湖北省教研联盟2023-2024学年高三年级下册4月联考数学试题新高考卷含答案

湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4

绝密★启用前(新高考卷)月联考数学试题(新高考卷)

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92,88,95,93,90,97,94,96,其中位数为

A.91.5B.93C.93.5D.94

2.已知集合/={—1,0,123},2V={xx>l},则Mn〔RN二

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{-1,0}D.{-1,0,1)

3.设z=——，则彳=

2-i

人2i-2i〃2ic2i

D.-------

55553333

4.圆心为(2,1),且与直线x-2y+5=0相切的圆在x轴上的弦长为

A.2B.4C.V5D.2V?

5.若底面半径为r,母线长为/的圆锥的表面积与直径也为/的球的表面积相等，则/=

/T_-]

A.VI-1B.--------C.D.

2

45

6.在△45。中，taiL4=—,48=3,AC=4则点4到边5C的距离为

2f

A.延B.叵C.巫D.

323

7.定义域均为R的函数/(x),g(x)满足/(x)=g(x—l),H/(x-1)=g(2-x),则

A.7(x)是奇函数B./(X)是偶函数C.g(x)是奇函数D.g(x)是偶函数

8.在棱长为2的正方体45C。-4%。巴中，P，。，尺分别为线段助，B]C,CQ上的动点，则依+30?

的最小值为

A.2巫B.4A/2C.375D.5

数学试题(新高考卷)第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.某次数学考试满分150分，记X,¥分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X〜N(90,400),

TV(100,300),则

A.甲班的平均分低于乙班的平均分

B.甲班的极差大于乙班的极差

C.成绩在［100,110］的人数占比乙班更高

D.成绩在［90,100］的人数占比甲班更高

10.设sin52°=/,则

A.cos76°=1-2产

B.sin104。=2^1-产

C.tan38°=^-^-

t

D.sin64°=1-Ji—?

2

11.已知O为坐标原点，双曲线C：W-4=l(a>0,b>0)的左顶点为4,右焦点为尸，过/且平行于y轴的

ab

直线与C的一条渐近线交于点8,过8且平行于x轴的直线与了轴交于点。，若,则C的离心

率等于

3「B向「cM-1

\BDf

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(l,—l),b=(2,1),则。•(0-/>)=.

13.已知抛物线G：/=2X,g：/=-4x的焦点分别为耳，苞，一条平行于x轴的直线与。2分别交于

点Z,B,若卜片|=忸丹|,则四边形48外片的面积为.

14.已知函数/(x)=2》3-3—+3.设后为正数，对于任意x,若+人)|二者中至少有一个大于2,

则k的取值范围是.

数学试题(新高考卷)第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

22/7

已知椭圆C:三=1（。>6>0）的离心率为—，且过点尸（1,—

a~b-3

（1）求C的方程；

（2）设过C的左焦点且斜率为正的直线与。交于〃，N两点，求△尸儿W的面积.

16.（15分）

如图，四棱锥尸-/BCD的底面是正方形，尸。，平面4BCD,PD=AB,£为尸8的中点.

（1）证明：平面；

（2）若尸为的中点，求二面角B-CE-E的大小.

17.（15分）

某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有=5,6,…）个

大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球.

（1）当”=10时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；

（2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%,

求〃的最大值.

数学试题（新高考卷）第3页（共4页）

18.(17分)

对于数列｛%｝,｛耳｝及常数,,若满足4+1="+〃,且，+i=(p+l)a〃,则称｛册｝对｛"｝关于0耦合.

(1)若应｝对。｝关于0耦合,且%=1,4=2,求幺+写+…+缚;

4b2b2n

(2)若｛许｝对也”｝关于1耦合，且％=4=1,求也｝,｛，｝的通项公式;

(3)若存在PL，使得｛叫对也J关于Pi耦合，且｛。：｝对｛片｝关于小耦合，证明：。1也€｛-2,0｝.

19.(17分)

“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现.

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为(0,+8).设点尸(国,乃),尸*(%,西)，。(尤2,%)，规定

阳|=旧+疗，且对于运算“保”，P③。表示坐标为区超，%%)的点•若点。，产，〃满足厂=竹8。③少，

则称『与U相似，记作「〜U.若存在单调函数0(x)和0*(x),使得对于了="(x)图像上任意一点T,T*均

在y=9*(x)图像上，则称0*(x)为0(x)的镜像函数.

(1)若点M(l,2),|同|=5,且N〜M,求M*③N*的坐标；

(2)证明：若6*(x)为仇幻的镜像函数，A(xA,yA)~B(x3,ys),则黑兴=二；

。(。(马))B

(3)已知函数/⑴=e”+，一1,/*(》)为/⑺的镜像函数.设尺〜S,且网＞网.

证明：〃忸*|)/*(网|)＞内忸区5*|.

数学试题(新高考卷)第4页(共4页)

绝密★启用前(新高考卷)

数学参考答案

1.【答案】C

【解析】92,88,95,93,90,97,94,96的中位数是史士竺=93.5.

2

2.【答案】D

【解析】"={—1,0,123},N="|x>l},则[RN={X|XW1},所以MCI[RN={-1,0,1}.

3.【答案】B

【解析】Z=-L=l+1,故7=2一_1.

2-i5555

4.【答案】B

【解析】圆心(2,1)到直线x-2y+5=0的距离为B-2+目=石,即圆的半径r=石，所以

Vl2+22

圆的方程为(x-2)2+(y-l)2=5,令y=0,则x=0或4,故圆在x轴上的弦长为4.

5.【答案】D

【解析】圆锥的表面积为兀〃+兀户，球的表面积为4兀(，)2=兀〃，故兀”+兀户=兀/2,即

(二八j=0,故二=逅」

III2

6.【答案】A

【解析】由tan/=C,可知sin/=吏cosA=—.由余弦定理有

233

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA=9,故BC=3.设点/到边3c的距离为d,由三

角形面积公式得：-sinA-AB-AC=--BC-d,故1=任.

223

7.【答案】D

【解析】由/(x)=g(x-l)可知/(x_l)=g(x_2),又因为/(x-l)=g(2-x),故

g(x-2)=g(2-x),即g(x)=g(-x),故g(x)是偶函数.

且根据题意可得/(x)=/(2-x),故/(X)不一定是奇函数或偶函数.

8.【答案】A

【解析】设R在线段CD,CG上的射影分别为E,F,根据题意有尸

QR=^QF2+RF2,故£尸和尸0均取最小值时，即且尸0，4c时满足要求.

数学参考答案(新高考卷)第1页(共8页)

设RE=x,则火b=2—x,

故PR+3Q7?=12+(^-x)2+3-^(2-x)2+(-^-x)2~+—4x+4.

设/(x)=gx+3,--4x+4，则f(x)=4)

,故/'⑴=0,当xe[0,l)

VV2浮—4x+4

时，f\x)<0,/(x)单调递减，当xe(l,2］时，f'{x}>0,/(x)单调递增，故/(x)的最

小值为/(1)=276,即刊?+3QR的最小值为2碗.

9.【答案】AC(选对部分得3分)

【解析】甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，故A正确；

甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，故B错误；甲班的平均分为

90分，乙班的平均分为100分，且乙班方差小，成绩分布更集中，故甲班成绩在区间［90,100］

的人数占比低于乙班，且低于乙班成绩在区间［100,110］的人数占比，故C正确，D错误.

10.【答案】BC(选对部分得3分)

【解析】cos76°=-cos104°=2sin252°-l=2t2-1,故A错误;

sin104°=2sin52°cos52°=2/J1-产,故B正确.

rec1cos52°Jl-1

tan380=---------=---------=----------，故C正确；

tan52°sin52°t

2

■,AO”。1-71^71-cos52°1-(1-2sin26°),一。

sm64°=cos26°，------------=-------------=---------------------=sm26°,

222

reqQqin64°

若cos26°=sin?26°,贝!]sin26°=---------=---------->sin64°,矛盾，故D错误.

sin26°sin26°

11.【答案】BCD(选对部分得3分)

【解析】设C的半焦距为c,离心率为e,则有析(一a,0),B(-a,b),D(0,b),F(c,0),

当AD尸时，由直角三角形射影定理可知产|,甫’;广1,

叫=竺入，叫一J同-寒、叫』。邪乎="人,故A错误

\AD\OA忸02配『10H2QA

=/+62=02,|^|2c)2,

B正确，C正确；又=b2+c2t,尸「=(a+且

数学参考答案(新高考卷)第2页(共8页)

222222

\AD^+\DF^=\AF^,^c+Z?+c=(a+c),又因为r=02—t?,^c-ac-a=0,

即『一e-l=O,解得e=^^.

2

12.【答案】1

【解析】因为a=(l,-l),5=(2,1),故a-b=(-l,-2),a.(a-/>)=lx(-l)-lx(-2)=1.

13.【答案】迪

2

【解析】设Z(xQi),B(x2,y2),根据题意可知必=%，故2西=一4%2，BPxx=-2x2,又

由抛物线的定义可知=西+5,忸7胃=—、2+1，当|，尸1|=忸歹2|时，西+5=—、2+1，

故占=1,%2=—L|乃|=|%|=e'，所以I片居H|=3,四边形48尸2月是平行四边形，

22

故四边形的面积为闻•|/@=•归-引=竽.

ABF2FXM

14.【答案】1(535)U(2,+8)

【解析】/r(x)-6x2-6x,令/'(x)=0,则x=0或x=l,当x<0或x>l时，/r(x)>0,

/(x)单调递增，当0<%<1时，Ax)<0,/(x)单调递减，所以/(、)的极大值是/(0)=3,

极小值是/⑴=2.当%>1时，/(x)=|/(x)|>2；令/(x)=2,BP2X3-3X2+1=0,因为x=l

322—

是极小值点，设存在x0使得2%—3x+1=2(%—I)(x—%0)=0,解得/=—，故当—/<x<l

时，/(%)=|/(x)|>2；易知/(-I)=一2,故当X<-1时，/(x)<-2,|/(刈>2,且当-l<x<—g

时，|/(x)|<2.结合/(x)的图像可知，对于任意x,若|/(x+初二者中至少有一

个大于2,则51＜左3＜|■或左＞2,即左的取值范围是（j131）U（2,+oo）.

15.（13分）

【解析】（1）设c的半焦距为。，则£=立.……1分

a3

故Z?2=/_/=2a........3分

3

将尸（1,一平）代入c的方程有5+?=1,故*=1，/=3，b2=2.

22

所以C的方程为=+J=l.……5分

32

数学参考答案（新高考卷）第3页（共8页）

（2）由（1）可知C的左焦点为（-1,0）.……6分

故过左焦点且斜率为的直线为/：＞=缶+/.……7分

将/与C的方程联立有2#+3X=0.……8分

3

设〃（国,必），NO2,%），则不妨取西=0，x2........9分

i^\MN\=43\x1-x2\=^-.……10分

正+3+后「

且尸至I"的距离,4=--------——3="2V6+2.……11分

'V2+13

所以的面积为的吐幺=1＞迪义2遂+2=3行+".……]3分

22232

16.（15分）

【解析】（1）方法1：如图，连接3。，交NC于点G,因为是正方形，故3OL/C,

又因为PDJL平面/3CD,/Cu平面Z3CD,故BD_LNC,由于3。。尸。=。，

所以NC_L平面尸因为DEu平面尸Q3,故DEJ./C........2分

取线段为的中点〃，连接EH,因为E为尸8的中点，则〃/反……3分

又因为ABLPD,且尸。|"|40=。，故平面为D,且E〃J_平面为D,

所以为.……5分

因为以，且DHCEH=H,故R1J,平面

DEH,PAIDE........6分

由于24n/c=/,

所以DE_L平面为C........7分

方法2：以。为坐标原点，D4为x轴，DC为y轴,

。尸为z轴建立坐标系，设卜理=2,则P(2,0,0),

C(0,2,0),£(1,1,1),尸(0,0,2),

所以百=(2,0,-2),PC=(0,2-2),DE=(1,1,1).

设平面R4C的法向量为4=(%0，%/0),贝！J

2%o—2z0—-0

4分

2y0_2z()=0

不妨取x0=l,则4=(1,1,1)=DE,……6分

所以。£_L平面以C........7分

数学参考答案（新高考卷）第4页（共8页）

(2)以。为坐标原点，'为x轴，DC为y轴，。尸为z轴建立坐标系，设|48|=2,则5(2,2,0),

C(0,2,0),£(1,1,1),尸(2,1,0),

所以前=(-2,0,0),CE=(1-1,1),FC=(-2,1,0).……10分

设平面3CE与平面CE尸的法向量分别为/«=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),贝()

—22=0f—2%2+%=0

、国一乂+Z1=0［工2-%+Z2=0

不妨取弘=1,x2=l,则帆=(0,1,1),n=(1,2,1),…・・・13分

所以cos(/»,”〉=｝］=也,...14分

因为［0。,180。］,故二面角8-CE-尸的大小为30。.……15分

17.（15分）

【解析】（1）根据题意有X=0,1,2,

则尸（X=0）=*||，P（X=1）=^^=2,尸（X=2）=……3分

X的分布列为：

X012

2816

p1……5分

454545

।16_2

所以EX=0x——+lx——+2x—……8分

4545455

（2）当有九个小球时，顾客中奖概率为尸=1-冬=1-铝二辿二2=出二9.……12分

4勿一61

故尸225%,即生。……13分

n（n-V）4

解得〃w正叵，满足条件的”的最大值为15.

2

所以若使中奖概率不低于25%,则〃的最大值为15.……15分

18.（17分）

【解析】（1）若｛明｝对｛为｝关于o耦合，则4+1="，且'+1=.〃,

所以an+2=勾+1=an'2+2=〃〃+1=勾，...1分

因为％=1,4=2,

数学参考答案（新高考卷）第5页（共8页）

1,〃为奇数2,〃为奇数

故％，bn=3分

2,〃为偶数1,〃为偶数

所以5+£+…+军」+22+2+…

4分

伪房琮2

=(g+*+…+或r)+(2?+24+…+22")=：(2X40_*1).……6分

(2)若｛%｝对｛2｝关于1耦合，则%+i=b〃+l,且”+1=2。”,

所以%+2=%+1=2%+1,2+2=2%+i=22+2，故*+2+1=2(%+1),.......7分

又因为41=4=1,故。2=许+1=2,

n—1n+1

故当〃为奇数时，%+1=（%+1）x2三，即q“=2〒一1,“8分

n+2

所以当〃为偶数时，6“=%+1-1=2〒-2；“9分

n—2n—2

当〃为偶数时，％+1=（牝+1）义2工，即即=3x2〒一1,10分

n-\

所以当〃为奇数时，4=。“+「1=3*2石-2.11分

n+1n-1

2T-1,〃为奇数，3x2v-2,〃为奇数

综上，a*'b♦12分

nn+2

3x22-1,"为偶数2亏-2,"为偶数

(3)由题设可知，an+i=bn+px,bn+x=(/?j+l)6Zn,且+,2，〃+i=(。2+D。”,

⑴若9=0,则每+i=6“,bn+1=an,片+1=策，比1=%，显然%=0........13分

⑴若由上得。3-*+2地+六』，故嵋弋

假设02=P：，则4=0,4+1=出+l)q,=0,故P1=-1或a4=0........14分

①若0=-1，贝！]。2=。；=1，%+i=6"+Pi=T，比2=(0+l)d+i=2，这与，=。矛盾；

②若a“=0,贝！J0用=0,A=an+1-bn=0,这与0尸0矛盾.

_2

所以若P]W0,则pH。；，bn=———0........15分

2Pl

故片+1=（。2+1）片=5+1）,"0,可得。2=。：+2月，故”4=1........16分

2Pl

所以对于任意〃eN*,an+l=bn+p[=l+p1,且&2=（0+l）a“+i=出+=1,由于°产0,

故n=-2,02=。；+2。1=0，代入题设检验，各式均成立.

综上，p｝,p2e｛-2,0｝.17分

数学参考答案（新高考卷）第6页（共8页）

19.（17分）

【解析】（1）设NUNQN），则根据题意有点=5.……1分

因为N〜M,则存在点少（x印/犷），使得：

（*N，VN）=（了犷，%印）®（1，2）®（x印，了印）=（x犷V犷，）'.......2分

由条件知xwyw〉0,由.Ml=5得J（x印将尸+（2〃%）2=5,解得与加=也,

所以N的坐标为,N*的坐标为（2百,百）.……3分

故M*©N*的坐标为（2,1）0（275,75）=（4A/5,V