2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i2022的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.53．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝04．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A．3π4 B．π2 C．π45．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，A．﹣3 B．-13 C．13 6．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A．15 B．310 C．25 7．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）•（AB→④AC→•AB→＞0A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（32，二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（）A．z的共轭复数为2﹣i B．z的虚部为1 C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（）A．已知a→=(1，2)，b→B．向量e1→=(2，C．若a→∥b→，则存在唯一实数D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A．A与B互斥 B．C与D互斥 C．A与D独立 D．B与C独立（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（）A．若a=3B．若a＝3，△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是．14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设ω=-（1）求证：1+ω+ω2＝0；（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．18．（12分）已知sinα=45，α∈(（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．19．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠（1）求sin∠ACB的值；（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．20．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．21．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．（1）求证：CD⊥AB；（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（1）求AB→（2）Q为线段AP1上一点，若AQ→=m（3）P为边BC上一动点，当PA→⋅PC→取最小值时，求

2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i2022的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：∵i2022＝i2＝﹣1．故选：B．2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.5【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为10×60%＝6，即在第6位和第7位上的数字和的平均数5+62故选：D．3．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝0【解答】解：∵a→，b→不共线，∴la∴存在实数λ，使a→∴λl=1k=λ，∴kl﹣故选：D．4．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A．3π4 B．π2 C．π4【解答】解：依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l＝1，则l2＝r2+h2＝1，底面周长为2πr=1则r=1∴h=1-(∴该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl=π故选：A．5．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，A．﹣3 B．-13 C．13 【解答】解：因为向量a→=(cosθ，sinθ所以﹣cosθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ=-则tan(故选：C．6．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A．15 B．310 C．25 【解答】解：从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，共有C5而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3种，故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=故选：B．7．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）•（AB→④AC→•AB→＞0A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①AB→-AC②AB→+BC③若（AB→-AC→）•（AB→所以|AB→|=|AC→④AC→•AB→＞0但是则△ABC不一定是锐角三角形．所以④不正确．故选：B．8．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（32，【解答】解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，又c＝3，∴可得a=3∵锐角△ABC中，B∈（0，π2所以cosB∈（0，1），所以a=31+2cosB∈（1因为cosC=a2所以a2+b2＞c2，又b2﹣a2＝ac，所以2a2+ac﹣c2＞0，所以2a2+3a﹣9＞0，即（2a﹣3）（a+3）＞0，解得a＞所以a∈（32，3故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（）A．z的共轭复数为2﹣i B．z的虚部为1 C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|【解答】解：z＝i+2i2＝﹣2+i，对于A，z=-2-i，故对于B，z的虚部为1，故B正确，对于C，z在复平面内对应的点（﹣2，1）位于第二象限，故C正确，对于D，z+1＝﹣2+i+1＝﹣1+i，则|z+1|=(-1故选：BCD．（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（）A．已知a→=(1，2)，b→B．向量e1→=(2，C．若a→∥b→，则存在唯一实数D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→【解答】解：A.a→+λb→=(1+λ，2+λ)∴1+λ+2(2+λ)＞02+∴λ∈(-B．∵e1→=4e2→，∴C．若a→∥b→，且b→≠0D．如图，作OA→=a∵|a→|=|∴a→与a→+b→故选：ACD．（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A．A与B互斥 B．C与D互斥 C．A与D独立 D．B与C独立【解答】解：对于A，记（x，y）表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件（1，2），事件B也包含事件（1，2），所以A∩B≠∅，故A与B不互斥，故A错误；对于B，事件C包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5件，事件D包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）共4件，故C∩D＝∅，即C与D互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有6×6＝36件，事件A的基本事件有3×6＝18件，故P(由选项B知P(而事件AD包含的基本事件有（3，6），（5，4）共2件，故P(所以P（AD）＝P（A）P（D），故A与D独立，故C正确；对于D，事件B的基本事件有6×3＝18件，故P(B)=1836而事件BC包含的基本事件有（2，6），（4，4），（6，2）共3件，故P(所以P(B)P(C)=故选：BC．（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（）A．若a=3B．若a＝3，△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0【解答】解：由A＝45°，c＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为D.BD＝csinA＝2×sin45°=2由a=3满足2＜3＜a＝3≥2时，△ABC只有一解．若△ABC为钝角三角形，则C或B为钝角，则0＜b＜2或b＞22若△ABC为直角三角形，则C或B为直角，则b=2，b＝22若△ABC为锐角三角形，则2＜b＜22综上可得：只有AC正确．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是σy2＝a2σx2．【解答】解：∵两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b，在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，∴σx2和σy2之间的关系是σy2＝a2σx2，故答案为：σy2＝a2σx2，14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为2π3【解答】解：边长为a＝5、b＝7、c＝8的三角形ABC中，cosB=5B∈（0，π），∴B=π∴△ABC的最大角C与最小角A的和为π﹣B=2故答案为：2π15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→【解答】解：∵a→∴a→•b→=2x+2，|a∴b→在a→方向上的投影向量为a→∵b→在a→方向上的投影向量为∴2x+25=1故答案为：3216．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为100π3【解答】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x＞0）cm，则OI=因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，所以4×x2×(6-x设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，则QP=所以R2=(23所以外接球的表面积为S=4故答案为：100π四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设ω=-（1）求证：1+ω+ω2＝0；（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．【解答】（1）证明：∵ω=-1∴ω2=-∴1+ω+ω2＝1+（-12+32i）+（2）解：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）＝[1-12+32i﹣（-12-32i=(1+3＝1﹣2＝﹣1．18．（12分）已知sinα=45，α∈(（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=45，α∈(∴tanα=sinαcosα=-43（Ⅱ）∵cosβ=-513，β是第三象限角，∴故cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=6319．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠（1）求sin∠ACB的值；（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．【解答】解：（1）在△ACD中，由正弦定理可得：ACsin则sin∠ACD=265，因为∠所以cos∠ACD=（2）在△ACD，由余弦定理可得：cos∠解得：CD＝4或CD＝﹣6（舍去），因为∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC，在△BCD，cos∠由余弦定理可得：cos∠解得：BD=cos∠BDC=105，sincos∠ADB＝cos（∠BDC﹣∠ADC）＝cos∠BDCcos∠ADC+sin∠BDCsin∠ADC=10在△ABD，由余弦定理可得：AB故AB=20．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（2）应聘者笔试成绩的众数为：70+802=应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（3）由频率分布直方图可知：[90，100]中有：200×0.15＝30，[80，90）中有：200×0.2＝40，[70，80）中有：200×0.3＝60，[60，70）中有：200×0.2＝40，设分数线定为x，则x∈[60，70），（70﹣x）×0.02×200+30+40+60＝150，解得x＝65．故分数线为65．21．（12分）如图，三棱锥A﹣B