2024年新高考数学一轮复习-导数与不等式的证明（学生版）

专题20导数与不等式的证明

一、【知识梳理】

【方法技巧】

1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的

函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

2.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而

找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处

g(x)£n》f(x)max恒成立，从而f(X)Wg(x)恒成立.

3.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，e'与Inx要分离，常构造/与In

x,/与e'的积、商形式.便于求导后找到极值点.

4.某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式e*》x+l,

l--^ln向x—1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可

X

以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.

5.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值

问题.

6.在证明过程中，“隔离”化是关键，此处/■(x)nQg(x)陶恒成立.从而f(x)>g(x),但此

处/<x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.

7.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a,再结合所证问题，巧妙引入变

量。=且，从而构造相应的函数.其解题要点为：

X2

联立

利用方程/国)=以加消掉解析式中的参数a

消参

抓商

令。=也，消掉变量为，如构造关于。的函数尔C)

构元X2

用导

利用导数求解函数尔C)的最小值，从而可证得结论

求解

二、【题型归类】

【题型一】移项构造函数证明不等式

【典例1】已知函数F(x)=e，—3x+3a(e为自然对数的底数，aGR).

(1)求/'(x)的单调区间与极值；

3ex31

(2)求证：当3>ln—，且x>0时，一>大王+一-3石.

ex乙x

i9

【典例2】证明：当x>l时，-/+ln

【题型二】换元构造法

【典例1】已知函数_f(x)=lnx—ax(x>0),a为常数，若函数F(x)有两个零点矛i,自(xiW

12

X2).求证：xix2>e.

【典例2］已知函数f(x)=lnx—^ax+x,〃£R.

(1)当3=0时，求函数Ax)的图象在(1,MD)处的切线方程；

⑵若己=一2,正实数xi,.满足_f(xi)+力>2)+xiX2=0,求证：不+三》也2I

【题型三】将不等式转化为函数的最值问题

【典例1］已知函数g(x)=£+加.

⑴若函数g(x)在［1,3］上为单调函数，求a的取值范围；

(2)已知a〉一1,x>0,求证：g{x}>/lnx.

1r>vopI

【典例2】已知函数/'(x)=l——g^=~+--bx,若曲线尸f(x)与曲线尸g(x)的

一个公共点是4(1,1),且在点力处的切线互相垂直.

(1)求26的值；

2

(2)证明：当时，f(x)+g(x)2一.

x

【典例3】已知函数F(x)=lnx+-,w£R.

x

(1)讨论函数/<x)的单调性；

9o——1

⑵当於0时，证明：F(x)2--------.

a

【题型四】将不等式转化为两个函数的最值进行比较

【典例1】已知函数F(x)=alnx+x.

⑴讨论Mx)的单调性；

⑵当a=1时，证明：xf^x)<e".

【典例2】已知函数F(x)=ex2—xlnx.求证：当x>0时，f{x)<xex+-.

e

【典例3】已知函数F(x)=elnx—ax(a《R).

⑴讨论函数F(x)的单调性；

(2)当H=e时，证明：xf(x)—e"+2exW0.

【题型五】分拆函数法证明不等式

19

【典例1】证明：对一切(0,+°°),都有In------成立.

eex

【典例2】已知函数F(x)=elnx—ax(x£R).

⑴讨论函数Hx)的单调性；

(2)当a=e时,证明：xF(x)—e*+2exW0.

【题型六】放缩后构造函数证明不等式

2

【典例1】已知函数/"(x)=aln(I)+』,其中a为正实数.证明：当x>2时，/(x)〈e

+(a-1)x—2a

【典例2】已知函数f(x)=ae"f—Inx—1.

⑴若司=1,求Hx)在(1,Hl))处的切线方程;

⑵证明：当时，Ax)20.

【典例3】已知技(。，1),求证手

三、【培优训练】

【训练一】已知函数/'(x)=xlnx—ax.

(1)当a=—1时，求函数Hx)在(0,+8)上的最小值;

j9

⑵证明：对一切x£(0,+8),都有InX+1〉F一—成立.

eex

【训练二】已知函数广(己=」InX-Q~\ER).

⑴若函数广(x)是单调函数，求力的取值范围；

⑵求证：当。/懿时，产-efl一条

【训练三】已知函数F(x)=1—x+alnx.

x

⑴讨论F(x)的单调性；

(2)若f{x}存在两个极值点不，xz,

他日日找M)一«X2)

证明：----------<a—2.

X\~X^

【训练四】已知函数_f(x)=xe'—x

⑴讨论Ax)的单调性；

(2)证明：当x>0时，f(x)—lnx21.

【训练五】已知函数F(x)=lnx—a*(d£R).

⑴讨论函数Hx)在(0,+8)上的单调性；

(2)证明：ex—e2lnx>0.

9(v—i)eX-1

【训练六】己知函数f(x)=lnl—g(x)

2x—3.

(1)求函数/V)在［L+8)上的最小值;

b—a-+6

⑵设力G0,证明:

In方一In2'

四、【强化测试】

【解答题】

1.已知函数广(x)=匏"-Inx—l(e=2.71828…是自然对数的底数).

⑴设x=2是函数f(x)的极值点，求实数己的值，并求广(x)的单调区间;

(2)证明：当32，时，f(力20.

e

2.已知函数/*(9=1—十」，g(x)=x—Inx

(1)证明:g(x)21；

⑵证明：(x—In才)广(王)>1一；

3.已知函数_f(x)=lnx+-a£R.

x9

⑴讨论函数/1(X)的单调性;

?用——1

⑵当石>0时，证明：Ax)2--------.

a

4.已知函数f(x)=elnx—ax(a£R).

⑴讨论Ax)的单调性；

(2)当a=e时，证明：xf{x}—e"+2exW0.

5.已知函数广(x)=ax—Inx-l.

(1)若f(x)20恒成立，求a的最小值；

P—X

(2)证明：---Px+lnx—1N0.

x

6.已知函数F(x)=xei—ax+1,曲线y=f(x)在点(2,F(2))处的切线/的斜率为3e—2.

(1)求a的值及切线，的方程；

⑵证明:r(x)》o.

7.设a为实数，函数/<x)=e*一2x+2a,xGR.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2—1且x〉0时，e*>V—2ax+l.

8.已知函数F(x)=elnx-ax(aGR).

⑴讨论『(x)的单调性；

(2)当a=e时,证明：xF(x)—e*+2exW0.

9.已知函数/•5)=譬匕6口)，曲线尸/<x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=工

x-vae

(1)求实数a的值，并求F(x)的单调区间；

(2)求证：当x>0时，1.

10.已知函数广(x)=ax+xlnx在x=l2g为自然对数的底数)处取得极小值.

⑴求实数a的值；

(2)当入>1时，求证：/(X)>3(^—1).

11.已知f{x}=xlnx.

⑴求函数F(x)的极值；

19

(2)证明：对一切(0,+°°),都有Inx>——成立.

eex

12.已知函数_f(x)=lnx—ax(d£R).

⑴讨论函数f(x)在(0,+8)上的单调性；

(2)证明：ev—e2ln£>0恒成立.

13.已知函数_f(x)=lnx-x