2026年重庆市初中学业水平考试数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026重庆市初中学业水平考试仿真模拟试卷数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．2.试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（2页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）1．的倒数是（

）A． B． C． D．2．下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（

）A．了解小米新能源汽车的抗撞击能力的调查B．了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查C．了解某班学生的身高情况的调查D．了解我国超音速导弹东风的杀伤半径的调查4．如图，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．5．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（

）A． B． C．4 D．6．如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（

）A．52° B．48° C．42° D．38°7．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是()A．36 B．74 C．90 D．928．估计的运算结果应在（

）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间9．如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，，连接，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（

）A． B． C． D．10．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（大题6个小题，每小题4分，共24分）11．计算：．12．某公司月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，已知、月营业额的增长率相同，则增长率为．13．若多边形的每一个外角都是其相邻内角的，这个多边形是边形．14．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是．15．如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则，．16．如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．18．如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空：(1)尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形．证明：∵，，∴．在和中，∴（）．∴．∴（等角对等边）．∴是等腰三角形．四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息．甲款评分数据中C组包含的所有数据为：；乙款评分数据中C组包含的所有数据为：．甲、乙两款AI软件满意度评分统计表设备平均数中位数众数甲款8588乙款8586根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整；(2)根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）：(3)在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？20．先化简，再求值：，其中21．重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务．(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数．22．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）23．周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计）（参考数据：）(1)求山顶C到的距离（结果保留整数）；(2)若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．25．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，．(1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)；(2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】本题考查了倒数的定义，一个数a的倒数是（）．根据倒数的定义作答即可．【详解】解：的倒数为，故选：C．2．C【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键；轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；故选：C．3．C【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A．了解小米新能源汽车的抗撞击能力的调查，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；B．了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意；C．了解某班学生的身高情况的调查，适合使用全面调查，因此选项C符合题意；D．了解我国超音速导弹东风的杀伤半径的调查，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；故选：C．4．C【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．5．A【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴故选：A．6．C【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，与圆有关的计算.根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得到【详解】∵的顶点在上，是直径，∴∵∴∴故选：C.7．D【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．【详解】观察图形的变化可知：第1个图形有1×2+2=4个小圆，第2个图形有2×3+2=8个小圆，第3个图形有3×4+2=14个小圆，…，发现规律：第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2．所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92．故选：D．【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题．8．C【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可．【详解】解：∵，且，∴，即，∴的运算结果应在4到5之间，故选：C．9．B【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理.先证明，然后可得，过点A作于点K，进而可得，设，则有，最后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵∴，∴，∴∴，即，∴，∵，∴，∴，过点A作于点K，如图所示：∴是等腰直角三角形，∴，∵且，∴，∴，∴，设，则有，在中，，在中，，∴，解得：，∴，即；故选B．10．C【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解．【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确；若，则，假设可以分解为一个整式的平方，设，则,，，，，,，，,这与矛盾，∴假设不成立，故，则不可能分解为一个整式的平方，∴②正确；若，且，，，，均为正整数，则有，，，，，或，，，，，或，，，，共三种情况，故③错误；故选：C．11．【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．12．【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为，结合5月、7月营业额即可得出关于的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为，根据题意得，，解得，，（舍去），所以，增长率为．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．13．八【分析】设这个多边形的一个外角的度数为x，根据题意列出方程，即可求出x，再根据多边形的外角和是即可求出边数．此题主要考查了多边形内角与外角，根据题意列出方程求出一个外角的度数是解题关键．【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则，解得：，，答：这个多边形为八边形．故答案为：8．14．【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：用A、B、C、D分别表示洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点，列表如下：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数有2种，∴小明抽中洪崖洞和长江索道的概率为，故答案为：．15．##【分析】先利用菱形的性质得到，，再根据切线的性质得到，所以，于是利用勾股定理可计算出，则，，接着证明，利用相似比求出，所以，然后证明，则利用相似三角形的性质可求出，然后计算即可．【详解】解：如图，连接，∵四边形为菱形，∴，，∵以为直径的与相切于点，∴，∴，在中，，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∵为直径，∴，∵，，∴，∴即，解得，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质和圆周角定理，掌握知识点的应用解题的关键．16．69682【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解．【详解】解：∵是一个“平分秋色数”，∴，∵，∴，∵n为完全平方数，且，∴，∴，∴，，∴，，∴，∵，且b、d互不相等，∴，∵为整数，∴，或，，当，时，解得：，，此时，，，，；当，时，解得：，，此时，，，；综上所述，最大的故答案为6；9682．17．；不等式组的整数解为：，，．【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集以及整数解，明确解一元一次不等式组的方法是解题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．【详解】解：由①得，，整理得，，解得，，得，，整理得，，解得，，该不等式组的解集为，该不等式组的整数解为：，，．18．(1)见详解(2)见详解【分析】题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理；掌握判断全等三角形是关键；（1）以点C为圆心，以任意长度为半径作弧，交线段于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点K，连接并交线段于点E，即可完成作图；（2）先证明，从而得到，进而即可得到结论【详解】（1）（2）证明：∵，，∴．在和中，∵，∴（）．∴．∴（等角对等边）．∴是等腰三角形．19．(1)，见解析(2)见解析(3)440【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键．（1）根据中位数的定义可求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出D的人数补全条形统计图；（2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可；（3）根据用样本估计总体的思想求解即可．【详解】（1）∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88，∴分．∵乙款A和|D组人数均为：，C组人数为：10，B组人数为：，∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了6次，∴．∵，∴．甲款D组人数：，如图，故答案为：，87，10；（2）我认为甲款AI软件更受用户喜欢，因为甲款AI软件评分的众数88大于乙款，AI软件评分的众数87，所以甲款AI软件更受用户喜欢；（3）估计对所调查的软件非常满意的用户人数共有440．20．．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案．【详解】解：当时，原式．21．(1)增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个；(2)乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个．【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解答此题的关键．（1）设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案；（2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前4天完成任务”，列出分式方程，解方程即可．【详解】（1）解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，由题意得：，解得：，∴增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个；（2）解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，∴乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个．22．(1)，；，；(2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小(3)【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可．（1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解；（2）描点画图即可；（3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解；【详解】（1）解：∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，；，；（2）解：描点画图如下：由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小（3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方，∴当时，23．(1)1873米(2)玉玉先到达山顶C，见解析【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：（1）过点D作，垂足为F，延长交于点G，得到，，，，解，，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可；（2）利用时间等于路程除以时间，求出二人到达山顶的时间，进行判断即可．【详解】（1）如图：过点D作，垂足为F，延长交于点G，由题意得：，，，，在中，，米，（米），（米），米，在中，米，，（米），（米），山顶C到的距离约为1873米；（2）玉玉先到达山顶C，理由：在中，，米，米，米，思思的爬山速度为70米/分，玉玉的爬山速度为60米/分，玉玉的平路速度为90米/分，∴思思到达山顶C需要的时间（分），玉玉到达山顶C需要的时间（分），∵，∴玉玉先到达山顶C．24．(1)(2)长度的有最大值为，点(3)或【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；（3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线