2021届湘豫名校联考高三（4月）数学（理）试题（解析版）

2021届湘豫名校联考高三（4月）数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设复数，则，再利用，即可求出复数.【详解】设，依题意得，，.解得，，所以.故选：C.2．已知集合，.若，则实数（）A．-3 B． C． D．3【答案】B【分析】由题得直线与直线平行，解方程即得解.【详解】因为，所以直线与直线平行，所以所以.经检验，当时，两直线平行.故选：B.3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】回归直线分布在散点图的附近，由的几何意义结合图像即可判断.【详解】回归直线分布在散点图的附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，由图可知，2010-2013年，y随x的增加，迅速增加；2014-2016年，y随x的增加，平缓增加，故；2017-2019年，y随x的增加而减少，故；所以，由图可知.故选：A．4．已知数列满足：任意，都有，且，那么（）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求，已知，可得，先求，然后由可求，然后求解．【详解】由已知，，可得，，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是先要根据已知求出．5．已知抛物线的焦点为F，M是抛物线E上一点，N是圆上一点，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】过点M作于H，根据抛物线的定义得到，要使得最小值，只需最小，此时C，M，H三点共线，即可求解.【详解】如图所示，圆的圆心为，半径为，直线是抛物线的准线，过M作于H，则，所以，当且仅当C，M，H三点共线时，等号成立，此时取得最小值为.故选：B.6．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得，，，再比较.【详解】因为，所以，所以，又因为，，所以.故选：A【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．为帮助当地老百姓尽快脱贫，某市政府决定选派8名干部(5男3女)到该市甲､乙两个县去督查扶贫工作，若要求每个县至少要派3名干部，每个干部必须去两个县中的一个督查，且不能仅仅将3名女干部编为一组去某个县督查，则不同的派遣方案共有（）A．90种 B．125种 C．180种 D．250种【答案】C【分析】根据先分组再分配即可求解.【详解】因为每个县至少要派人，则两个县中派遣的人数分别为、或、，又因为名女干部不能单独成一组，有种分组方法，则不同的派遗方案种数为种，故选：C.8．《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个而为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法：①“羡除”有且仅有两个面为三角形；②“羡除”一定不是台体；③不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；④“羡除”至多有两个面为梯形.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】画出图形，利用新定义判断①；通过，判断“羡除”一定不是台体，判断②；利用反证法判断③；通过，，两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，判断④．【详解】如图所示，.四边形为梯形.对于①，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故①正确；对于②，因为，所以“羡除”一定不是台体，故②正确；对于③，假设四边形和四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，与已知四边形为梯形矛盾，故不存在，③正确；对于④，若，，两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，故④错误，故选：C.9．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由曲线与有一条斜率为2的公切线，求得切线方程，求出的导数，利用切线斜率求得切点的横坐标，代入求得切点坐标，再代入切线方程即可求得的值.【详解】由，由点斜式得切线方程：，对曲线，，代入得，，将代入，得：.故选：A.10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为，连接，即可得四边形为平行四边形，从而求出，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出的值，利用面积公式可求出的面积，根据和的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，依题可知四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，由可得，依题可知，由余弦定理可得：即；又因为点在椭圆上，则，所以.两式相减得，即，所以的面积为：因为为的中点，所以故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.11．某校开设了素描､摄影､剪纸､书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程.则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选素描 B．丁有可能没有选素描C．乙丁可能两门课都相同 D．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描.那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描.综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确.不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况:由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确.故选:C.【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.12．如图，，，，，是球上5个点，为正方形，球心在平面内，，，则与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】球心在正方形内，，，可知即为所求异面直线所成角，且可求，，，结合余弦定理求余弦值即可.【详解】∵为正方形，故，即为所求异面直线所成角，∴，且，得：，，∵在△中，有，得：∴在△中.故选：D【点睛】关键点点睛：由正方形性质确定所求异面直线所成角的平面角，又球心在正方形内，应用勾股定理、余弦定理，求角的余弦值.二、填空题13．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为___________.【答案】【分析】由化简已知条件得，结合数量积求夹角公式即可得解.【详解】由，均为单位向量，则，又，，即，即，所以，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积公式的应用，合理使用公式是解题的关键，考查学生的运算与转化能力，属于基础题.14．请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出满足已知的函数.【详解】答案不唯一，如：，等．15．如图，函数的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线交的图象于点D，O(坐标原点)为的重心(三条边中线的交点)，其中，则的面积为___________.【答案】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为O为的重心，且，可得，解得，所以，所以，所以，所以，解得，可得，由，即，可得，解得，又由，所以，所以，于是，故的面积为.故答案为：.16．设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________.【答案】【分析】作出函数图象，讨论的范围，根据，再讨论公差的范围，判断是否满足等差数列，得出答案.【详解】画出函数的图象如如图所示.当时，，，…数列是首项为，公差为-4的等差数列，符合题意；当时，因为是等差数列，若其公差，则，使得，这与矛盾；若其公差，则，解得或.则当时，为常数列.当时，为常数列，此时为等差数列，符合题意；若其公差，则，使得且，则等差数列的公差必为-4，因此，∴，解得(舍去)或.又当时，这与是等差数列矛盾.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列与函数的综合问题，关键在于运用函数的图象，值域，以及等差数列的定义及性质，讨论首项，公差的范围，问题得以解决.三、解答题17．在中已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，，求的周长.【答案】（1）；（2）20.【分析】（1）化边为角将化为，利用两角差的余弦公式整理得：，从而求出B.（2）直接利用余弦定理求出边，即可求得的周长.【详解】（1）由及正弦定理，得，因为，所以，即，亦即，由于，所以，所以.（2）在中，由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.故的周长为20.18．如图，在四棱锥中，已知，，，，.（1）证明：平面平面；（2）设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明，，取中点为点，连，，说明．利用勾股定理证明，推出平面．然后证明平面平面．（2）延长和，使其相交于点，说明，，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为．利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的大小即可．【详解】（1）证明：因为，，所以，即.又因为，所以.取中点为F点，连，，因，.所以.因，，，所以四边形是正方形，所以.且，所以，∴.又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）延长和，使其相交于点E，则平面与平面的交线即为.由（1）知，，，故以点F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.又平面的法向量为.设直线与平面所成角的大小为.则，故所求直线与平面所成角的大小为.19．已知点在椭圆上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，当时，.（1）求椭圆C的方程；（2）直线，分别交y轴于M，N两点，问：y轴上是否存在点Q，使得，，(O为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，点，理由见解析.【分析】（1）路已知条件列出，求解，即可得到椭圆方程；（2）假设存在点使得，，成等比数列，则．，两点关于轴对称，设，，则，，求出直线的方程，直线的方程，然后求解、的纵坐标，通过，求解，说明垂直，使得，，成等比数列．【详解】（1）由题意得，解得.故所求椭圆C的方程为.（2）假设存在点使得，，成等比数列，则.因为直线交椭圆于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.设，则，因为，则直线的方程为：，令，得.直线的方程为：，令，得.因为，所以.又因为点在椭圆C上，所以.所以，即.故存在点，使得，，成等比数列.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度较大．20．已知函数，对于，恒成立.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解；（2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可.【详解】（1）由恒成立，得对恒成立.令，，令，得当，，单调递增；当，，单调减，所以.故所求实数a的取值范围为.（2）证明：由（1）得恒成立，要证，只需证即可.令，令，易知在单调递增，且，，故存在，使得.当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，又，，.故当时，.【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.21．某种高危传染疾病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期约为14天，期间有很大的概率传染给他人，一旦发病，对感染者身体机能的损害很大.某市为了防止该传染疾病继续扩散，疾病预防控制中心决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者.由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需采用混样检测的方式进行筛查，即将多份样本混合为一个样本池进行检测.已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者则为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.在实际检测中，若检测结果为阴性，则说明样本池中没有感染者，不需再检测；若为阳性，则对样本池中每一份样本进行逐一筛查.（1）假设每个样本检测为阳性的概率为p，且每个样本的检测结果相互独立.若将10个样本混为一个样本池，每个样本平均需要消耗多少次检测？（2）据《柳叶刀》发表的研究结果显示，通过混样检测方法进行检测时，在保证灵敏度和准确性的前提下，一个样本池允许最多混合30个样本，且混合样本数越少，准确性越高.已知某市总人口约有1100万人，该市的单日检测能力为10万样本/天，预计该市每个样本检测为阳性的概率.若该市提出“十天大会战”(即在十天内对全市所有人口进行疾病筛查)，请问，在确保10天能全部检测完该市所有人口血液样本的前提下，一个样本池至少要混合多少个样本？(参考公式：(，远小于1)【答案】（1）；（2）每个样本池至少需要13个样本，才能完成检测.【分析】（1）设含有10个样本的样本池所需的检验次数为，说明可以取得值为1，11，求解概率，求解期望，即可得到结果．（2）设含有个样本的样本池所需的检验次数为，求出分布列以及样本池所需要的检验次数的期望表达式，通过近似计算以及函数的单调性，转化求解当时，当时，推出，然后推出每个样本池至少需要13个样本，才能完成检测．【详解】（1）设含有10个样本的样本池所需的检验次数为X，则X可以取得值为1，11，且，，于是其分布列为：111于是，这个样本池所需要的检验次数的期望为：，故平均每个样本需要的检测次数为.（2）设含有k个样本的样本池所需的检验次数为Y，则其分布列为：1于是，这个样本池所需要的检验次数的期望为：，故平均每个样本需要