2024年新高考数学一轮复习-导数极值点偏移问题（学生版） (二)

专题21导数极值点偏移问题

一、【知识梳理】

【方法技巧】

众所周知，函数了(%)满足定义域内任意自变量x都有/(%)=/(2m-x),则函数/(无)关

于直线彳=相对称；可以理解为函数/(%)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若/(x)

为单峰函数，则》=相必为了(X)的极值点.如二次函数/(%)的顶点就是极值点%,若

y(x)=c的两根的中点为土产，则刚好有土”=与，即极值点在两根的正中间，也

就是极值点没有偏移.

图(1)(左陡右缓，极值点向(左缓右陡，极值点向

(无偏移，左右对称，二次函数)左偏移)若f(%])4%2)，右偏移)苟

若7G1)小％2)，则%1+町=2%0则％]+%2>2%0则孙+%2V2%()

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数/(%)的极值点为加，且函数/(%)满足定

义域内％=相左侧的任意自变量%都有/(%)>/(2加一%)或/(%)</(2加一%),则函数

/(%)极值点机左右侧变化快慢不同.故单峰函数/(%)定义域内任意不同的实数下,％满

足/(%)=/(%),则生产与极值点机必有确定的大小关系：

①若强，则称为极值点左偏；②若加〉文则称为极值点右偏.

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1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:

(1)定函数(极值点为司)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极

值点XQ.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数/(x)=F(x)—F(2苞一x),若证不用>总，则令夕(x)

=f(x)一白

(3)判断单调性，即利用导数讨论尸(x)的单调性.

⑷比较大小，即判断函数尸(X)在某段区间上的正负，并得出f(x)与/^xo—x)的大小关系

⑸转化，即利用函数f{x)的单调性，将f(x)与f(2x-x)的大小关系转化为x与2司一x之

间的关系，进而得到所证或所求.

2.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数.

3.比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比

(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用力表示两个极值点之比(差)，继而将所

求解问题转化为关于力的函数问题.

4.对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明,在解答题中，一般要先证明后应用.

设a,6>0,a手b,则中〉㊀一？诋,其中'一?,被称之为对数平均数,上述不

等式称为对数均值不等式.

二、【题型归类】

【题型一】消参减元

【典例1】已知函数/U)=lnx—@法@为常数,若函数/'5)有两个零点荀,如求证：历・X2>e)

【典例2】已知函数/'(x)=ln(ax)+会了2—2x,a〉0.设不，热是函数f(x)的两个极值点，且

Xl<X2,求证：Xl+X2>2.

【题型二】对称变换

PX

【典例1】已知函数f{x)=--Inx+x-a.

x

⑴若Ax)20,求a的取值范围；

(2)证明：若f(x)有两个零点不，X2,则矛1人2<1.

2

【典例2】已知函数广(x)=-+lnx.

x

⑴求F(x)的极值和单调区间；

(2)若函数g(x)=F(x)—a(a>2)的两个零点为矛,1X2、证明：XI+X2>4.

【题型三】比(差)值换元

【典例1］已知函数广(£)=xlnx的图象与直线尸立交于不同的两点2(矛1,%),B&,度).

求证：X1X2<—

【典例2】已知函数f(x)=——/(旌(0,1

的两个零点为Xi,X2,证明：InXi+ln田>2.

【题型四】对数均值不等式

【典例1］设函数/(x)=e*—依+a(aeR),其图象与x轴交于44,0),3(々,0)两点，且

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：曰)<0(/'(无)为函数/(x)的导函数)；

【典例2】已知f(x)=a一±Tnx有两个零点.，如且水如求证：2〈为+七〈3尸一L

三、【培优训练】

【训练一】已知函数/■(x)=xe7

(1)求函数『(x)的单调区间；

⑵若X1#X2且=f(xz),求证：Xl+X2>2.

1

e

--勿

【训|练二】已知函数广(x)=xln2R.

⑴若g(x)=F(x)(F(x)为/'(x)的导函数)，求函数g(x)在区间［1,e］上的最大值;

(2)若函数广(x)有两个极值点矛1,X?,求证：xiA2>e2.

【训练三】已知函数/⑴=詈，xe(O,7r).

(1)求函数/(另的单调区间；

⑵若药。々，且/(%1)=/(%2)，证明：玉+入2〉(

【训练四】已知函数/(%)="%-%+加11%有两个极值点苟,X2.

(1)求实数力的取值范围；

(2)证明：XiX2<4.

【训练五】已知函数广(x)=x(l—lnx).

⑴讨论Hx)的单调性；

⑵设a,6为两个不相等的正数，且61na-a\.x\b—a-b,证明：2<，+［〈e.

【训练六】已知函数Ax)=(x—2)e、+〃x—1尸有两个零点.

(1)求3的取值范围；

(2)设为，E是F(x)的两个零点，求证：TI+T2<2.

四、【强化测试】

【解答题】

2

1.已知函数/'(x)=-+lnx,若xiW刘，且F(xi)=广(义2),求证：荀+e>4.

x

2.已知函数_f(x)=f,广(不)=广(加=力(0〈荀〈入2,0<Kl).

e

证明：X1+X2>2X1X2.

3.已知函数F(x)=x—Inx—3有两个不同的零点荀，&

⑴求实数a的取值范围；

(2)证明：矛1+上2>〃+1.

4.已知f(x)=3—2alnx,a£R.若尸F(x)有两个零点xi,X2（X1<X2）•

⑴求实数a的取值范围；

⑵若Xo是尸F(x)的极值点，求证：XI+3X2〉4XO.

5.已知a是实数，函数广(x)=alnx—x.

⑴讨论Ax)的单调性；

(2)若/'(x)有两个相异的零点不，X2且汨〉上2>0,求证：xuGe：

6.已知函数f(x)=lnx—ax有两个零点xlfx2.

⑴求实数a的取值范围；

(2)求证:xi•X2>e2.

x

7.已知函数f(x)=——21nx(a£R,aWO).

a

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数广(x)有两个零点矛i,上2(不〈人2),且3=4,证明：矛1+至＞4.

8.已知函数广(x)=He"—x,a£R.若广(x)有两个不同的零点xi,垣.证明：XI+X2＞2.

9.已知函数/⑺二/1nx一办+1.

(1)若人力之。恒成立，求实数〃的取值范围.

2

(2)若函数y=/(x)-加+依-1的两个零点为再，x2,证明：XjX2＞e.

10.已知函数/(%)=—x3-2ax+81nx.

6

(1)若函数/(x)在定义域内单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若函数/(X)存在两个极值点为,电，求证：Xj+x2＞4.

11.已知。eR,/(乃="""，(其中e为自然对数的底数).

(