人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》测试卷含答案

人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》测试卷

（测试时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.sin30°=（）

V21

ADC.BD.3

2223

2.（tan30°）°的值是（)

A.——B.0C.1D.y/3

3

3.在正方形网格中，Na的位置如图所示，则tana的值是（）

AB店

33

4.如图.，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向

以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C

之间的距离为（）.

C.20血海里D.30海里

5.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°,同时测得BC=20米,

则树的高AB（单位：米）为（）

A

20

C.D.20sin37°

tan37°

6.如图，在8X4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若4ABC的三个顶点在图中相应的格点上,

7.在RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=—,则tanB的值为（）

13

,125八1312

A.—B.—C.—D.—

1312125

8.一辆汽车沿倾斜角a的斜坡前进800米，则它上升的高度是（）

A.800»sina米B.呼。米C.800«cosa米D.米

sinCI.cosCl

9.在平面直角坐标系中，以原点0为圆心的。。交x轴正半轴为M,P为圆上一点，坐标为（6,1）,

A.—B.-C.—D.—

2232

10.在平面直角坐标系中，正方形A3CD、DEEzB?、A2B2C2D2、D史3E出3、A3B3c3D3…按如图所示的方式放置，

其中点Bi在y轴上，点3、Ei、EssQ、E.3、E4>C3…在x轴上，已知正方形AiBED的边长为1,ZBiCi0=60°,

B1C1〃B2c2〃B3c3…则正方形A2015B2015c2015口2015的边长是()

A.k—7D.V—JL.t----）U.I---）

2233

二、填空题（每小题3分，共30分）

口

11.已知NA是锐角，且tanA=一,则NA=.

3

12.在中，乙。=90°，当已知乙4和。时，求c,贝！k=.

13".如图，A3是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则A3的长

度是—m（假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60。）.

A

14.如图，在平行四边形ABCD中，ZB=30°,AB=AC,。是两条对角线的交点，过点。作AC的垂线分

别交边AD,BC于点、E,F-点M是边AB的一个三等分点。则AAOE与的面积比为.

15.求值：sin60°-tan30°=.

、।..sm60°,,z,口

16.计算：-----tan45°的值是______.

cos30°

2

17.如图，若sEa=p,则cos0=

18.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于

水箱横截面。。的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，ZBAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘

米，ZCED=60°.则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）.

19.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD-.已知迎水

坡面AB=12米，背水坡面C£）=12书米，NB=60。，加,固后,拦水坝的横断面为梯形ABED,tanE=%，则CE

的长为米.

20.如图，在四边形ABCD中，连接AC,BD,AC和BD相交于点E.若AD〃BC,BD_LAD,2DE=BE,

J^AD=BD,则/BAC+/BCA的度数为

三、解答题（共60分）

21.（本题5分）tan45°sin45°-4sin30°cos45°+#si“60°.

22.（本题6分）在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30。，位于军舰A

正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°,试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深

度.（结果保留整数，参考数据：sin68°仁0.9,cos68°"0.4,tan680仁2.5,1.7）

海平面

23.（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°,于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°,

求塔高和此人在地面时到塔底的距离.

D4加：E

50

B

24.（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔

直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为

300（73+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离.（结果可保留根号）

25.（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角/DCE=30°，小红在斜坡下的点C

处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

26.（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部

的仰角为30°,如图所示，量得两幢楼之间的距离为206米.

（1）求出大厦的高度BD；

（2）求出小敏家的高度AE.

□□\

□□

□□

□□

D20j3mE

27.（本题9分）已知：如图，AB与。。相切于点C,0A=0B,。。的直径为4,AB=8.

（1）求OB的长;

(2)求sinA的值.

28.（本题10分）已知：等边△ABC的边长为a.

探究（1）：如图1,过等边AABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证：是等

边三角形且MN.=J^a；

探究（2）：在等边AABC内取一点0,过点0分别作ODLAB、0E±BC,0F±CA,垂足分别为点D、E、F.

①如图2,若点。是AABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必

证明）：结论1.0D+0E+0F=-a；结论2.AD+BE+CF=-a；

-22

②如图3,若点0是等边4ABC内任意一点，则上述结论1,2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如

果不成立，请说明理由.

4

A

（图2）（图3）

答案

（测试时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.sin30°=（）

VI1A/3V3

A.—B.-C.—D.—

2223

【答案】B

【解析】

根据特殊角的三角函数值进行解答即可

2.（tan30°）°的值是（）

A.——B.0.C..1D.y/3

3

【答案】C

【解析】

任何非零实数的零次基都为1.故选C.

3.在正方形网格中，Za的位置如图所示，则tana的值是（）

C.D.2

2

【答案】D

【解析】

由图可得，tana=24-1=2.

故选D.

4.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向

以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C

A.20海里B.海里C.200海里D.30海里

【答案】C.

【解析】

如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度.如图，・・•/ABE=15°,

ZDAB=ZABE,.".ZDAB=15O,ZCAB=ZCAD+ZDAB=90°.又•:/FCB=60°,ZCBE=ZFCB=60°,ZCBA+

4C4°X不(2r-

ZABE=ZCBE,/.ZCBA=45°.二在直角△ABC中，sinZABC=--=------^-=—,；武=20海里.故选

BCBC2

5.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°,同时测得BC=20米,

则树的高AB（单.位：米）为（）

A

20

C.D.20sin37°

tan37°

【答案】B.

【解析】

4R

如图，在直角4ABC中，ZB=90°,ZC=37°,BC=20m,可得tanC=---，则AB=BC・tanC=20tan37°.故选

BC

B.

6.如图，在8X4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1,若4ABC的三个顶点在图中相应的格点上,

11VI

A.-B.-C.—D.3

322

【答案】A

【解析】

结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求tanZACB=2^=1-.

63

故选A.

7.在RtZkABC中，ZC=90°,sinA=—,则tanB的值为（）

13

125八1312

A.—B.—C.—D.—

1312125

【答案】D

【解析】

：sinA=—，.,.设BC=5x,AB=13x,贝!!AC=JAB?=i2x,

13

MAC12

故tanNB=---=—.故选D.

BC5

B

CA

8.一辆汽车沿倾斜角a的斜坡前进800米，则它上升的高度是（）

A.800-sina米B._迤_米C.800・cosa米D.80°米

sinacosa

【答案】A

【解析】

如图，ZA=Q,Zc=9o°,

则他上升的高度BC=ABsinCL=S00-sina米.

故选A.

9.在平面直角坐标系中，以原点。为圆心的。。交x轴正半轴为M,P为圆上一点，坐标为（也，1）,

则cosZP0M=()

y/2

D.

~T

【答案】A

【解析】

作PA±x轴于A,

•..点P的坐标为（百，1）,

，0A=GPA=1,

由勾股定理得，0P=2_,

OA73

cosNPO归---二，

OP2

故选A.

10.在平面直角坐标系中，正方形A1B1CD、DEE2B2、A2B2c2D2、D2E3E出3、A3B3c3D3…按如图所示的方式放置，

其中点Bi在y轴上，点G、Ei、E2、C2、E3、E4>C3…在x轴上，已知正方形ABCD的边长为1,NBC0=60°,

BiCi//B2c2//B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）

A.B.(-)2015C.(―)2015D.2014

23与

【答案】D.

【解析】

如图所示：：正方形的边长为1,NBC0=60。BtC：IIB:C:D^BjEa,/DC〔&=

O1===

ZC：B;E2=ZC3B3E4=30,.•.DtEi=CtDisin300J*]]BiCt(——)',同理可得:BaCj—(---)*>故正方

333

形4BCD”的边长是：（4）….则正方形A：：4：：：：。：：：加；：的边长是：（中）：：：■.故选D.

33

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.已知NA是锐角，且tanA=§,则NA=.

【答案】30°

【解析】

、/3

：乙4是锐角,tanA=t,AZA=30°.故答案为：30°.

3

12.在RMZBC中，“=90°，当已知乙4和a时，求c,贝此=

【答案】三

sinA

【解析】

如图,

a

sinA=一,

c

a

••C---------.

sinA

故选：A.

13.如图，AB是伸缩式的遮阳棚，。是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长

度是—m（假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60。）.

A

lm=L

A,L

【答案】V3

【解析】

根据题意画出如下的图形:

由题意可知：在Rt^ABD中，NA=90。，AD=3m,/ABC=60。,

.\ZADB=30°,

,.,tanZADB=^f,

,T=V解得:AB=B

故答案为：平.

14.如图，在平行四边形A8C。中，ZB=30°,AB=AC,。是两条对角线的交点，过点。作AC的垂线分

别交边A。，BC于点、E,B点M是边的一个三等分点。则AAOE与的面积比为.

【答案】3:4

【解析】连接作AG_LBC交BC于点G,作交2C于点",

'：AB=AC,.'.ZB=Z.4CB=30o,

设,18=NC=6x,则B.W=2x,

：.MH=BMsMQ°=x,AG=ABsM0D=3x,BG=.4Bcos3Qa=3^x,

\'AB=AC,AG1BC,.,.5G=CG=3%/3x,5C=6v3x,

:平行四边形儿BCD,.,.且D45C,OA=OC=3x,

OA

：.ZEAO=ZACB=30°,：.OE=OA-tan300=d3x,AE=----酢2Fx,

cos30

13J3、

S/^AOE=-OA-OE=---x12,

22

•・•在aAOE和△CO/中，

(Z.EAO=Z.OCF

AO=CO,

Z.AOE=Z.COF

・・・AAOE^ACOF,

：.AE=CF=2yj3x,

BF=6yj3x—2y/3x=4yf3x,

1

S^BMF=^BF-MH=2yl3x2,

S^AOE:SABMF=（:（2晒2）=3:4.

故答案为3:4.

15.求值：sin60°-tan30°=

【答案】史

6

【解析】

原式=包包史.

236

sm60°°.3口

16.计算:-------tan45的值是

cos300

【答案】0

【解析】

0

.'sin60°=4v,cos300=r，r^tan45=l,

2

【答案】-

【解析】

a+p=90°,

・

>.cosp«=si.na=2

2

故答案为:

18.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于

水箱横截面。。的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，ZBAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘

米，ZCED=60°.则垂直支架CD的长度为_______厘米（结果保留根号）.

【答案】38并

【解析】

在RtADCE中，ZCED=603,DE=76,

DC

,.•sinZCED=DE,

/.DC=DExsinZCED=38后（厘米）

故答案为：38后

19.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD已知迎水坡

面A8=12米，背水坡面C£）=124米，/8=60。，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED,tanE=等，则CE的

长为米.

【答案】8.

【解析】

分别过4。作Zd8c于点尸，AG，6c于点G.

在Rt△物中，的2米，N氏6。。，..・加/斤市⑵

易知四边形AFGD是矩形，DG=AF=6B

在RtZX,GC中，CD=12乖,DG=6®：.GC=^CD2-DG2=^.

―“qDG3有

在Rt^OEG中，ta"nE=y=n0，--EG=2Q,

EG13

：.CE=GE-CG=26->\8=8.

故答案为8.

20.如图，在四边形ABCD中，连接AC,BD,AC和BD相交于点E.若AD〃BC,BD±AD,2DE=・BE,

【解析】•.\5D1AD,.•.乙1D5=9O°.•石/>=5D,「.tan乙—=—,：.Z.4BD=30°.W4DIIBC,

BD3

；.NCBD=ZADB=9Q0,二445c=30。+90。=120。，：.ZR4C~ZBCA=180°-120°=60°.故答案为：60°.

三、解答题（共60分）

21..（本题5分）tan45°sin45°-4sin30°cos45°+#s%60°.

【答案】V2.

【解析】

lx受一4x\巨限反正一立+还二立

222222

22.（本题6分）在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30。，位于军舰A

正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°,试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深

度.（结果保留整数，参考数据：sin68°^0.9,cos68°«0.4,tan68°仁2.5,1.7）

海平面

【答案】308米

【解析】

过点C作CD1AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,

根据题意得：ZACD=30°,ZBCD=68°,设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x,

ADxAX,

在RtAACD中,CD=

tanZACDtan30°

在RtZkBCD中，BD=CD-tan680,.,.1000+x=5/3x'tan680

10001000

解得:x=—f=---------------七308米,

V3.tan680-11.7x2.5-l

.••潜艇C离开海平面的下潜深度为308米.

海平面

23.（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°,于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°,

求塔高和此人在地面时到塔底的距离.

【答案】塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25班米.

【解析】

设BC=x米,则DE=BC=x米.

•・•直角4ADE中，tanZADE=——，

DE

AE=DEtan30°=xtan30°=-^-x（米）.

3

同理，直角AABC中，AC=BCtan60°=gx（米），

根据题意得：-x=50,

3

解得：x=25百,

则AC=^x=75（米）.

答：塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25百米.

24.（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔

直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为

300（出+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离.（结果可保留根号）

A4

c北

-1~»东

【答案】供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300血米.

【解析】

如下图：过点M作MN1AB于N,设MN=x米.在RtZkAMN中，：/ANM=90°,ZMAN=30°,.\MA=2MN=2x,

AN=^MN=A/3x.在RSBMN中，,.•/BNM=90。，/MBN=45°,.".BN=MN=x,MB=0MN=0x.；AN+BN=AB,

73x+x=300(73+1),解得：x=300,.\MA=2x=600,MB=0x=3OO0.故供水站M到小区A的距离是

600米，到小区B的距离是300淄米.

25.（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角NDCE=30°,小红在斜坡下的点C

处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

B

【答案】（1）2米；（2）（6味）或（68）米.

【解析】

(D在RtADCE中，ZDEC=90o,ZDCE=30°,.,.DE[DC=2米；(2)过D作DF1AB,交AB于点F,则AF=DE=2

米.•.,NBFD=90°,/BD145°,.,.ZBFD=45°,;.BXDF.设BXDWx米，贝ijAB=(x+2)米，在Rt^ABC中，

AB、区J5(2彳+4)

ZBAC=90°,ZBCA=60°,.,.sinZBCA=L-,.'.BC=AB4-sinZBCA=(x+2)+—=―-------^米，在RS

BC23

BDF中，ZBFD=900,BD=d即之+。严=/*米,；NDCE=30°,ZACB=60°,/.ZDCB=90o.

1+*2*+©=(、历，解得：x=4+45或X=4-A/3,则AB=(6+V3)米或(6-4)米.

3

26.（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45。,大厦底部

的仰角为30°,如图所示，量得两幢楼之间的距离为206米.

（1）求出大厦的高度BD；

（2）求出小敏家的高度AE.

B

D20j3mE

【答案】(1)(2073+20)(2)20

【解析】

(1)如图，,/AC1BD,

/.BD1DE,AE1DE,

二四边形AEDC是矩形，

...AC=DE=206米，

:在Rt2kABC中,ZBAC=45°,

.'.BC=AC=206米，

CD

在RtzXACD中，tan30°=——，

AC

；.CD=AC・tan30。=20A/3X—=20(米),

3

BD=BC+CD=2073+20（米）；

，大厦的高度BD为：(20有+20)米；

(2)•.•四边形AEDC是矩形，

；.AE=CD=20米.

，小敏家的高度AE为20米.

27.(本题9分)已知：如图，AB与。0相切于点C,0A=0B,。。的直径为4,AB=8.

(1)求0B的长；

(2)求sinA的值.

【答案】(1)2A/5(2)当

【解析】

(1)由已知，0C=2,BC=4.

在RtAOBC中，由勾股定理，得

OB=yl0C2+BC2=2y/5；

⑵在RtAOAC中，

'/OA=OB=2A/5,oc=2,

..OC_2_V5

OA2#5

28.(本题10分)已知：等边AABC的边长为a.

探究(1)：如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证：是等

边三角形且MN=J^a；

探究(2)：在等边AABC内取一点0,过点0分别作ODLAB、OE±BC>OF±CA,垂足分别为点D、E、F.

①如图