河北省石家庄市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（含解析）

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试

高一数学

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的

答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

23

s=t+-

I.某物体做直线运动，其运动规律是则它在第4秒末瞬时速度为（）

67

A.---米/秒B.—米/秒C.8米/秒D.一米/秒

16164

2.[1+：）（1+力4的展开式中’含X?的项的系数为

A.4B.6C.10D.12

3.函数y=gx2-Inx的单调递减区间为

A.(-l,l]B.(0,1]C.[1,+oo)D.(0,+8)

4.甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时，该队获胜，比赛结束）.现在

的情形是甲胜3局，乙胜2局.若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（）

33

A—B.一C.-D.1

4532

5.曲线y=在点（1,1）处的切线方程为（）

A.>'=2x-lB.y=l

cy=xD.y=3x-2

6.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A,B,C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、

丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法

有（）

A.54种B.240种C.150种D.60种

7.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率

论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量丫~9〃,〃），当〃充分大时，

二项随机变量y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量丫的期望

和方差相同.棣莫弗在1733年证明了P的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的P进行了证明.现抛

掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（）（附:

若X,则P（ju-a<X<//+er）«0.6827,-2a<X<〃+2b）®0.9545,

尸（〃-3cr<XK〃+3<T）a0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

2]n3

8.三个数a=w，b-\x\\/2<c=c的大小顺序为（）

e'3

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司过去五个月的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有下列对应数据：

X24568

y▲40605070

工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y对x呈线性相关关系,且经验回归方程为夕=6.5X+17.5,

则下列说法正确的有（）

A.销售额与广告费支出x正相关

B.丢失的数据（表中▲处）为30

C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元

D.若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元

10.下列结论正确的是（）

A.若C；；；=C*2,则机=3

B.（V+x+y），的展开式中的系数是30

C.在(l+x)2+(l+x)3++(l+x)”的展开式中，含的项的系数是220

D.(x-2)7展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事

件4：第一次取出的是红球；事件第一次取出的是白球；事件后取出的两球同色；事件c：取出的

两球中至少有一个红球，贝)

A.事件A，4为互斥事件B.事件8,C为独立事件

3I

c.P⑻=1D.P(C|A)=-

12.已知函数/(x)=lnx,^(x)=x3-2er2+kx(k&R),若函数y=/(x)—g(x)有唯一零点，则下列

说法正确的是()

.,1

AA.k=e+-

e

B.函数g(x)在(e,g(e))处的切线与直线x-ey=0平行

C.函数y=g(x)+2叱2在［0,e］上的最大值为2e?+1

D.函数y=g(x)-二-e、在［0,1］上单调递减

e

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某射手射击所得环数J的分布列如下：

178910

PX0.1y0.4

已知〈的数学期望七(4)=8.9,则了=.

14.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%；加

工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.现从加工

出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为,取到的零件是次品，且是第3台车

床加工的概率为.

15.中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长

达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程

中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且

任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有种(用数字作答)

er,x>0

16.已知函数/(x)=11，若方程/")=2公有三个不同的实数根，则a的取值范围是_________

—X——,%<0

122

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知展开式前三项的二项式系数和为22.

⑴求”的值：

(2)求展开式中的常数项；

(3)求展开式中各项系数的和.

18.已知函数/(x)=--3x+，〃有极小值-6.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)求/W在［-3,4］上的最大值和最小值.

19.北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶.某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥

会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频

率分布表：

收看时间(分钟)[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

频率0.150.150.20.250.150.1

如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”.

(1)根据已知条件请完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？

非冬奥迷冬奥迷合计

女30

男10

总计100

(2)将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率.现在从该地区大量的

电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为

X，且每次抽取的结果是相互独立的.求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量X的期望和方差.

附八n(ad-bc¥

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)S+d)

a=P(,2zk)0.10.050010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

20.3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞

赛”，初赛采用"两轮制'’方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛

都通过的小组才具备参与决赛的资格.高二(A)班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过

第一轮比赛的概率分别是三，一，通过第二轮比赛的概率分别是一，:，且各个小组所有轮次比赛的结果

互不影响.

(1)若高二(A)班获得决赛资格的小组个数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣

10分，三轮后总分高的获胜.假设两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概

率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是-，4,假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在

33

第一题中乙己得10分的情况下最终甲获胜的概率.

21.近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市新春县大力发展大健康产业，薪艾产业化种植已经成为该

县脱贫攻坚的主要产业之一，已知薪艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：。C)有关，现收集

了新艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用)，=。+力五或丁=，+4建立y关于x的回归方程，令s=4，/=,得到如下数据:

XX

Xy57

10.15109.943.040.16

13士-13尸13—

13s•y£立一13T•歹女-田ZX2-13/

1=1i=lk=\i=li=I

13.94-2.111.670.2121.22

且(4，%)与3,%)(i=L2,3,13)的相关系数分别为弓，r2,且与=-0.9953.

(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；

(2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知斯艾的利润z与x、y的关系为z=20y-；x,当x为何值时，z的预报值最大.

参考数据和公式：0.21x21.22=4.4562,11.67x21.22=247.6374,9247.6374=15.7365,对于一组数据(乙,

2%匕.-nu-v

匕)(i=1,2,3,…其回归直线方程v=a+/3u的斜率和截距的最小二乘法估计分别为"=母------

/=1

-nu-v

i=\

a-v-(iu相关系数r=

22.已知函数/(%)=lnx+ox2+(2a+l)x.

(1)讨论/(x)的单调性;

3

⑵“。时，证明…石-2

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试

高一数学

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的

答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

s=t2+-

I.某物体做直线运动，其运动规律是L则它在第4秒末的瞬时速度为（）

A.---米/秒B.---米/秒C.8米/秒D.—米/秒

16164

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数实际意义求解即可.

【详解】因s=t2+~,所以窕=2t-4，

tt

33125

令t=4,则sC=2?44=8-—=—,

421616

125

即在第4秒末的瞬时速度为9米/秒.

16

故选：B

2.1l+g］（l+x）34的展开式中，含x?的项的系数为

A.4B.6C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】将（1+X）4展开，进而求出（1+'）（1+X）4的展开式中含X2的项的系数

X

【详解】(1+x)4=C：x°+C\x'+C：x2+C：x3+C：x'

展开式中含X2项的系数为C42+C43=10.故选C

【点睛】求两个因式之积的特定项的系数，可先展开二项式，或利用通项公式，分析得到特定项有几种情况，

再分别求出对应项的系数，进而得解

3.函数y=gx2-Inx的单调递减区间为

A.(-l,l]B.(0,1]C.[1,+oo)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

2X2—1

【详解】对函数>=4/一心无求导，得x—!•=三二11>0),令｛X解得X€(0,l],因此函数

2xxx、>八0

》二万/一瓜》的单调减区间为(0,1],故选B

考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含定义域

4.甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制(当一队赢得四局胜利时，该队获胜，比赛结束).现在

的情形是甲胜3局，乙胜2局.若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为()

3321

A.-B.-C.-D.—

4532

【答案】A

【解析】

【分析】甲胜第六场的概率为此时就没有必要打第七场了，甲在第六场失败但在第七场获胜的概率为

-X-,把这两个概率值相加，即得甲获得冠军的概率.

22

【详解】甲获得冠军时，只要在未来的2场比赛中至少胜一场即可.

由于两人胜每局的概率相同，故甲胜每一场的概率都是

甲胜第六场的概率为g,此时就没有必要打第七场了；

甲在第六场失败，但在第七场获胜的概率为

224

113

故甲获得冠军的概率为一+一=一.

244

故选：A.

5.曲线y=xe-在点（1,1）处的切线方程为（）

A.y=2x-\B.y=l

C.y=xD.y=3x-2

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

［详解］y=胧1，则>'=（1-x）er=0,

故曲线y=xe"*在点（1,1）处的切线方程为y-l=0x（x—l）,即y=l,

故选：B.

6.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设4,B,C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、

丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法

有（）

A.54利।B.240种C.150种D.60种

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.

【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三门德育校本课程，

每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，

CCC

①三组人数为1、1、3,此时有・A；=60种;

A；

Cc；c；

②三组人数为2、2、1,此时有・A；=90种.

A；

所以共有60+90=150种.

故选：C

7.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率

论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量丫~8（〃,夕），当〃充分大时，

二项随机变量丫可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量丫的期望

和方差相同.棣莫弗在1733年证明了，=g的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明.现抛

掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为()(附:

若XN,,"),则尸(〃一XM〃+er)y().6827,P{/j—2<y<X</z+2cr)«0.9545,

P(/z-3cr<X</J+3cr)«0.9973)

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出"和CT?,然后再利用正态分布的对称性即可求

解.

【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X，则乂

所以E(X)=〃〃=100xg=50,£>(X)=〃p(l-p)=100xgx(l-g]=25,

由题意，XNJ,"),且必=£")=50,o-2=£)(%)=25,

因为P(〃-2cr<X<〃+2cr)«0.9545,

所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为

1-o9545

产(X>60)=P(X>50+2x5)=—x0.0228,

故选：B.

8.三个数a==,〃=ln及，c=3的大小顺序为()

e3

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】据题意可设/(x)=也，求导r(x)=N竺，从而可根据导数符号得出/(X)在(e,+8)上单调递

XX

减，从而得出b,c的大小顺序.

【详解】设/*)=哄，:(力=口竺，

XX

，x>e时，//(%)<0,

・•・/(X)在(e,+8)上单调递减,

„2Ine2,,ln2ln4ln3,.

又a=—7=——,b=lnv2=—=—,c=—,且ue~>4>3

e-e2243

.•./（e2）</（4）</（3）,

:.a<b<c.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司过去五个月的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有下列对应数据：

24568

y▲40605070

工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为9=6.5X+17.5,

则下列说法正确的有（）

A.销售额与广告费支出x正相关

B.丢失的数据（表中▲处）为30

C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元

D.若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据经验回归方程，即可结合选项逐一求解求解.

【详解】由经验回归方程£=6.5X+17.5,可知3=6.5〉0，

所以销售额）与支出的广告费x呈正相关，所以A正确；

设丢失的数据为加，由表中的数据可得工=5,

_220+m/220+，〃、

y=---,把（5,---）代入经验回归方程，

可得」220一+m=6.5x5+17.5,解得加=30,所以B正确；

5

该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确;

当x=8时，3=6.5x8+17.5=69.5（万元），所以D正确.

故选：ABD.

10.下列结论正确的是（）

A.若C；［=C：「2,则加=3

B.(V+x+yp的展开式中的系数是3o

C.在(l+x)2+(l+x)3++(l+x)”的展开式中，含炉的项的系数是220

D.(x-2)7的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据组合数的性质可判断AD,由二项式展开式的特征可判断BC.

【详解】对于A,由于C；；)=,所以加=3/7/—2或根+3机—2=10,解的〃?=3或/〃=1,故A错误,

对于B,，+x+»的展开式通项为C：(x2+无厂/=,0<r<k<5,r,keN,

令k=2,lU—2k-r=5nk=2,r=l,所以的系数为C；C；=30,故B正确，

对于C,(l+x)2+(l+x)3++(1+幻”的展开式中，含f的项的系数是

G+G+C；++C[=C：2=220,故C正确，

对于D,(x-2)7的展开式中，第4项和第5项的二项式系数为C；,C；,由组合数的性质可知C；,C；最大且

C；=C；,故D正确,

故选：BCD

11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事

件4：第一次取出的是红球；事件&：第一次取出的是白球；事件少取出的两球同色；事件c：取出的

两球中至少有一个红球，则()

A.事件a，4为互斥事件B.事件B,C为独立事件

3I

C.P(8)=—D.P(C|A)=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB,由组合数公式及古典概型公式求得P(8)判断C,根据

条件概率公式求得「(C|4)判断D.

【详解】事件A：第一次取出的是红球；事件为：第一次取出的是白球，这两个事件不可能同时发生，它

们是互斥的，A正确;

C；C；+C：C；_3

事件B发生时，取出的两球同为红色或同为白色,则P(B)=故c正确;

C；C；7

cC+c[c；+c；c；5

事件C发生时，取出的两球一红一白或同为红色，则P(C)

GC7

事件8c发生时，取出的两球同为红色，则P(BC)=K请

C7c67

因为P(B)P(C)WP(BC),所以事件B,C不是独立事件，故B错误;

尸(4)=：24。=釜=,,则「©&)=%¥=；，D正确.

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=lnx,g(x)=x3-2ex2+hc(/：€/?),若函数y=/(x)—g(x)有唯一零点，则下列

说法正确的是()

.,1

A.k,—€2H—

e

B.函数g(x)在(e,g(e))处的切线与直线x—ey=O平行

C.函数y=g(x)+2ex2在［0,e］上的最大值为2e?+1

D.函数y=g(x)—二一e?》在［0,1］上单调递减

e

【答案】AD

【解析】

【分析】构造函数，结合导数及函数零点个数可判断A；由导数的几何意义可判断B；由导数确定函数的单

调性后即可判断C；利用导数即可判断D.

］nx

【详解】解：对于A,由〃x)—g(x)=O,化为：——=x2-2ex+Zr(x>0).

X

分别令〃(x)=*^,v(x)=x2-2er+Z(x>0).

函数y=/(x)—g(x)有唯一零点，等价于函数"(x)与□(%)的图象有唯一交点.

〃(力=二^-,当0<x<e,w'(x)>0,〃(x)单调递增；当光>e,〃(x)<0,“(x)单调递减，

可得x=e时，函数〃(力取得极大值即最大值，»(e)=-.

e

y(x)=(x-e)2+Z:-e2>Z:-e2,当且仅当x=e时取等号.

:.k-e2=~,即％=e2+-.因此正确.

ee

对于B,^f(x)=3x2-4ex+k,g'(e］=-e2+k=-,g(e)=l,

e

因此函数g(x)在(e,8仁))处的切线方程为％-^=0,因此错误.

对于C,函数y=r(x)=g(x)+2ex2=d+"，

t(x')=3x2+k=3x2+e2+->0,《X)单调递增，

・•・，(x)在［0,e］上的最大值为r(e)=e3+ex^e2+^=2e3+l,因此不正确.

对于D,XG［0,1］时，函数力(尤)=y=g(x)---e2x=x3-2ex2+^e2--e2x=x3-2e%2,

当xe［0,l］,〃(x)=3x?-4er=x(3x-4e)<0,因此函数〃(x)在［0,1］上单调递减，正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方

法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，解题的关键是合理构造函数，应用函数的性质，属于难

题.

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某射手射击所得环数J的分布列如下：

g78910

PX0.1y0.4

已知4的数学期望£偌)=8.9,则y=.

【答案】0.3

【解析】

【分析】根据分布列的概率之和等于1以及由分布列求期望的公式列方程即可求解.

x+0.1+y+0.4=l

【详解】由题意可得：〈

7x+8x0.1+9y+10x0.4=8.9

x+y=0.5x=0.2

即《r-c一解得：1

7x+9y=4.1y=0.3

所以y=0.3,

故答案为：0.3.

14.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%；力口

工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.现从加工

出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为，取到的零件是次品，且是第3台车

床加工的概率为.

3

【答案】①.0.0525②.-

7

【解析】

【分析】首先用数学语言表示已知条件，设8="任取一个零件为次品"，4="零件为第，・台车床加工”。=1,

2,3),贝!|a=4UA2UA3,Ai,A2,2两两互斥.P(4)=0.25,P(A2)=0.3,尸03)=0.45,P(B|Ai)=0.06,

PCB|A2)=PCBH3)=0.05.由条件概率公式计算P(B)；由条件概率公式P(A[8)=与警计算.

【详解】设8="任取一个零件为次品"，4=”零件为第，・台车床加工'唧=1,2,3),则Q=4UA2UA3,A”

A2,A3两两互斥.根据题意得尸(Ai)=0.25,尸如)=0.3,尸(4)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B\AI)=P(B\A3)=0.05.

由全概率公式，

得P(B)=P(ADP(B|4)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|4)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05

=0.0525.

“如果取到的零件是次品，计算它是第泪=1,2,3)台车床加工的概率”，

就是计算在B发生的条件下，事件4发生的概率.

「(413)=生幽=尸(4)尸⑻娟

P(B)P(B)

_0.45x0.05_3

0.0525-7,

3

故答案为：0.0525；-

7

15.中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长

达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程

中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且

任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有种(用数字作答)

【答案】624

【解析】

【分析】分A在第一位、第二位、第三位三种情况，考虑D、E有几种方式，剩下的元素全排即可.

【详解】把A排在第一位，任务D、E相邻的位置有5个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排

列，有A：=24种，共有5x2xA：=240种方案；

把A排在第二位,任务D、E相邻的位置有4个,两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有A：=24

种，共有4x2xA：=192种方案；

把A排在第三位，任务D、E相邻的位置有4个,两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有A：=24

种，共有4x2x4：=192种方案;

总共有240+192+192=624种方案.

故答案为：624.

er,x>0

16.已知函数〃无)=11，若方程/(幻=2公有三个不同的实数根，则〃的取值范围是_________

一x—,x<0

[22

【答案】惇+8)

【解析】

【分析】先验证x=0不是方程/(x)=2次的根，则当中0时，方程〃x)=2or可化为：2a=旦"，

X

令〃(x)=/(0,分析出其单调性等性质，作出其函数图象，方程/(力=2必有三个不同的实数根，即直

线)，=2。与函数〃(x)的图象有3个交点，从而数形结合得出答案.

详解】当x=0时，=此时/(0)=—；H2axO,

所以x=0不是方程/(x)=2ox的根.

当xwO时，方程/(x)=ac可化为：2a=，

X

设/z(x)=""=<x

----,x<0

122x

方程/(x)=2"有三个不同的实数根，即直线y=2〃与函数Mx)的图象有3个交点.

当％<0时，//(%)=---,此时从工)单调递增，且//(x)>L

22x2

当x>0时，力(x)=J,贝！J/z'(x)=G—坐-，

X九一

当0cx<1时，〃'(x)<0,当x>l时，//(x)>0,

所以函数〃(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递减，且而n=&(l)=e,

作出从力的图象如图，

由图可知，当2a>e,即时，直线y=2a与函数力(力的图象有3个交点，

所以方程/(x)=2以有三个不同的实数根时，实数〃的取值范围为(彳,+8.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知(2%+」=］展开式前三项的二项式系数和为22.

⑴求”的值：

(2)求展开式中的常数项;

(3)求展开式中各项系数的和.

【答案】(1)77=6

⑵60

⑶729

【解析】

【分析】(1)利用前三项二项式系数和可直接构造方程求得〃的值；

(2)由二项式定理可得展开式通项，将厂=4代入即可得到常数项；

(3)令x=l即可求得各项系数和.

【小问1详解】

由题意知I：C+C：+C：=l+=22,即〃？+〃—42=0，

解得：〃=6或〃=—7(舍)，.・.〃=6.

【小问2详解】

则其展开式通项为

3

令6----r=0,解得：r=4,

2

•••展开式中的常数项为2?*C：=4x15=60.

【小问3详解】

令x=l,则展开式各项系数和为(2+if=36=729.

18.已知函数/⑴=^/一—7尢+机有极小值-6.

(1)求/⑴的单调区间；

⑵求f(x)在［—3,4］上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递减区间为(—1,3),单调递增区间为(一8,-1),(3,+00)

14

(2)最大值为一，最小值为-6.

3

【解析】

【分析】⑴利用导数求得/(尤)的单调区间；

⑵由/(x)的极小值列方程求得机的值，比较极值和区间端点的函数值，求得/(x)在［-3,4］上的最大值

和最小值.

【小问1详解】

f'(x)-x2—2x—3-(x-3)(x+l)，

令/'(x)>0,解得％<—1或x>3,令/'(x)<0,解得一l<x<3,

所以/(x)单调递减区间为(—1,3),单调递增区间为(—8,-1),(3,+8).

【小问2详解】

由(1)知，f(x)的极小值为/(3)=；X33—32—3X3+/〃=—6,解得机=3.

・・•/5)在(—3,—1)单调递增，在(—1,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，

.../(外的极小值为/(3)=-6,

la,14

/(x)的极大值为/(-1)=-X(-1)3-(-1)2-3X(-1)+3=y

又〃.3)=3(-3万(-3>3><(-3)+3=-6'

/(4)=1x(4)3-42-3x4+3=

所以/(x)在［-3,4］上的最大值为最小值为-6.

19.北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶.某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥

会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频

率分布表：

收看时间(分钟)[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

频率0.150.150.20.250.150.1

如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”.

(1)根据已知条件请完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？

非冬奥迷冬奥迷合计

女30

男10

总计100

(2)将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率.现在从该地区大量的

电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为

X，且每次抽取的结果是相互独立的.求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量X的期望和方差.

_n(ad-bc)2

附/二其中〃=〃+Z?+c+d

(Q+〃)(c+d)(a4-c)(b+d)

«=P(Z2>^)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关.

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(2