5.3 诱导公式（第1课时）导学案-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.3诱导公式（第1课时）导学案【学习目标】1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)【自主学习】终边关系图示公式作用公式二角π+α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝cos(π＋α)＝tan(π＋α)＝将π～2π的角的三角函数转化为0～π的角的三角函数公式三角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)=

cos(－α)=tan(－α)=

将负角的三角函数转化为正角的三角函数公式四角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)=cos(π－α)=tan(π－α)=

将～π的角的三角函数转化为0～的角的三角函数【答案】－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα【当堂达标基础练】1.求下列三角函数值(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2040°).解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=.2.化简：【解析】3.将下列三角函数化为锐角的三角函数：【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.利用公式求下列三角函数值：【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）(2)6.填表【答案】【当堂达标提升练】一、单选题1．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(11,4) D.eq\f(9,4)【答案】A【解析】因为sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－eq\f(\r(2),2)，所以原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是()A．1B．2C．0D．－1【答案】B【解析】原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)【答案】B【解析】由题意得tan600°＝－eq\f(3,a)，又因为tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，所以－eq\f(3,a)＝eq\r(3)，所以a＝－eq\r(3).4．设sin160°＝a，则cos340°的值是()A．1－a2 B.eq\r(1－a2)C．－eq\r(1－a2) D．±eq\r(1－a2)【答案】B【解析】因为sin160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin20°＝a，而cos340°＝cos(360°－20°)＝cos20°＝eq\r(1－a2).5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).二、多选题6．下列结论中，正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据诱导公式逐项分析即得.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.7．已知角满足，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用诱导公式化简所求代数式，即可得解.【详解】因为，则且，当为奇数时，原式；当为偶数时，原式.故原式的取值可能为、.故选：AC.8．在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则【答案】CD【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【详解】解：因为角终边经过点，则对于：，故错误；对于：，故错误；对于：，故正确；对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.故选：CD.三、填空题9.eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．【答案】1－sinθ【解析】原式＝eq\r(2－2sinθ－cos2θ)＝eq\r(2－2sinθ－1－sin2θ)＝eq\r(sinθ－12)＝1－sinθ.10．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.【答案】eq\f(12,13)【解析】由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13)，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).11．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，则eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝________.【答案】－eq\f(7,3)【解析】因为sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，所以eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(\f(8,5)＋4,－4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).四、解答题12．已知tan(7π＋α)＝2，求eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)的值．[解]∵tan(7π＋α)＝2，∴tanα＝2，∴eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×2,4－2)＝2.13．已知f(α)＝eq\f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝－eq\f(sinαcosα－tanα,－tanαsinα)＝－cosα.(2)∵sin(α－π)＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)∵－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).【当堂达标素养练】一、单选题1．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③sin(2A＋2B)＋sin2C；④cos(2A＋2B)＋cos2C.其中为常数的是()A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】B【解析】①sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；②cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；③sin(2A＋2B)＋sin2C＝sin[2(A＋B)]＋sin2C＝sin[2(π－C)]＋sin2C＝sin(2π－2C)＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；④cos(2A＋2B)＋cos2C＝cos[2(A＋B)]＋cos2C＝cos[2(π－C)]＋cos2C＝cos(2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C.故选B.2．已知a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))，b＝coseq\f(23π,4)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案】B【解析】a＝－taneq\f(7π,6)＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，b＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，c＝－sineq\f(33π,4)＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，∴b＞a＞c.二、多选题3．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称【答案】ACD【分析】对于A，直接代入公式计算即可；对于B，由结合勾股定理即可求得的长；对于C，将代入坐标即可；对于D，将代入坐标即可.【详解】由勾股定理可得，同理可得，故A正确；由题意得，由勾股定理得，故B错误；当时，即，即，点，关于轴对称，故C正确；当时，，即，即，故点，关于轴对称，故D正确.故选:ACD.4．已知函数，则（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.【详解】对于A，，故A正确.对于B，，故，故B错误.对于C，，故，故C错误.对于D，当k为奇数时，；当k为偶数时，，所以.故D正确.故选：AD.5．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件；，故B不符合条件；，即，又，∴，故C符合条件；，即，又，∴，故D不符合条件.故选：AC.6．在平面直角坐标系xOy中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于y轴对称 D．当时，点，关于x轴对称【答案】ACD【分析】根据点坐标及两点距离公式、同角三角函数关系求得，且，结合各项描述、诱导公式、特殊角函数值判断它们的正误.【详解】由勾股定理得，同理得，故A正确；由题意得，由A及勾股定理得，故B错误；当时，，即，，即，点，关于y轴对称，故C正确；当时，，即，，即，故点，关于x轴对称，故D正确.故选：ACD三、填空题7．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2018)＝8，则f(2019)的值为________．【答案】6【解析】因为f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋7＝asinα＋bcosβ＋7，所以asinα＋bcosβ＋7＝8，所以asinα＋bcosβ＝1，又f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋7＝－asinα－bcosβ＋7＝－1＋7＝6.所以f(2019)＝6.8．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπxx＜0，,fx－1－1x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值为________．【答案】－2【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)－1))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－1))－2＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－sineq\f(π,6)－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝eq\f(1,2)－eq\f(5,2)＝－2.]四、解答题9．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解]由条件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A