求CG的长.

3x+y=10

25.（10分）⑴解方程组:，

[x-2y=l

⑵若点A是平面直角坐标系中坐标轴上的点，（1）中的解X，V分别为点5的横、纵坐标，求的最小值及A8取得

最小值时点A的坐标.

26.（12分）近年来，新能源汽车以其舒适环保、节能经济的优势受到热捧，随之而来的就是新能汽车销量的急速增

加，当前市场上新能漂汽车从动力上分纯电动和混合动力两种，从用途上又分为乘用式和商用式两种，据中国汽车工

业协会提供的信息，2017年全年新能源乘用车的累计销量为57.9万辆，其中，纯电动乘用车销量为46.8万辆，混合

动力乘用车销量为11.1万辆；2017年全年新能源商用车的累计销量为19.8万辆，其中，纯电动商用车销量为18.4万

辆，混合动力商用车销量为1.4万辆，请根据以上材料解答下列问题：

（1）请用统计表表示我国2017年新能源汽车各类车型销量情况；

（2）小颖根据上述信息，计算出2017年我国新能源各类车型总销量为77.7万辆，并绘制了“2017年我国新能源汽车

四类车型销量比例”的,扇形统计图，如图1,请你将该图补充完整（其中的百分数精确到0.1%）；

个AJR串口

Uhilhill."I26303

a；ieiiiiii~~~12239«

,州122133

庆庆niillill-l2066!

wal，口HI15537

*行仙口川1「115418

......................................3位，*

BB2

（3）2017年我国新能源乘用车销量最高的十个城市排名情况如图2,请根据图2中信息写出这些城市新能源乘用车销

售情况的特点（写出一条即可）；

（4）数据显示，2018年1〜3月的新能源乘用车总销量排行榜上位居前四的厂家是比亚迪、北汽、上汽、江准，参加

社会实践的大学生小王想对其中两个厂家进行深入调研，他将四个完全相同的乒乓球进行编号（用“1,2,3,4”依次

对应上述四个厂家），并将乒乓球放入不透明的袋子中搅匀，从中一次拿出两个乒乓球，根据乒乓球上的编号决定要调

研的厂家.求小王恰好调研“比亚迪”和“江淮”这两个厂家的概率.

27.（12分）如图，是A6c的外接圆，AC是。的直径，过圆心。的直线。尸，A3于。，交。于E,F,

PB是。的切线，B为切点,连接AP,AF.

(1)求证：直线以为」。的切线;

(2)求证：EF2=40D0Pi

(3)若BC=6,tanZF=—,求AC的长.

2

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

找到从左面看到的图形即可.

【详解】

从左面上看是D项的图形.故选D.

【点睛】

本题考查三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图.

2、D

【解析】

不等式先展开再移项即可解答.

【详解】

解：不等式3xV2(x+2),

展开得：3x<2x+4,

移项得：3x-2x<4,

解之得：x<4.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式的步骤.

3、D

【解析】

试题解析：因为|+2|=2,|-3|=3,|+4|=4,|-1|=1,

由于卜11最小，所以从轻重的角度看，质量是-1的工件最接近标准工件.

故选D.

4、C

【解析】

根据三角形的性质即可作出判断.

【详解】

解：A、正确，符合三角形三边关系；

B、正确；三角形外角和定理；

C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，属于基础题.根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命

题，不难选出正确项.

5、A

【解析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得⑶羽恒成立，因此，这一事件是必然事

件.故选A.

6、B

【解析】

作PALx轴于点A,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

【详解】

T

A

f।

/i

I/i

I/i

।A।・

o,A

过P作X轴的垂线，交X轴于点A,

•・・P(2,4),

，OA=2,AP=4,.

.A尸4c

・・tana-----———2

OA2

1

:.cota=—.

2

故选B.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.

7、A

【解析】

根据绝对值的含义和求法，判断出绝对值等于2的数是-2和2,据此判断出绝对值等于2的点是哪个点即可.

【详解】

解：•••绝对值等于2的数是-2和2,

二绝对值等于2的点是点A.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②

绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负

数.

8、A

【解析】

先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.

【详解】

VZACB=90°,D为AB中点

/.CD=

-ZZ'=T'X..6'=?

•.•点E、F分另！］为BC、BD中点

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.

9、A

【解析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【详解】

由于左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

10、D

【解析】

解：延长A8交OC于作EGLA8于G,如图所示，则G〃=OE=15米，EG=DH,二•梯坎坡度i=l：6，：.BH：

222

CH=1：6，设5"=x米，贝!|出=道了米，在RSB5中，3c=12米，由勾股定理得：x+（73x）=12,解得:

x=6,.,.5H=6米，C7/=66米，:.BG=GH-BH=\5-6=9（米）,EG^DH=CH+CD=673+20（米），VZa=45°,

.\ZEAG=90°-45°=45°,.,.△AEG是等腰直角三角形，；.AG=EG=6G+20（米），：.AB=AG+BG=6A/3+20+9=39.4

（米）.故选D.

11、A

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.

【详解】

Vxi,X2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，

•*.X1+X2=-b,X1X2=-3,

X1+X2-3XIX2=-b+9=5,

解得b=4.

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，

韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0有两个实数根xi,x2,那么xi+x?=,X1X2=・

12>B

【解析】

••・关于x的不等式ax<b的解为x>-2,

b

/.a<0,且一二一2,即Z?=—2a,

a

b

(1)解不等式ax+2V-b+2可得：ax<-b,x>----=2,即x>2；

a

(2)解不等式-ax-lVb・l可得：-axvb,x<----=2,即xv2；

a

b

(3)解不等式ax>b可得：x<-=-2,即xv・2；

a

(4)解不等式一<—可得：x>---=—,即X〉一；

abb22

，解集为x<2的是B选项中的不等式.

故选B.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

73_71

10\-------

26

【解析】

连接OB.

TAB是。O切线，

/.OB1AB,

VOC=OB,ZC=30°,

AZC=ZOBC=30°,

:.NAOB=NC+NOBC=60。，

在RtAABO中，VZABO=90°,AB=6,ZA=30°,

/.OB=1,

60〃xI2A/3n

360~T6

【解析】

根据分母不为零分式有意义，可得答案.

【详解】

由题意，得x+5r0,解得/-5,故答案是：洋-5.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键.

15、6.

【解析】

分析：设扇形的半径为r,根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.

详解：设扇形的半径为r,

根据题意得：一

H9

解得：r=6

故答案为6.

点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.

16、2

6

【解析】

•.•等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15。后得到△ABC

■:NCAC'=15。，

，NC'AB=NCAB-NCAC'=45°-15°=30°,AC=AC=5,

,阴影部分的面积=工85*121130°X5=叁8.

26

17、y=2x+l

【解析】

分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.

详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+l；

故答案为y=2x+L

点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键.

18、(6,4)或(-4,-6)

【解析】

设点P的横坐标为x,表示出纵坐标，然后列方程求出x,再求解即可.

【详解】

解：设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为x-2,由题意得，

当点P在第一象限时，x+x-2=10,

解得x=6,

.\x-2=4,

・・・P(6,4)；

当点P在第三象限时，-x-x+2=10,

解得x=-4,

/.x-2=-6,

・・・P(-4,-6).

故答案为：(6,4)或(-4,-6).

【点睛】

本题主要考查了点的坐标，读懂题目信息，理解“点角距离”的定义并列出方程是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)20

【解析】

【分析】(1)结合网格特点，连接OA并延长至Ai,使OAi=2OA,同样的方法得到Bl,连接A】Bi即可得;

(2)结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点，连接A2B1即可得；

(3)根据网格特点可知四边形AAIB】A2是正方形，求出边长即可求得面积.

【详解】(1)如图所示；

（2）如图所示；

（3）结合网格特点易得四边形AAiBiA2是正方形,

AAI=742+22=275*

所以四边形AA1B1A2的面积为：（2如）2=20,

故答案为20.

【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.

12

20、（1）3（2）列表见解析，不

oo

【解析】

试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小

球的概率为3（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）

的结果数，可求得结果.

试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）=7；（2）列表如下：

J

小华-102

小丽

-1(-1,-1)(-1,0)(-1,2)

0(0,-1)(0,0)(0,2)

2(2,-1)(2,0)(2,2)

共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数为6,

•D62

・・r(点M落在如图所示的正方形网格内)=-=r.

y3

考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.

21、(1)画图见解析；(2)Ai(0,6)；(3)弧BB产边0万.

2

【解析】

⑴根据旋转图形的性质首先得出各点旋转后的点的位置，然后顺次连接各点得出图形;

⑵根据图形得出点的坐标；

(3)根据弧长的计算公式求出答案.

【详解】

解：(l)AAiBiC如图所示.

(3)BC=VI2+32=7ia

90^-xVwV1O

-------------=------n.

•…稳1802

【点睛】

本题考查了旋转作图和弧长的计算.

1

22、

3

【解析】

先计算括号里面的，再利用除法化简原式,

【详解】

(2a1).a

\t?"-4t?—2J<7^+4<7+4

2〃-(〃+2)(a+2)

(〃+2)(〃-2)a

2a—Q—2a+2

=--------------，

a-2a

a—2a+2

=----------，

a-2a

_Q+2

=,

a

由a2+a-6=0,得a=-3或a=2,

Va-2#，

Aa#2,

a=-3,

一3+21

当a=-3时，原式=------二—.

-33

【点睛】

本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算.

23、(1)-2,-3,(-1,0)；(2)存在P的坐标是(1,—4)或(-2,5)；(1)当EF最短时，点P的坐标是：(左二叵,

2

一3)或(上恒2

)

222

【解析】

(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得氏c的值，然后令尸0可求得点5的坐标；

(2)分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与马，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得和PM的解析

式，最后再求得PiC和尸M与抛物线的交点坐标即可；

(1)连接先证明四边形。四尸为矩形，从而得到O0=E尸，然后根据垂线段最短可求得点。的纵坐标，从而得

到点尸的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点尸的坐标.

【详解】

c=-3

解：(1)•••将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：八C,C，

9+3b+c=0

解得：b=-2,c=-1,

二抛物线的解析式为y=f-2x-3.

;令好―2%—3=0,解得：%=—1,%=3,

点3的坐标为(-1,0).

故答案为-2；-1；（-1,0）.

（2）存在.理由：如图所示：

①当NACB=90。.由（1）可知点A的坐标为（1,0）.

设AC的解析式为y=kx-1.

•••将点A的坐标代入得14-1=0,解得4=1,

直线AC的解析式为y=x-l,

二直线CP1的解析式为尸7-1.

•将尸_x_1与y=/联立解得$=],x2—0（舍去）,

.•.点Pi的坐标为（1,-4）.

②当NP2AC=90。时.设APi的解析式为片-x+b.

•.,将x=l,y=0代入得：-1+6=0,解得0=1,

二直线APi的解析式为y=-x+1.

,将y=-x+1与y=炉-2x-3联立解得再=-2,x2=l（舍去），

.•.点P2的坐标为（-2,5）.

综上所述，尸的坐标是（1,-4）或（-2,5）.

（1）如图2所示：连接OZ>.

由题意可知，四边形OFOE是矩形，则O0=EF.根据垂线段最短，可得当O0LAC时，0。最短，即E尸最短.

由(1)可知，在RSA0C中，'：OC=OA=1,ODLAC,

.••O是AC的中点.

5L'：DF//OC,

13

：.DF=-0C=-,

22

3

.•.点P的纵坐标是-G，

2

•,.X2-2X-3=--,解得：x=2±M,

22

...当E尸最短时，点尸的坐标是：(2+M,_3)或(2二加,-2).

2222

24、(1)证明见解析；(2)ED=EB,证明见解析；(1)CG=2.

【解析】

⑴、根据等边三角形的性质得出NCED=60。，从而得出NEDB=10。，从而得出DE=BE；

(2)、取AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后

得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，

设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

【详解】

(1)VACDE是等边三角形，

.\ZCED=60°,

AZEDB=60°-ZB=10°,

.\ZEDB=ZB,

ADE=EB；

⑵ED二EB,理由如下：

取AB的中点O,连接CO、EO,

VZACB=90°,ZABC=10°,

AZA=60°,OC=OA,

••・△ACO为等边三角形，

ACA=CO,

VACDE是等边三角形，

AZACD=ZOCE,

.•.△ACD^AOCE,

.\ZCOE=ZA=60°,

AZBOE=60°,

AACOE^ABOE,

AEC=EB,

AED=EB；

⑴、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,由（2）ACD^AOCE,

AZCOE=ZA=60°,

AZBOE=60°,△COEg△BOE,

AEC=EB,

AED=EB,

VEH±AB,

/.DH=BH=1,

VGE/7AB,

/.ZG=180°-ZA=120°,

/.△CEG^ADCO,

/.CG=OD,

设CG=a,贝］AG=5a,OD=a,

.\AC=OC=4a,

VOC=OB,

:.4a=a+l+l,

解得，a=2,

即CG=2.

x=3

25、(1)(2)当A坐标为(3,0)时，AB取得最小值为1.

【解析】

(1)用加减消元法解二元一次方程组；(2)利用(1)确定出B的坐标，进而得到AB取得最小值时A的坐标，以及

AB的最小值.

【详解】

3x+y=10@

解：⑴C-

[x-2y=l®

①x2+②得：7x=21

解得：x=3

把X=3代入②得y=l,

x=3

则方程组的解为1

b=1

(2)由题意得:8(3,I),

当A坐标为(3,0)时，AB取得最小值为1.

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则及数形结合思想解题是解本题的关键.

26、(1)统计表见解析；(2)补全图形见解析；(3)总销量越高，其个人购买量越大；

(4)

6

【解析】

(1)认真读题，找到题目中的相关信息量，列表统计即可；

(2)分别求出“混动乘用”和“纯电动商用”的圆心角的度数，然后补扇形图即可；

(3)根据图表信息写出一个符合条件的信息即可；

(4)利用树状图确定求解概率.

【详解】

(1)统计表如下:

2017年新能源汽车各类型车型销量情况(单位：万辆)

类型纯电动混合动力总计

新能源乘用车46.811.157.9

新能源商用车