华东师大版初中八年级数学下册第19章集体备课教案含教学反思

第19章矩形、菱形与正方形

19.1矩形

1.矩形的性质

教字目标

【知识与技能】

了解矩形的有关概念,理解并掌握矩形的有关性质

【过程与方法】

经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识,掌握几何思维

方法

【情感态度】

培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值

【教学重点】

掌握矩形的性质，并学会应用

【教学难点】

理解矩形的特殊性

教学国旌

一、情境导入，初步认识

收集有关长方形的图片，让学生进行感性认识，引入新课一一矩形.

【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.

二、思考探究，获取新知

探究：矩形的性质

1.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察.不管怎么

拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）

2.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止，让学

生观察这是什么图形？

【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫

长方形）.

3.让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形

的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.思考矩形还具有

哪些特殊的性质？为什么？

【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的方法来解决重点，突破难点.

【归纳结论】矩形性质1矩形的四个角都是直角.

矩形性质2矩形的对角线相等.

4.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

【教学说明】引导学生尽可能多的发现结论，养成善于观察的好习惯.

三、运用新知，深化理解

1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOB=60°,AB=4cm,

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的

特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得A0AB是等边三角形，因此对角

线的长度可求.

解：•..四边形ABCD是矩形，

.'AC与BD相等且互相平分.

/.0A=0B.又NAOB=60°,

/.△0AB是等边三角形.

0A=AB=4cm.

.•.矩形的对角线长AC=BD=2OA=2X4=8（cm）.

2.已知：如图，矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD

的长及点A到BD的距离AE的长.

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三

角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算

题中常用的方法.

解：设AD=xcm,则对角线BP长(x+4)cm,在RtAABD中，由勾股定理:

X2+82=(X+4)2,解得x=6.则AD=6cm.

“直角三角形斜边上的高”是一个基本条件，利用面积公式，可得到两直角

边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEXDB=ADXAB,解得AE=4.8cm.

3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF1AE于F,若AE=BC.求

证：CE=EF.

分析：CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分，若AF=BE,则问题解

决，而证明AF=BE,只要证明4ABE丝4DFA即可，在矩形中容易构造全等的

直角三角形.

证明：•••四边形ABCD是矩形，

AZB=90°,且AD〃BC.

/.Z1=Z2.

VDF±AE,/.ZAFD=90°.

.\ZB=ZAFD.又AD=AE,

/.△ABE^ADFA(AAS).

:.AF=BE.

，EF=EC.

此题还可以连接DE,证明ADEF之得至ljEF=EC.

【教学说明】给予学生足够的时间，让学生先独立思考后，小组合作，由不

同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩

形中的基本图形.

4.若矩形一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为

22或20cm.

分析：本题需分两种情况解答

即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm,或者矩形的角平分线分一

边为3cm和4cm.

当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2X(3+4)

+2X4=22cm；

当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2X(3+4)+2X

3=20cm.

解：分两种情况

当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2X(3+4)

+2X4=22cm；

当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2X(3+4)+2X

3=20cm.

【教学说明】本题考查的是基本的矩形性质，学生需要注意的是分两种情况

作答即可.

四、师生互动，课堂小结

1.师生回顾矩形的性质.

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

，课后作业

1.布置作业:教材P101练习.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集

中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容

易把握问题的本质.真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学

生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构.

2.矩形的判定

教字目标

【知识与技能】

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一

步培养学生的分析能力.

【过程与方法】

通过探索矩形判定的过程，培养学生实验探索的意识；形成几何分析思路和

方法.

【情感态度】

培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.

【教学重点】

理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.

【教学难点】

定理的证明方法及运用.

事教学国震

一、情境导入，初步认识

1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？

2.矩形有哪些性质？

3.矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

【教学说明】通过这些问题，教师可以检查学生学习的情况.

4.事例引入：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两

根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做

的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？

【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.

二、思考探究，获取新知

1.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这

个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.

【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.

2.动手操作：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.

思考：（1）随着Na的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？

【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备；

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形

三、运用新知，深化理解

1.的平行四边形是矩形.

_________________的四边形是矩形.

2.下列说法正确的是（）

A.一组对边平行且相等的四边形是矩形

B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

分析：矩形的判定定理有：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；据此判断.

解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；

B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,

故B错误；

C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形

是矩形"），故C错误；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.

【教学说明】学生口答展示第1、2道题，训练学生的语言表达能力，

3.如图所示，OABCD的四个内角的平分线分别相交于E,F,G,H,试说

明四边形EFGH是矩形.

R

解：VZHAB+ZHBA=90°

，ZH=90°

同理可求得

ZHEF=ZF=ZFGH=90°

...四边形EFGH是矩形.

4.（一题多解题）如图所示，AABC为等腰三角形，AB=AC,CDLAB于

D,P为BC上的一点，过P点分别作PE_LAB,PF_LCA,垂足分别为E,F,

则有PE+PF=CD,你能说明为什么吗？

A

BPC

解法一：能.如图所示，过P点作PHLDC,垂足为H,

A

BPC

可得四边形PHDE是矩形

，PE=DH,PH〃BD

，ZHPC=ZB

又•.•AB=AC

/.ZB=ZACB

:.ZHPC=ZFCP.

又•.•PC=CP,ZPHC=ZCFP=90°

.,.△PHC^ACFP

APF=HC

.,.DH+HC=PE+PF

即：DC=PE+PF.

解法二：能.延长EP,过C点作CH_LEP,垂足为H,如图所示,

A

!)/

F.A

•.•可得四边形HEDC是矩形

，EH=PE+PH=DC,CH〃AB

/.ZHCP=ZB.

.,.△PHC^APFC

.,.PH=PF

.,.PE+PF=DC.

【教学说明】到黑板展示第3、4道题，有多种证明方法的题目学生口答展

示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和

分析问题的能力.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

，课后作业

1.布置作业:教材“习题19.1”中的第1、2、3、5题.

2.完成本课时对应练习.

教学反思

本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定

进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提

供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发

学生的数学兴趣，提高学生的数学水平.

19.2菱形

1.菱形的性质

教字目标

【知识与技能】

理解菱形的概念，掌握菱形的性质

【过程与方法】

经过探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中培养学

生思维意识，体会几何说理的基本方法.

【情感态度】

培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观

【教学重点】

理解并掌握菱形的性质

【教学难点】

形成合情推理的能力

5教学亘旌

一、情境导入，初步认识

分四人小组，先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等.然后进行

全班性交流.

引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.

二、思考探究，获取新知

教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平

移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱

形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.

【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.

如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.

思考：1.这是一个什么样的图形呢？

2.有几条对称轴？

3.对称轴之间有什么位置关系？

4.菱形中有哪些相等的线段？

【教学说明】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课

堂学习的热情.

【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、

对角线互相垂直.

三、运用新知，深化理解

1.如图,菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,则B、D两点之间的距离

为（A）

A.15B.1523

C.7.5D.153

【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的

边长.

2.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC且DE交BC的延

长线于点E.

求证：DE=-BE.

2

分析：由四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BDJ_AC,ZDBC=30°,

又由DE〃AC,即可证得DELBD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

即可证得DE=』BE.

2

证明：方法一：如下图，连接BD,

,四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

.,.BD±AC,ZDBC=30°,VDE^AC,

ADEIBD,即NBDE=90°,

.\DE=-BE.

2

刁

BE

方法二：•.•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

，AD〃BC,AC=AD,VAC/7DE,

二四边形ACED是菱形，

，DE=CE=AC=AD,又四边形ABCD是菱形，

.\AD=AB=BC=CD,

/.BC=EC=DE,即C为BE中点,

.*.DE=BC=-BE.

2

【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度

不大，注意数形结合思想的应用.

3.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的中点，过

O点作OELAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

分析：(1)根据菱形的四条边都相等，又NA=60°,得到4ABD是等边三

角形，/ABD是60°；

(2)先求出OB的长和NBOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜

边的一半即可求出.

解：(1)在菱形ABCD中，AB=AD,ZA=60°,

AAABD为等边三角形，

•,.ZABD=60°；

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又丁。为BD的中点，

/.OB=2,

XV0E1AB,及NABD=60°,

/.ZBOE=30°,

.\BE=1.

【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角

边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.学生自主完成，对有一定难度可相互交

流，最后由教师总结.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补

充.

博课后作业

1.布置作业:教材教13“练习”

2.完成本课时对应练习.

争教学反思

在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中

发展学生的主动审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实

应用和常用方法.

2.菱形的判定

教与目标

【知识与技能】

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.

2.会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主

动探究的思想和说理的能力.

【情感态度】

培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观

察能力、动手能力及逻辑思维能力.

【教学重点】

菱形的两个判定方法.

【教学难点】

判定方法的证明方法及运用.

,“教学国程

一、情境导入，初步认识

回顾：

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质：性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条

件）

【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.温故

而知新.

二、思考探究，获取新知

1.试一试.

如图作一个四条边都相等的四边形.

口DC

AR

步骤：

（1）画两条相等的线段AB、AD；

（2）分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两条相交于点C；

（3）连结BC、CD,即得一个四条边都相等的四边形ABCD.

观察你所画的图形，它是菱形吗？

你能证明你的结论吗？

【归纳结论】菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂

直.

［教学说明】首先教师活动让学生观察，而后让学生自己动手亲自体验活动,

从而猜想出结论来.

已知：在OABCD中，AC±BD

求证：DABCD是菱形

数学语言：

•••四边形ABCD是平行四边形，AC1BD;

，0ABCD是菱形.

2.画一画

如图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.

步骤：

(1)作两条互相垂直的直线m,n,记交点为点0；

(2)以点0为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段

0A、0C；

(3)以点0为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线上截取相等的两条线段

OB、0D；

(4)连结A,B,C,D四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD,

显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.

和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形.

思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？

【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.

数学语言：

•.,在四边形ABCD中，

AB=BC=CD=DA

四边形ABCD是菱形.

【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动，从而猜想出结论来并进行证明.

从而加深印象.

三、运用新知，深化理解

1.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG

与FH交于点0,则图中的菱形共有（B）

C.6个D.7个

2.下列说法正确的是（B）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

D.对角线相等的四边形是菱形

3.已知：如图0ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、

求证：四边形AFCE是菱形.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

，AE〃FC.

/.Z1=Z2.

又/A0E=NC0F,A0=C0,

.".△AOE^ACOF.

.*.EO=FO.

四边形AFCE是平行四边形.又EFLAC,

£7AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

4.如图，在AABC中，ZBAC=90°,ADJ_BC于D,CE平分NACB,交

AD于G,交AB于E,EFLBC于F,求证：四边形AEFG是菱形;

证明：；CE平分NACB,EA±CA,EF±BC,/.AE=FE,

VZ1=Z2,

.•.△AEC四△FEC,

，AC=FC,

VCG=CG,

/.△ACG^AFCG,

/.Z5=Z7=ZB,

，GF〃AE,

VAD±BC,EF±BC,

:.AG〃EF,

VAG=GF（或AE=EF）,

四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结

果.让学生养成从题目中找解题信息、，从图形中找解决问题的突破口.

四、师生互动，课堂小结

1.师生回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是

菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

2.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

：,课后作业

1.布置作业:教材“习题19.2"中第2、3、4题.

2.完成本课时对应练习.

孽教学反思

本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性,而且通过动手做一做,

然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习

中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.

19.3正方形

敦与目标

【知识与技能】

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

【过程与方法】

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探

索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度】

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主

义教育，提高学生的逻辑思维能力.

【教学重点】

正方形的判定方法.

【教学难点】

正方形的判定方法.

孽教学亘旌

一、情境导入，初步认识

1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行

四边形呢？

2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？

【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发

其学习热情.

【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方

形.

二、思考探究，获取新知

1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？

2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？

【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等

且互相垂直平分.

正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.

3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个

图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感

受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.

三、运用新知，深化理解

1.如图，AABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方

形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对

数为()

A.12B.13

C.26D.30

分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三

角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.

解：设AB=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的

有5个，它们组成10对全等三角形；

斜边长为夜的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个,

它们组成1对全等三角形；共计26对.

故选C.

2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A(0,1),点B(0,0),则点C,

D坐标分别为和.(只写一组)

分析：首先根据正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),在坐标系内

找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C,D的坐标.

解：•.•正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),

，AD〃x轴，CD〃y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别

为:C(1,0),D(1,1).或C(-l,0),D(-l,l).(写其中一组即可)

3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG±EF,垂足为

G,月.AG=AB,求NEAF度数.

分析：根据角平分线的判定，可得出4ABF之aAGF,故有NBAF=NGAF,

再证明AAGE之AADE,有NGAE=NDAE；

所以可求NEAF=45°

解：在RtAABF与RtAAGF中，

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZAGF=90°,

/.△ABF^AAGF(HL),

，NBAF=NGAF,

同理易得：Z\AGE丝Z\ADE,

有NGAE=NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG=1ZDAG+-ZBAG=-ZDAB=45°,

222

故NEAF=45。.

4.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E、F分别在BC、CD上，且NBAE=30。,

ZDAF=15°.

(1)求证：DF+BE=EF；

(2)求NEFC的度数；

分析：(1)延长EB至G,使BG=DF,连接AG.利用正方形的性质，证明

△A'BG^AADF,AFAE^AGAE,得出DF+BE=EF；

(2)根据4AGE且4AFE及角之间的关系从而求得NEFC的度数;

解：(1)延长EB至G,使BG=DF,连结AG

•.•正方形ABCD,

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90°,

VBG=DF,

.,.△ABG^AADF,

，AG=AF,ZGAB=ZDAF.

VZBAE=30°,ZDAF=15°,

.,.ZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

/.△FAE^AGAE,

，EF=EG=GB+BE=DF+BE；

(2)VAAGE^AAFE,

/.ZAFE=ZAGE=75°,

VZDFA=90°-ZDAF=75°,

/.ZEFC=180o-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

ZEFC=30

5.已知：如图，D是aABC的BC边上的中点，DE±AC,DF±AB,垂足

分别是E、F.且BF=CE.

(1)求证：AABC是等腰三角形；

(2)当NA=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.

分析：先利用HL判定Rt/XBDFgRCCDE,从而得到NB=NC,即4ABC

是等腰三角形；

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正

方形.

(1)证明：VDE±AC,DF±AB,

/.ZBFD=ZCED=90°,

又•.•BD=CD,BF=CE,

.,.RtABDF^RtACDE,

/.ZB=ZC.

故AABC是等腰三角形；

(2)解：四边形AFDE是正方形.

证明：VZA=90°,DE±AC,DF±AB,

...四边形AFDE是矩形，

又•:RtABDF^RtACDE,

，DF=DE,

四边形AFDE是正方形.

6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延

长线上的点，且4ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若NAED=2NEAD,求证：四边形ABCD是正方形.

分析：(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得A0=0C.

又•.♦△AEC是等边三角形.，BEJ_AC,...四边形ABCD是菱形；

(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得NADO=NDAE+

ZDEA=15°+30°=45°,•四边形ABCD是菱形，AZBAD=2ZDAO=90°,

四边形ABCD是正方形.

证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO.

:△ACE是等边三角形，

/.EO±AC(三线合一)

四边形ABCD是菱形.

(2)从上易得：^AOE是直角三角形，

.\ZAED+ZEAO=90o

「△ACE是等边三角形，

AZEAO=60°,

ZAED=30°

VZAED=2ZEAD

.,.ZEAD=15°,

,ZDA0=ZEAO-ZEAD=45°

•..四边形ABCD是菱形.

/.ZBAD=2ZDAO=90°

,平行四边形ABCD是正方形.

【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾正方形有哪些性质？

2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？

3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

;,课后作业

1.布置作业:教材“习题19.3"中第1、2、3题.

2.完成本课时对应练习.

教学反思

本课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上也是对平行四边形、矩形、菱

形的复习、归纳和总结，培养了学生的发散思维能力.前边已经学习了平行四边

形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的

综合.可以通过本节的学习，总结、归纳前面所学内容，弄清学习中存在的一些

模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.

章末复习

'教学目标

【知识与技能】

熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进

行有关的证明和计算

【过程与方法】

引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和

归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想

【情感态度】

在整理知识点的过程中培养学生的独立思考习惯，让学生找到解决特殊平行

四边形问题的一般方法，并感受成功

【教学重点】

使学生能熟练运用特殊平行四边形的性质、判定定理

【教学难点】

构造平行四边形解决问题

"承教学亘睚

一、知识结构

一个角是

直角矩一组邻边

对角线形相等

平相等

四

行四边形

边

四一组邻边相等且有一个

形

边角是直角平行四边形

形

一组邻边

正

菱

形

一个角方

矩

对角线形

互相垂直

两条边相等

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们

之间的关系

二、释疑解惑，加深理解

1.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.

2.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形

是矩形.

3.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、

对角线互相垂直.

4.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形

是菱形.

5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线

相等且互相垂直平分.

6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形;

有一个角是直角的菱形叫做正方形.

【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、

判定.

三、典例精析，复习新知

1.矩形的一条较短边的长为5cm,两条对角线的夹角为60°,则它的对角线

的长等于Wcm.

2.已知菱形的锐角是60°,边长是ZQcm,则较长的对角线是206cm.

3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果4ABE为等边三角形，那么

NDCE=11度.

4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩

形ABCD的面积为(C)

A.98B.196

C.280D.248

分析：设小长方形的长、宽分别为x、y,根据周长为68的矩形ABCD,可

以列出方程4x+7y=68；根据图示可以列出方程2x=5y,联立两个方程组成方程

组，解方程组就可以求出矩形ABCD的面积.

解：设小长方形的长、宽分别为x、y,

心〜口4x+7y=68

依题意得-

解之得[IO

[y=4

，则矩形ABCD的面积为7X10X4=280.故选C.

5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AP〃BD,DP〃AC,

AP、DP相交于点P,则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.

分析：由AP〃BD,DP〃AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由

AO=DO判断四边形AODP为菱形.

解：四边形AODP是菱形，理由如下：

•.•AP〃BD,DP//AC,

...四边形AODP是平行四边形

又•••矩形的对角线互相平分且相等，

得AO=DO,

由菱形的判定得四边形AODP为菱形.

6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地

ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形

BEDF的面积.

分析：连结DE、BF,因为四边形ABCD是矩形，所以AB〃CD,进而求

证DF=BE,再求证FD=FB,即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算

公式即可计算菱形BFDE的面积.

解：如图，连接DE、BF,

•.•四边形ABCD是矩形，

，AB〃CD,

.,.ZODF=ZOBE,

由EF垂直平分BD,

得OD=OB,ZDOF=ZBOE=90°,

.'.△DOF且△BOE,

故DF=BE,

...四边形BEDF是平行四边形，

又...EF是BD的垂直平分线，

四边形BFDE是菱形，

S菱形BFDE=-EF-BD=-X30X40=600(m2).

22

7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形

组成，设中间最小的一个正方形边长为1,求这个矩形色块图的面积.

分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的

边长为1,可利用边长之间的关系建立等式.

解：DF-AE=1,AE=BE+1,2CF-DF=1

DF=AE+1,AE=CF+1+1,DF=CF+3,

2CF-CF-3=1,解得CF=4,

，BE=5,AE=6,

.,.AB=11,BC=13

S=ABXBC=1IX13=143.

【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进

理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.

四、复习训练，巩固提高

1.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15cm,则短

边的边长为5cm.

分析：本题首先求证由两条对角线的夹角为60°的角为等边三角形，易求

出短边边长.

2.已知：如图，在矩形ABCD中，CE±BD,E为垂足，ZDCE：ZECB=3：

1,则NACE=41度

分析：根据矩形的性质首先求出NDCE,ZECB的度数.然后利用三角形

内角和定理求解即可.

3.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,AE交CD

于点F,贝FNE=22.5度.

分析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么NACB=45°,即

ZACE=135°,在等腰4CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理

求得NE的度数.

【教学说明】让学生先独立完成，而后不会的问题各小组交流讨论得出结果.

养成学以致用的好习惯.

4.如图，以AABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形，即4

ABD、ABCE>AACF,请回答下列问题，并说明理由.

（1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当4ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；

分析：（1）四边形ADEF是平行四边形.根据aABD,aEBC都是等边三

角形，容易得到全等条件证明△DBEgAABC,然后利用全等三角形的性质和平

行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形.

（2）若四边形ADEF是矩形，则NDAF=90°,然后根据已知可以得到N

BAC=150°.

解：(1)四边形ADEF是平行四边形.

理由：

VAABD,AEBC都是等边三角形.

，AD=BD=AB,BC=BE=EC

ZDBA=ZEBC=60°

，ZDBE+ZEBA=ZABC+ZEBA.

/.ZDBE=ZABC.

在ADBE和AABC中

VBD=BA

NDBE=NABC

BE=BC,

.".△DBE^AABC.

.,.DE=AC.

又•••△ACF是等边三角形，

:.AC=AF.

.\DE=AF.

同理可证：AD=EF,

...四边形ADEF是平行四边形.

(2)：四边形ADEF是矩形，

/.ZFAD=90°.

AZBAC=360°-ZDAF-ZDAB-ZFAC=360°-90°-60°-60°=150°.

/.ZBAC=150°时，四边形ADEF是矩形.

五、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补

充.

【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间

的联系与区别.

.＞课后作业

1.布置作业:教材“复习题”中第6、7、9、10、13、15题.

2.完成本课时对应练习.

,*教导反思

通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事

物之间的联系与区别.从而加强对新知识的应用与理解.

八年级数学下知识点总结

四边形知识点:

正方形

一个角是直角直角梯形

三、串犍瑚舞勺性质（重点）:

(1)两组对边分别平行;

(2)两组对边分别相等;

ABCD是平行四边形n，⑶两组对角分别相等;

—■—*,—•・■・，、I，，，.I.t.V.,-，、［一、

一.两组对边分别平行｝的四边形是平行四边形.

从边看J一组对边平行且相等

I三.两组对边分别相等

从角看----四.两组对角分别相等

从对角线看一一五.对角线互相平分

3.矩形的性质:

<1>具有平行四边形的所有通性;

因为ABCD是矩形n(2久喻^

癖形的判定：’「酬薪g赫濡:亍四边

[V.畅I边形.当四边

修好精相贸:SI

(1)具有平行四边形的所有通性;

因为ABCD是菱形n⑵四个边都相等；

6.菱形的判定:G)对角线垂直且平分对角.

(1)平行四边形+一组邻边等'

形(2)四个边都相等■n四边形四边形D是菱

形，、H⑶对角线垂直的平行四边形