广东省广州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

广东省广州市第十六教育集团2023-2024学年八年级下学期期

中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.要使*1在实数范围内有意义，x应满足的条件是（）

A.x=2B.C.x>2D.x<2

2.如图，每个小正方形的边长都是1,A,B,C分别在格点上，则/ABC的度数为（）.

A.30°B.45°C.50°D.60°

3.如图，AO为3ABe的中线，且AB=13,3c=10,AD=12,则AC等于（）

C.12D.13

4.下列计算正确的是（）

A.0+指=6B.30-应=3

C.屈+2=6D.74^2=272

5.如图，在菱形ABC。中，E,尸分别是AB,AC的中点，若£尸=2,则菱形ABC。的周长

C

A.16B.8C.472D.4

6.下列命题的逆命题成立的是（）

A.矩形的对角线相等

B.平行四边形的对角线互相平分

C.菱形的对角线互相垂直

D.正方形的对角线互相垂直且相等

7.下列有关一次函数y=-2x+l的说法中，错误的是（）

A.y的值随着无增大而减小

B.当x>0时，y>l

C.函数图象与y轴的交点坐标为（。,1）

D.函数图象经过第一、二、四象限

8.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与8。相交于点。，于E,AB=6,

AC=2,BD=4,则AE的长为（）

A

A.B而N2/21

BrkJ.---------------

2-I77

9.如图，四边形OA8C为矩形，点A的坐标为（0,2）,点C的坐标为（4,0）,若直线产bTT

将矩形0ABe分成面积相等的两部分，则上的值为（）

y

A

O

A-2B-IC.2D.75

10.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后

FM

得到图⑤，若五边形MCNG厂的面积是正方形EFGH面积的2倍，则会的值是（）

Crr

试卷第2页，共6页

3-6

,3

二、填空题

11.正比例函数，=丘(左H0)的图象过点(-1,3),则％=.

12.RtABC中，三边分别是。，b,c,斜边c=3,则/+62+C2的值为

13.如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的

坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是.

14.如果将直线y=3x-l平移，使其经过点(0,2),那么平移后所得直线的表达式是.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠

部分△AFC的面积为

16.如图，正方形A3CD的边长为4,点£、尸分别在边DC、8c上，且族=CE,AE平

分NCAD,连接。尸，分别交AE、AC于点G、M,P是线段AG上的一个动点，过点P作

RVLAC,垂足为N,连接，有下列四个结论：①S“G=5四边形CEG/；②AE垂直平分AM;

③PW+/W的最小值为2a；④S△⑻=60.其中正确的结论是(请填写序号).

三、解答题

17.计算：(0+3)(6-3)-(6-1)2.

18.如图，在平行四边形ABCD中，E,尸分别是AB,CD上■点，AE=CF,斯交AC于

点。.求证：AO=CO.

19.如图，已知AC_Z,BC,AC=BC=3,BD=2,AD=^\A，

⑴求A8的长；

(2)求△ABD的面积.

12b

20.已知：A=--+——万.

a+ba—b

⑴化简A;

⑵若点P(a,6)是一次函数y=x+®图象上的点，求A的值.

21.如图，点M在YABCD的边4)上，BM=CM,请从以下三个选项中①N1=/2;②

AM=DM；③/3=/4,选择一个合适的选项作为已知条件，使YABCD为矩形.

试卷第4页，共6页

MD

(1)你添加的条件是(填序号)；

(2)添加条件后，请证明YABCD为矩形.

22.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°.

⑴尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

①在线段上作点D,使得点。到点8与点C的距离相等；

②作点。关于直线8C的对称点E,连接C£>,BE,CE.

(2)猜想证明：作图所得的四边形3ECD是否为菱形？并说明理由.

23.1号探测气球从海拔10m处出发，以Im/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球

从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了lh.1号、2号气球所

在位置的海拔%,%(单位：m)与上升时间无(单位：min)的函数关系如图所示.请根

(2)请分别求出%,%与x的函数关系式;

(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m?

24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数，=区+》的图象交X轴于点4(8,0),交y轴于点

1a

B.直线y=5尤-5与y轴交于点D,与直线AB交于点c(6,a).点M是线段5c上的一个动

点(点/不与点C重合)，过点/作X轴的垂线交直线8于点N.设点/的横坐标为机.

(1)求。的值和直线42的函数表达式；

⑵以线段MN，为邻边作口肱VQC,直线QC与x轴交于点E.

①当OW〃?＜三24时，设线段EQ的长度为/,求/与机之间的关系式；

②连接OQ,AQ,当△AOQ的面积为3时，请直接写出用的值.

25.如图1,四边形ABC。是正方形，点E在正方形外角的平分线上，连接AE,记AE与对

角线3。的交点为

图1

⑴求证：AM=EM；

(2)如图2,点N是边AB的中点，连接MN,若MN=迂AN，请探索BE与8。的数量关系，

并说明理由；

⑶在(2)的条件下，记8E与边的交点为点E在BC边上取点P,使BP+DE=PF,

连接AP,AF,求NPAF的度数.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键.

根据被开方数大于等于0,得x-220,由此选出答案.

【详解】解：根据题意，

x—2之0,

解得x>2,

故选：C.

2.B

【分析】连接AC,根据勾股定理逆定理可得.ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形,

据此可得答案.

【详解】解:如图，连AC,

则BC=AC=J12+22=逐,筋=序不=加，

(V5)2+(V5)2=(710)2,

即BC2+AC2=AB2,

二ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,

:.ZABC=45°.

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直

角三角形的判定和性质.

3.D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形中线的定义，根据题意得出班>2+">2=帅2

则三角形AD3为直角三角形，可得AD垂直平分BC,即可求解.

【详解】AD为,ABC的中线，3c=10,

BD=5,

答案第1页，共17页

VAB=13,AZ)=12,

BD2+AD2=AB2>

・•.三角形ADB为直角三角形，

ZADB=ZADC=90°,BD=CD,

AD垂直平分BC,

,-.AC=AB=13.

故选：D.

4.D

【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键.

【详解】解：A.五若不是同类二次根式，不能合并，原计算不正确；

B.3A/2—>/2=2>/2>原计算错误；

C.屈；2=叵,原计算错误；

2

D.74x2=272，计算正确；

故选D.

5.A

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC,再根据菱形的

周长公式列式计算即可得解.

【详解】解：；E、F分别是AB、AC的中点，

.,.EF是△ABC的中位线，

.*.BC=2EF=2x2=4,

，菱形ABCD的周长=4BC=4x4=16.

故选A.

【点睛】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三

边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.

6.B

【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，矩形，平行四边形，菱形，正方形的

判定，熟练掌握矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键.

【详解】解；A、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，该逆命题是假命题，例

如梯形的对角线也相等，不符合题意；

答案第2页，共17页

B、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，该逆命题是真命题，符合

题意；

C、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，该逆命题是假命题，不符合题意；

D、原命题的逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，该逆命题是假命题，不

符合题意；

故选：B.

7.B

【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点问题，对

于一次函数丫=乙+%"为常数，左H0）,当上>0,b>0,丁=依+6的图象在一、二、三象

限；当人>0,b<0,y=的图象在一、三、四象限；当上<0,b>0,y=Ax+6的图象

在一、二、四象限；当上<0,b<0,y=Ax+6的图象在二、三、四象限，当人>0时，y的值

随着无增大而增大，当左<0时，y的值随着无增大而减小.

【详解】解：：一次函数解析式为>=-2x+l,-2<0,1>0

的值随着x增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，故A、D正确，不符合题

思；

当x=0时，y=-2x+l=l,

二函数图象与y轴的交点坐标为（0,1）,当x>0时，><1,故B说法错误，符合题意，C说

法正确，不符合题意；

故选：B.

8.D

【分析】由勾股定理的逆定理可判定△8AO是直角三角形，然后根据平行四边形A8CD的

面积即可求出.

【详解】解：：AC=2,BD=4,四边形ABC。是平行四边形，

/.AO=-AC=\,BO=-BD=1,

22

,:AB=6，

；•AB2+AO2BO2,

：.ZBAC=9Q°,

:在Rt朋C中，BC=4AB。+3=J（追了+2?=",

答案第3页，共17页

*.*SZAARDA/iCL=—2xABxAC=—2xBCxAE,

/.出x2=

.“_2庖

•,AE=--------.

7

故选D

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出ABAC是直角三角形

是解此题的关键.

9.C

【分析】由条件可先求得矩形0A8C的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直

线过矩形的中心，代入可求得左的值.

【详解】解：如图，连接。2、AC交于点。，

——内

—-----------------►

o\Cx

;四边形042c为矩形，点A的坐标为(0,2),点C的坐标为(4,0),

工点。的坐标为(2,1),

•..直线产质-*1(%是常数)将四边形O4BC分成面积相等的两部分，

二直线过点。，

则2k-k-l=l,

解得:k=2,

故选：C.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键.

10.A

【分析】根据题意连接HF,直线HF与AD交于点P,根据五边形MCNGF的面积是正方

形EFGH面积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为/a/,可得GF=X,根

据折叠可得正方形ABCD的面积为9/，进而求出FM即可.

【详解】解：如图，连接HF,直线HF与AD交于点P,

答案第4页，共17页

:五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，

设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为d,2/,

：.GF2=X2,

：.GF=x,

HF=y/2x，

由折叠可知：

正方形ABCD的面积为：f+4x2尤2=9/,

/•PM1=9d,

/.PM=3x,

：.FM=P/f=1(PM-HF)=1(3x-V2x)=1(3-V2)x,

:.FM](3-")无3一6.

GF-x一2

故选：A.

【点睛】本题考查折叠问题，解决本题的关键是掌握对称的性质以及正方形的性质.

11.-3

【分析】将(-1,3)代入y=kx,求得k的值即可.

【详解】：正比例函数＞=履(％中0)的图象经过点(-1,3),

；.3=-k,

解得k=-3,

故答案为-3.

【点睛】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利

用方程解决问题.

12.18

【分析】先由勾股定理求得1+62+C2=9,然后求得/+廿+C?的值.

答案第5页，共17页

【详解】解：AABC为直角三角形，斜边c=3,

.•./+/=/=3?=9,

:.a2+b2+c2=9+9=18.

故答案为：18.

【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系.

13.（7,4）

【详解】试题分析：：四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6,0）,

点C的坐标是（1,4）,，BC=OA=6,6+1=7,...点B的坐标是（7,4）；故答案为（7,4）.

考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质.

14.y=3尤+2

【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b,然后将点（0,2）代

入即可得出直线的函数解析式.

【详解】解：设平移后直线的解析式为y=3x+b.

把（0,2）代入直线解析式得2=b,

解得b=2.

所以平移后直线的解析式为y=3x+2.

故答案为y=3x+2.

【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线

y=kx+b（k#0）平移时k的值不变是解题的关键.

15.生

3

【解析】因为BC为AF边上的高,要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD^ACFB,

得BF=D'F,设D'F=x,则在RtAAFD'中，根据勾股定理求x,则AF=AB-BF.

【详解】解：由于折叠可得：AD，=BC,ZD^ZB,又NAFD=/CFB,

AAFD^ACFB（AAS）,

.\DT=BF,

设D'F=x,则AF=6-x,

在RtAAFD，中，（6-x）2=X2+42,

解之得：x=|,

答案第6页，共17页

，513

・・AF=AB-FB=6—=——,

33

**•SAAFC=~•AF・BC=—.

23

故答案为：t.

【点睛】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设DT=x,根据直角三角形AFD中运用

勾股定理求x是解题的关键.

16.①②③

【分析】①先根据正方形的性质证得.4)石和，DCV全等，即可得至"3=S-同时减

去S°GE即可得到结论;②再利用AS4证得AGM和AG。全等，即可得出A5垂直平分DM；

③连接与AC交于点。，交AG于点H,连接HM,根据题意当点尸与点H重合时，

PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是OO的长，根据正方形的性质求出5。的长，从

而得出DO=2抗,即R0+7W的最小值2后；④先求出AM的长，再根据三角形面积公

式计算即可.

【详解】解：・・•四边形ABCQ是正方形，

・・・AD=DC=BC,/ADC=^DCB=90。，

■;BF=CE,

：.CF=DE,

：.ADE^DCF(SAS),

:・/DAE=/CDF,SADE=SDCF，

••SADE—SDGE=SDCF—SDGE,即SADG=S四边形CEG尸，故①正确；

VZCDF+ZADG=90°,/DAE=/CDF,

：.ZDAE+ZADG=90°,

・•・ZAGD=9Q°,

JZAGM=90°,

：.ZAGM=ZAGD,

•・,AE平分/G4D,

・・・ZMAG=ZDAG,

又AG为公共边，

答案第7页，共17页

,AGM乌AGD(ASA),

GM=GD,

又ZAGM=ZAGD=90°,

/.AE垂直平分DM,

故②正确；

如图，连接BO与AC交于点。，交AG于点X,连接

:四边形ABCD是正方形，

ACLBD,

即OO_LAM,

：AE垂直平分DM,

:.HM=HD,

当点尸与点H重合时，尸河+PN的值最小，

止匕时PA/+PN=+"O=〃D+"O=。。，即PM+PN的最小值是。。的长,

正方形ABCD的边长为4,

AC=BD=4B

DO=-BD=2y/2,

2

即PM+PN的最小值为2近,

故③正确；

,/AE垂直平分DM,

:.AM=AD^4,

又DO=272,

:.S.=-AM-DO=-X4X2A/2=45/2,

nM22

故④错误;

答案第8页，共17页

综上，正确的是：①②③，

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，

最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

17.-8+2百

【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案.

【详解】解:原式=(5-9)-(3-2百+1)

=-8+2百.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是

掌握运算法则，正确的进行化简.

18.证明见解析

【分析】直接利用ASA证明OAE^OCF即可证明AO=CO.

【详解】证明：：四边形ABC。是平行四边形，

ABCD,

：.ZOAE=ZOCF,NOEA=NOFC,

又：AE=CF,

：.△Q4E丝△OC产(ASA),

OA=OC.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对

边互相平行是解题的关键.

19.⑴3亚

⑵小

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆

定理是解题的关键.

(1)根据垂直定义可得NC=90。，然后在Rt^MC中，利用勾股定理进行计算即可解答;

(2)根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得？90?,然后利

用三角形的面积公式进行计算即可解答.

答案第9页，共17页

【详解】(1)vAC1BC,

：.ZC=90°.

AC=BC=3,

•"­AB=7AC2+BC2=V32+32=3夜•

(2),:AB=3垃,BD=2,AD=V14.

•••AD2+BD2=AB2

，△ABD是直角三角形，？O90?.

/.S=-AD.BD=-xV14x2=^.

ABD22

20.(1)-^-

a-b

⑵一半

2

【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点.注意化简的准确性.

(1)利用异分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果；

(2)把P点坐标代入一次函数解析式求出a-b的值，代入原式计算即可求出值.

【详解】(1)解：人士1+一2b^

a+ba-b

a-b2b

(〃+/?)(〃一人)(〃+/?)(〃_〃)

a+b

(〃+/?)(〃_/?)

1

a-b

(2)解：・・,点尸3份是一次函数y=x+0图象上的点,

,•/?=〃+d~l)=—5/2，

•••原式=4=一".

-A/22

21.(1)答案不唯一，①或②

(2)见解析

【分析】(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取;

(2)通过证明可得NA=",然后结合平行线的性质求得NA=90。，从

答案第10页，共17页

而得出YABCD为矩形.

【详解】(1)解：①或②

(2)添加条件①，YABCD为矩形，理由如下：

在YABCD中AB=CD,ABCD,

AB=CD

在一ABM和ADCA/中｛N1=N2,

BM=CM

：.AABM必DCM

：.ZA=ZD,

XVABCD,

：.ZA+ZD=180°,

ZA=ZD=9O°,

；•YABCD为矩形；

添加条件②，YABCD为矩形，理由如下：

在YABCD中AB=CD,ABCD,

AB=CD

在.ABM和ADCM中|AM=DM,

BM=CM

：■AABM必DCM

：.ZA=ZD,

XVABCD,

：.ZA+ZD=180°,

ZA=ZD=9O°,

YABCD为矩形

【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的

判定方法(有一个角是直角的平行四边形是矩形)是解题关键.

22.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图：

答案第11页，共17页

（1）①根据垂直平分线的画法作图即可；②以点。为圆心，0。长为半径画弧，交ON于点

E,连线即可；

（2）由线段垂直平分线的定义可得03=0C,DE，3C,再由轴对称的性质可得OD=OE,

由此即可证明四边形BECD是菱形.

【详解】（1）解：①如图所示，点。即为所求；

②如图所示，即为所求；

（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：

•.•跖V垂直平分8C,

：.OB=OC,DELBC

;点。和点E关于直线BC的对称，

OD=OE,

四边形BECD是菱形.

23.⑴30

（2）J71=x+10,%=/尤+20；

（3）lOmin或30min

【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算》的值，根据人的值、2号探测

气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；

（2）由（1）可得力与％函数图象的交点坐标为（2。,30）,分别代入计算即可；

（3）由题意可得%-%=5或%-％=5,分别计算即可.

【详解】⑴解：6=10+20x1=30,。=（3。-20）+20=；,

故答案为：；，30；

答案第12页，共17页

（2）由（1）可得％与％函数图象的交点坐标为（20,30）,

设％=左％+10,y2=k2x+20,

将（20,30）分别代入可得:30=2%+10,30=20玲+20

解得：勺=1,k°=g

••y—x+10,%—~x+20；

（3）由题意可得%=5或%-M=5,

当必_%=5时，x+10—^—x+20^—5,

解得％=30,

当为一弘=5时，；％+20—（％+10）=5,

解得了=10，

・•・当上升lOmin或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键.

33

24.（1）〃=—，y——x+6

24

S2127

455

13一

【分析】（1）根据直线>=的解析式求出点。的坐标，用待定系数法求出直线A5的

解析式即可;

（2）①用含机的代数式表示出MN的长，再根据MN=C。得出结论即可；②根据面积得出

1的值，然后根据①的关系式的出m的值.

1Q

【详解】（1）点C（6,。）在直线y=；上,

1/33

/.ci——xo-----——,

222

一次函数>=依+6的图象过点A（8,0）和点

次+b=0

6k+b=—'

2

答案第13页，共17页

k=—

解得,4,

b=6

3

直线AB的解析式为y=-,+6；

4

3

(2)①M点在直线>=--x+6上，且M的横坐标为加，

4

一3

的纵坐标为：——m+6,

4

13一

QN点在直线y=上，且N点的横坐标为加，

13

N点的纵坐标为：—m~~,

22

"I3(13155

1142224

点线段EQ的长度为/,

■■\CQ\=l+-,

\MN\=\CQ\,

155,3

---------YYl-I,

24---------2

gp/=6-|m；

②•二△49。的面积为3,

:.^OAEQ=?>,

即gx8xEQ=3,

3

解得石。=:，

4

由①知，EQ=6-^-m,

4

「53

6——m,

44

解得加=m或小=g,

即用的值为2日1或年27.

【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式

是解题的关键.

25.⑴见解析

答案第14页，共17页

(2)BE=BD,理由见解析

(3)ZB4F=45°.

【分析】(1)过点E作EH//BC交BD于点、H,四边形2C即是平行四边形，证明

△D4M乌△HEM(AAS),即可证明AM=EM-,

(2)利用三角形中位线定理得到推出即可证明BE=BZ)；

(3)作出辅助线，利用SAS证明AA。。之△ABP,推出AP=AQ,ZBAP=ZDAQ,再证明

△抬尸四△QAF(SSS),即可求解.

【详解】(1)证明：如图1,过点、