2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1﹣i D．﹣i2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（）A．π6 B．π4 C．π3 3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.25．（5分）已知a=22(cos1°-sin1°)，b=1-tan222.5°1+tan222.5°A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．（5分）在△ABC中，BD→=2DA→，若A．-23 B．-32 C．27．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，BC=2A．20π B．203π C．20538．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有f(x1不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0” B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件 C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件 D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为OZA．|zB．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0 C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立 D．若(OZ1→+O（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若a＝2，b=5，B=πC．若acosA＝bcosB，则△ABC一定为等腰三角形 D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A．CH⊥BD B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为π3C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是[3D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为[三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知x＞0，则x+4x的最小值为14．（5分）若cos(π6-α)=15．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为．16．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，e→满足|a→|=3，|e→|=1，|b→-a四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量a→，b→，若|a→|=1，|b→（1）求|a（2）当λ为何值时，向量λa→-18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝27，M是PC的中点．（1）证明：BM∥面PAD；（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin(（1）求角A；（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求BDCD21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．22．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）﹣mx是偶函数．（1）求m的值；（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意x∈[-1

2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1﹣i D．﹣i【解答】解：z（1+i3）＝1+i，则z（1﹣i）＝1+i，故z=1+故选：B．2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（）A．π6 B．π4 C．π3 【解答】解：∵a＝2bsinA，由正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=1∵△ABC为锐角三角形，∴B=π故选：A．3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β【解答】解：A：m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，错误；B：m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，错误；C：α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，错误；D：m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，故n⊥β，正确．故选：D．4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2【解答】解：该难题没被解出的概率为p＝（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.3，所以该难题被解决出的概率为1﹣p＝0.7．故选：C．5．（5分）已知a=22(cos1°-sin1°)，b=1-tan222.5°1+tan222.5°A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a=22(cos1°-sin1°)=b=1-c＝sin22°cos24°+cos22°sin24°＝sin（22°+24°）＝sin46°＝cos44°，∵函数y＝cosx在（0°，90°）上单调递减，46°＞45°＞44°，∴cos46°＜cos45°＜cos44°，即a＜b＜c，故选：B．6．（5分）在△ABC中，BD→=2DA→，若A．-23 B．-32 C．2【解答】解：∵BD→∴CB→=CD∴CB→=3CD→-2∴λ＝﹣2，μ＝3，∴λμ故选：A．7．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，BC=2A．20π B．203π C．2053【解答】解：如图，连接AC、BD、A′C′、B′D′，设AC∩BD＝M，A′C′∩B′D′＝N，连接MN．∵棱台ABCD﹣A′B′C′D′侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图当球心在线段MN延长线上时，易得AC=AB2+A'C'=A'B'2由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，即1+（OM+MN）2＝OM2+4⇒1+（OM+1）2＝OM2+4⇒OM＝1，故OC=OC∴外接球表面积为4π如图当球心在线段MN上时，由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，即1+（MN﹣OM）2＝OM2+4⇒1+（1﹣OM）2＝OM2+4⇒OM＝﹣1（舍）．故选：A．8．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有f(x1不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1]【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）在（﹣∞，0）递减，x∈[12，1]时，x﹣2故f（x﹣2）≥f（1），若任意的x∈[12，1]，不等式f（ax+1）≤则x∈[12，1]时，故﹣1≤ax+1≤1，x∈[12，1]故﹣2≤ax≤0，x∈[12，1]故-2x≤a≤0，x∈[1而a≥（-2x）max＝﹣故﹣2≤a≤0，故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0” B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件 C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件 D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立【解答】解：对于A，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，所以A不正确．对于B，若x∈R，则“x2＝1”推不出“x＝1”，反之成立，所以若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件．所以B正确．对于C，举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，则P（A）＝P（B）=12，满足P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件，对于D，若事件A，B相互独立，则满足P（AB）＝P（A）P（B），D说法正确．故选：BD．（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为OZA．|zB．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0 C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立 D．若(OZ1→+O【解答】解：对于A，设z1＝i，z2＝﹣i，则|z1﹣z2|2＝|2i|2＝4，而（z1+z2）2﹣4z1z2＝﹣4，显然不相等，故A错误；对于B，取z1＝1，z2＝i，则有|z1+z2|＝|z1﹣z2|，但z1．z2≠0，故B错误；对于C，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|即|OZ1→-OZ2→由向量减法的运算法则可知，当OZ1→故此不等式恒成立，C正确；对于D，由(OZ1即|OZ1→|＝|OZ2→|，不一定有z1故选：ABD．（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若a＝2，b=5，B=πC．若acosA＝bcosB，则△ABC一定为等腰三角形 D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形【解答】解：A中，在三角形中，由大边对大角，因为A＞B，所以a＞b，再由正弦定理可得sinA＞sinB，所以A正确；B中，若a＝2，b=5，B=π3，因为a•sinπ3=2×32=C中，acosA＝bcosB，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以可得A＝B或A+B=π2，即可得三角形为等腰三角形或直角三角形，故D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得cosC=a2+b2-故选：AD．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A．CH⊥BD B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为π3C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是[3D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为[【解答】解：对于A，如图1，易得DB⊥面A1ACC1，由CH⊂面A1ACC1，可得CH⊥BD，故A正确；对于B，如图2，易得D1B1＝D1A＝B1C＝AC＝D1C=2取AB1中点O，连接D1O，OC，可得D1O⊥AB1，CO⊥AB1，∴∠D1OC为二面角D1﹣AB1﹣C的平面角，在△D1OC中，∵D1O＝CO=2×32=6∴cos∠D1OC=64+对于C，∵H在A处时距离最大，在A1距离最小，当H在A处时，此时A﹣B1CD1为正四面体，且边长为2，设B1CD1的中心为O，则CO=2×32当H在A1处时，由VA1-B1D1C=VC解得h=3∴点H到平面B1CD1距离的取值范围是[33，对于D，如图3建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），设H（1，0，t），0≤t≤1，∵CH⊥平面β，∴平面β的法向量为CH→=（1，﹣1，则直线CD与平面β所成角的正弦值为|CH→⋅DC→||CH→故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知x＞0，则x+4x的最小值为【解答】解：∵x＞0，则x+4x≥24=4故答案为4．14．（5分）若cos(π6-α)=【解答】解：sin=sin=2co故答案为：-715．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为5．【解答】解：设这组数据为x1，x2，⋯，x6，均值为x=不妨设x1＝4，x2＝6，方差为(4-x一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新数据为1，9，⋯，x6，显然新数据的均值与原数据的均值相等，其方差为(1-x即新数据的方差比原数据的方差增加了5．故答案为：5．16．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，e→满足|a→|=3，|e→|=1，|b→-a【解答】解：作OA→=a→，OE→因为|a→|=3，|e→|=1，＜a→，e→＞=作OB→=b→，设点B（x，y），因为|AB→|＝|OB→-OA→|＝所以（x﹣3）3+y2＝1，所以点B在以（3，0）为圆心，以1为半径的圆上；因为对任意的实数t，均有|c→-te→|≥|c→所以t2﹣2e→•c→t+4e→•c﹣4≥0恒成立，所以(2e→⋅c→)2所以(e→⋅c→-2)2≤0，即e→•c→=2，作OC→=c→，设点C（x′，y′），则-12x′+32y′+4＝0，即因为|c→-b→|=|OC→-OB→|＝|BC→|，且点B在圆（x﹣3）2+y2＝1上，点所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，即|BC→|≥|AC→|﹣1，当且仅当点B为线段因为点A（3，0）到直线x′-3y′+4＝0的距离为d=所以点A到点C的距离大于或等于72，即|AC→|所以|BC→|≥|AC→|﹣1≥52，当且仅当AC垂直于直线x′-3y′+4＝0，所以|c→-b→故答案为：52四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量a→，b→，若|a→|=1，|b→（1）求|a（2）当λ为何值时，向量λa→-【解答】解：（1）由已知可得，a→2=|a所以|a所以|a（2）由已知可得(λ即λa所以有λ+3λ﹣1﹣12＝0，解得λ=18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5（2）因为成绩在[40，70）的频率为0.45，成绩在[70，80）的频率为0.3，所以中位数为70+10×（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为100×（0.015×10）＝15和100×（0.01×10）＝10人，故在[80，90）分组中抽取的人数为5×1510+15=3人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两人得分在[90，19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝27，M是PC的中点．（1）证明：BM∥面PAD；（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．【解答】（1）证明：如图，取PD的中点N，连接MN，AN，又M为PC中点，∴MN∥DC，MN=12又AB∥DC，AB=12∴MN∥AB，MN＝AB，∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又BM⊄面PAD，AN⊂面PAD，∴BM∥面PAD；（2）证明：取PD的中点N，连接MN，AN，∵PA＝AD，∴AN⊥PD，∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AN，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∵AN⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．（3）解：由（1）知，AN⊥PD，∴AN=AD∵M，N分别为PC，PD的中点，∴MN∥CD∥AB，∵MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB，∴三棱锥M﹣PAB的体积V＝VN﹣PAB＝VB﹣PAN=13•AB•12•AN•PN=1320．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin(（1）求角A；（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求BDCD【解答】解：（1）由bsin(sinB（12sinA+32cosA）﹣sinAsinB因为B∈（0，π），所以sinB≠0，12sinA=32所以tanA=3，而A∈（0，π），所以A=（2）由∠ADB＝2∠ACB知：AD＝CD，所以C＜A，即C∈（0，π3在△ABD中，有B=2π3-C，∠由正弦定理可得：BDsin所以BDCD=由C∈（0，π3）可得tanC∈（0，3），所以BDCD∈（0，21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．【解答】（1）证明：取AB1中点D，连接BD，因为AB＝BB1，所以BD⊥AB1，又因为AB1＝平面AB1C∩平面ABB1A1，平面AB1C⊥平面ABB1A1，BD⊂平面ABB1A1，所以BD⊥平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以B