山东省临沂市2024届高三年级下册学业水平等级考试模拟（二模）数学试卷(含答案)

山东省临沂市2024届高三下学期学业水平等级考试模拟（二模）数

学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知i为虚数单位，（l-i）2-z=1+^i,则口=（）

A.-B.-C.—D.—

4242

2.若4=xeZ——<0LB={x|log5x<l},则A3的元素个数为（）

8—x

3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,m,12,14,21,若该组数据的中位数是

2

极差;，则该组数据的第45百分位数是（）

4.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分

配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）

5.已知函数/（x）=sin（2x+0）（|d<T）图象的一个对称中心为卜则（）

A.〃x）在区间上单调递增

B.x=*是图象的一条对称轴

C/（%）在「二,』上的值域为3

v7L64j[2

D.将/（%）图象上的所有点向左平移三个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称

JT

6.若实数mb,c满足。=2sin—,我=7,3c=10,贝lj（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

7.已知正方体ABC。—AgCQ]中，M,N分别为CG，G。的中点，贝U（）

A.直线MN与A。所成角的余弦值为亚

3

B.平面与平面BCR夹角的余弦值为零

C.在BC[上存在点Q,使得B.Q±BD.

D.在BtD上存在点P,使得PAII平面BMN

22

8.椭圆二+2=1（。>〃>0）的左、右焦点分别为耳，工，P为椭圆上第一象限内的

ab

一点，且尸耳与y轴相交于点Q，离心率e=半，若。耳=2「耳,则

4=（）

A.-B.-C.-D.-

8833

二、多项选择题

9.已知｛4｝是等差数列，S”是其前冏项和，则下列命题为真命题的是（）

A.若%+%=9，％+/=18,则q+gu5

B.若a?+q=4,则S14=28

C.若Si5<0，则邑〉58

D.若｛4｝和｛%.%J都为递增数列,则an>0

10.设4（4乂），8（%，%）是抛物线C：必=盯上两个不同的点，以A,3为切点的

切线交于点P（%,%）.若弦A3过焦点R则（）

A.xr+x2-2x0B.若的方程为x-2y-l=0,贝!]%2=一4

C.点P始终满足=O□.△2钻面积的最小值为16

11.已知定义在R上的函数〃尤）满足〃x+l）+（x+3）=〃2024）,

/（—x）=/（x+2）,且/']=:，贝U（）

A."%）的最小正周期为4B./（2）=0

2024（1\

C.函数/（%—1）是奇函数k——卜-2024

k=l\2）

三、填空题

12.1l+g｝l+x)7展开式中必项的系数为.

13.若直线y=取+1与曲线y=b+lnx相切，则a。的取值范围为.

四、双空题

14.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的

〃eN*,X="+1的样本在X>n的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的

数量占比相同，均等于g即P(X=〃+l|X>〃)=P(X=l)=g则

P(X>n)=,设a“=〃P(X=〃)，｛4｝的前〃项和为S”，则S“=.

五、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

ccos(A-B)=2y/3asinBcosC-ccosC.

⑴求C；

CD2

(2)若点。在线段A3上，且BD=2ZM,求「——的最大值.

2矿+5b-

16.“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度,

随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示(单位:

人).

非常喜感觉一合

欢般计

男

3t100

性

女

t

性

合

60

计

(1)求f的值，试根据小概率a=0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态

度与性别有关；

⑵从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和

2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交

流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

参考公式：.其中〃=a+〃+c+d.

[a+bJ)(c+"d)(/a+'c,)(b+d)

a

0.10.050.01・・・

3.84

%2.706.63・・・

615

17.如图，在四梭锥PA3CD中，底面A3CD为菱形，ZBAD^60°,〃平面

AMHN,点M,N,8分别在棱P3,PD,PC上，且肱V，尸C.

(2)若“为PC的中点，PA=PC,以与平面P3D所成角为60。，四棱锥P-ABCD被

平面AMHN截为两部分，记四棱锥尸-体积为匕，另一部分体积为匕，求匕.

%

18.已知向量a=(0,1),匕=(1,0),点P(l,0),。(—1,0)，直线尸。，Q。的方向向量分

另U为2/la+Z?,2a+Ab,其中;leR,记动点。的轨迹为E.

(1)求E的方程；

⑵直线/与E相交于A,3两点，

(i)若/过原点，点C为E上异于A,3的一点，且直线AC,3C的斜率原c均存

在，求证：第c•演c为定值；

(ii)若/与圆。：/+/相切，点N为A3的中点，且|AB|=2|QV|,试确定圆。

的半径r.

19.已知函数/(x)=ln(ax)+(a-l)x-eX.

(1)当a=l时，求证：〃尤)存在唯一的极大值点%,且/(%)<-2；

(2)若/(%)存在两个零点，记较小的零点为玉，%是关于元的方程

ln(l+%)+3=2期+cos%的根,证明：e?+l>2e%1.

参考答案

1.答案：B

解析：

2.答案：C

解析：

3.答案：A

解析：

4.答案：C

解析：

5.答案：D

解析：

6.答案：A

解析：

7.答案：C

解析：

8.答案：B

解析：

9.答案：BC

解析：

10.答案：ACD

解析：

11.答案：AB

解析：

12.答案:42

解析：

13.答案：

解析：

14.答案：；5—+

解析:

15.答案：（DC=；TT

（2）-

9

解析：⑴由ccos（A-5）=2y/3asinBcosC-ccosC得

ccos（A-B）+ccosC=2y/3asin5cosC,

c（cos（A-5）-cos（A+B））=2y/3asinBcosC,

BP2csinAsinB=26asinBcosC,

EPsinCsinAsinB=A/3sinAsinBcosC,

即sinC=A/3COSC,

tanC=A/3,

又，Ce（0,7i）,

・•.C=-.

3

（2）。点在线段AB上，且BD=2ZM,

CD=-CA+-CB,

33

-2421-24

CD=-CA+-CB+-CACB

999

=-b2+—a~+—ab<—b2+—a1+—（a2+Z?2]=-a2+—Z?2,

999999V799

当且仅当a=b时，等号成立.

2a2+5b-

CD?

2a2+5b2~2a2+5b29

CD2

即的最大值为L

2a~+5b~9

16.答案：（1）年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

QQ

（2）分布列见解析，E（X）=—

解析：（1）由题意可知：3f+（60—f）=100,解得/=20,

2x2歹!J联表如下:

非常喜感觉一合

欢般计

男

6040100

性

女

8020100

性

合

14060200

计

2_200x(60x20-80x40)2

140x60x100x100

200x20(X)2

»9.524>6.635.

140x60x100x100

根据小概率值。=0.01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推

断犯错误的概率不大于0.0L

(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m,女性中非常喜欢“赶大集”的

人数为〃，则X=7"+〃，且X的所有可能取值为1,2,3,4.

C3CC；_2_1

p(X=l)=p(=0,n=l)=

mC；C；3015

C；C；C；C；C3C?13

P(X=2)=P(m=l,n=l)+P(m=0,n=2)=Z.Jz.11Jz.___

反FF

-1r\r\

P(X=3)=P(m=2,n=1)+P(m=l,n=2)=

C5C3305

C；C；C；_3_1

p(X=4)=P(m=2,n=2)=

C；C；-30-10,

+3XJX3

3030303015

17.答案：(1)证明见解析

叫

解析：(1)连接AC交3。于点0,连接。P,

因为5。〃平面AMHN,且平面AB£＞平面=

所以BD//MN.

因为MNLPC,

所以5£＞，PC,

因为「ABCD为菱形，

所以BDLAC,OB=OD,

因为PCAC=C,且PC,ACu平面以C,

所以平面必C,POu平面必C,

所以5£＞，PO,

所以P5=PD.

(2)因为B4=PC,且。为AC中点，

所以OPLAC,

由(1)得OPL5D,且3£＞AC=O,

所以8,平面A3CD,

又因为ABCD为菱形，ZBAD^60°,

令AB=2.

所以ACLBZ),A0=6，BO=l.

又因为以与平面P3D所成角为60。，平面P3D,

所以NAPO=60。，NB4c=30。，

所以。d=无4。=1,

3

所以Vp_ABCD=~-SaABCDOP=

又因为“为PC中点，

所以尸”=,尸。=1,

2

在△PAC中，记AHOP=G,

易知点G在MN上，且点G为△PAC重心,

又因为MNIIBD,

24

所以脑V=_&)=—,

33

又S：=-PA-PH-sinl200=-x2xlx—=—

2222

所以匕=2VM-APH=1'S^APH-MN=，

2A/32A/3473

所以匕=!一s

9~~~9~

所以X=L

匕2

（法二）：关于求匕的第二种方法（建系法）,

以。为原点，OA,OB,0P分别为x,y,z轴建系，

所以0,0）,B（0,1,0）；尸（0,0,1）,H——^-,0,—,A^fo,——

设平面AMHN的法向量为〃=(%,%,z0),

R[3A/31_

n-AH=0—~丁玉+/交

..，a即n22,

n•MN=0吐4。

解得上。―=0,

[%=0

令“0=1，

则〃=(1,0,39.

因为曲=(6,0,-1),

_\n-PB\而

所以尸到平面AMHN的距离h==匚,

H7

记中，AH2+PH2-2PA-PH-cosZAPH=1,

所以4¥=近，

1o,114A/21273

所以X=§，5„姓.八丁万*V7x§x—,

所以％=Vp_ABCO-K=，

所以U=L

匕2

2

18.答案：(1),-匕=1

4

⑵半

解析：(1)设。(匹y).

则PD=(九一l,y),QD=(x+l,y),

又因为a=(0,1),。=(1,0),

所以22a+b=(l,2；l),2a+/lZ?=(42),

22(x-l)-y=0

由已知得，＜

2(x+l)-2y=0

2

消2得：Y—匕=1,

4

2

所以点。的轨迹方程为f—匕=1.

4

(2)设直线/与E的两个交点为A&,yJ,B(x2,y2),

(i)因为直线/过原点，

所以点A,3关于原点成中心对称.

设C(x,y),

22

所以七c（c=3•==3•2=7，

X-Xxx-x2X-Xx%+玉X―玉

X：靖=]

由「；，得丁2_r=4代_出，

--匕=1

14

2_2

所以&ic-%BC=J―>T=4-

x-x1

（ii）因为N为A3的中点，K\AB\=2\ON\,

所以。4。8=0.

①当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=±r,此时点A,3关于x轴对称，不妨设点

A在第一象限，

所以X]=%=r,

2

因为

所以X；=r=g,

273

所以r

丁

②当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=^+b,

y=kx+b

由<2y2,得（4—左2）尤2_2必先_（人？+4）=0,

X----=1

4

-仅2+4）

所以石+%=，/马=

f]4-F

因为。4。8=0,

所以占4+%%=。，

即（1+左2）占尤2+的（石+为2）+'2=°，

整理得：3/=4+4/

又因为/与圆相切，

综上可得厂=平，

所以圆。的半径是空.

3

19.答案：(1)证明见解析

⑵证明见解析

解析：⑴当a=l时，/(x)=ln%-eA,xe(0,+oo),

所以/(x)=--e\

所以/'(X)在(0,+oo)上单调递减，且/[£|=2-£〉0,/⑴=1—e<0,

则现€心,1],使得当XG(O,Xo)时，/(%)>0,

当时，(%)<0,且/''(Xo)=O,即，=e%,

所以“可在(0,%)上单调递增，在(%,+00)上单调递减，

所以/(“存在唯一的极大值点X。,

而/(X。)+2=InX。一e阳+2=-x0--+2=--~—<0,

X。%

所以/(%)<-2.

(2)^ln(ar)+(«-l)x-eA=0,得ln(or)+ax=x+e",

设g(x)=x+e，，显然g(x)在定义域上单调递增，

而at+ln(ax)=建⑷+ln(av),则有gln(or)=g(x),

所以x=ln(ot).

依题意，方程x=ln(ox)有两个不等的实根，

即函数/z(x)=x-In(双)在定义域上有两个零点，

显然awO,当a<0时，的定义域为(—8,0),

力⑴在(YO,0)上单调递增，入⑴最多一个零点，不合题意,

所以a>0,/，(x)的定义域为(0,+8),

所以求导，得"(x)=l-工，

X

当Ovxvl时，li(%)<0,当％>1时，九)〉0,

所以人力在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增,

要使妆x)有两个零点，必有1-lna<0,即，>e,

止匕时不口=->0,即h{x}在(0,1)有一