2023届北京市初三5月考数学试题含解析

2023届北京市月坛中学初三5月考数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为2.16x10-3米，则这个直径是()

A.216000米B.0.00216米

C.0.000216米D.0.0000216米

2.如图，点尸是ABC。的边AO上的三等分点，B尸交AC于点E,如果△AE尸的面积为2,那么四边形C0FE的

面积等于()

X-2-1012

y830-10

则抛物线的顶点坐标是()

A.(-1,3)B.(0,0)C.(1,-1)D.(2,0)

4.下列各式计算正确的是()

A.(b+2a)(2a-b)=b2-4a2B.2a3+a3=3a6

C.a3«a=a4D.(-a2b)3=a6b3

5.一块等边三角形的木板，边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么3点从开始至结束所走过的路径长度为

()

3%4万c3»

A.B.——C.4D.2+——

~232

6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45。得到△AB，C，，若NBAC=90。，AB=AC=0,则图中阴影部分的面积等于

D.V2-I

A.a2»a4=a8B.2a2+a2=3a4C.a64-a2=a3D.(ab2)3=a3b6

8.已知A样本的数据如下：72,73,76,76,77,78,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2,则A,

B两个样本的下列统计量对应相同的是()

A.平均数B.标准差C.中位数D.众数

9.下列运算正确的是()

A.a-3a=2aB.(ab2)°=ab2C.、反=+2、万D.也x后=9

10.在平面直角坐标系中，将点P(-2,1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P，的坐标是()

A.(2,4)B.(1,5)C.(1,-3)D.(-5,5)

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数y=-经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4-2A/2)

X

的圆内切于△ABC,则k的值为

12.将一次函数尸2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为.

13.一次函数为=履+6与%的图象如图，则依+b-（x+a）＞。的解集是_.

14.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3,4）,顶点C在x轴的负半轴上，函数y=-(x<0)

x

的图象经过顶点B,则k的值为.

16.数据：2,5,4,2,2的中位数是,众数是,方差是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）已知如图，直线y=-有\+473与x轴相交于点A,与直线y=走x相交于点P.

3

（1）求点P的坐标；

（2）动点E从原点O出发，沿着O—PiA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF，x

轴于F,EBJ_y轴于B.设运动t秒时，F的坐标为（a,0）,矩形EBOF与AOPA重叠部分的面积为S.直接写出：

S与a之间的函数关系式

（3）若点M在直线OP上，在平面内是否存在一点Q,使以A,P,M,Q为顶点的四边形为矩形且满足矩形两边AP:PM

之比为1：6若存在直接写出Q点坐标。若不存在请说明理由。

18.（8分）关于x的一元二次方程x?+（m—1）x—（2m+3）=1.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）写出一个m的值，并求出此时方程的根.

19.（8分）如图，在平面直角坐标系中有RtAABC,NA=90。，AB=AC,A（-2,0）,B（0,1）.

（1）求点C的坐标；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B\C正好落在某反比例函数图象上.请求

出这个反比例函数和此时的直线的解析式.

（3）若把上一问中的反比例函数记为yi,点B，，U所在的直线记为y2,请直接写出在第一象限内当yi<y2时x的取

20.（8分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表:

X/元・・・152025・・・

y/件・・・252015・・・

已知日销售量y是销售价x的一次函数」.求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；当每

件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？

21.（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏:

用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AAi、BBi、CCi,只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉

宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员.若甲嘉宾从中

任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AAi的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的

概率.

c.c,

22.（10分）如图，在AABC中，点/是的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接所，过点C作AB

的平行线CD,与线段所的延长线交于点D,连接CE、BD.

DC

^证:四边形。BEC是平行四边形.若44BC=120°,AB=BC=4,则在点E的运动过程

ABE

中：

①当BE=时，四边形3ECD是矩形；

②当BE=时，四边形3ECD是菱形.

23.（12分）某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止

后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“3”，则奖励3元；若指针指向字母“C”，则奖励1元.一天,

前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？

24.小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学.他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率

为;他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO",与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

2.16x103米=000216米.

故选及

【点睛】

考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为“X10”,其中lW|a|V10,〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

2、B

【解析】

连接FC,先证明△AEF^ABEC,得出AE：EC=1：3,所以SAEFC=3SAAEF,在根据点F是DABCD的边AD上的三

等分点得出SAFCD=2SAAFC,四边形CDFE的面积=SAFCD+SAEFC,再代入AAEF的面积为2即可求出四边形CDFE

的面积.

【详解】

解：VAD//BC,

:.ZEAF=ZACB,ZAFE=ZFBC；

VZAEF=ZBEC,

/.△AEF^ABEC,

.AF_AE_1

••—―f

BCEC3

,/AAEF与&EFC高相等，

:.SAEFC=3SAAEF>

••,点F是DABCD的边AD上的三等分点，

SAFCD=2SAAFC,

二•△AEF的面积为2,

•*.四边形CDFE的面积=SAFCD+SAEFC=16+6=22.

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知

识点.

3、C

【解析】

分析：由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标.

详解：当x=0或％=2时，y=0,当元=1时，丁=一1,

c=0[a-\

4a+2b+c=0,解得</?二一2,

a+b+c=-1[c=0

22

二次函数解析式为y=x-2x=(x-l)-l9

二抛物线的顶点坐标为(L-l),

故选c

点睛：本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键.

4、C

【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断.

解：A>原式=4a?-b?,不符合题意；

B、原式=3a3,不符合题意；

C、原式=a3符合题意；

D、原式=-a6b3,不符合题意，

故选C.

5、B

【解析】

根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°,并且所走过的两路径相等，求

出一个乘以2即可得到.

【详解】

如图：

BC=AB=AC=L

NBCB'=120°,

12077"X14

AB点从开始至结束所走过的路径长度为2x弧BB，=2x=—9.故选B.

1803

6、D

【解析】

VAABC绕点A顺时针旋转45。得到△ABA,ZBAC=90°,AB=AC=0,

.*.BC=2,ZC=ZB=ZCAC,=ZC,=45°,AC，=AC=0,

AADIBC,BCJ_AB,

.,.AD=-BC=1,AF=FCr=—ACf=l,

22

.•.DC，=ACJAD=0-1,

2

二图中阴影部分的面积等于：SAAFC-SADEC=yxlxl-x（、巧-1）=72-1,

故选D.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD,AF,DO的长是解题关键.

7、D

【解析】

根据同底数塞的乘法，合并同类项，同底数幕的除法，幕的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A、a2»a4=a6,故此选项错误；

B、2a2+a2=3a2,故此选项错误；

C、a6^a2=a4,故此选项错误；

D、(ab2)3=a3b6,故此选项正确..

故选D.

考点：同底数塞的乘法，合并同类项，同底数易的除法，暴的乘方与积的乘方.

8、B

【解析】

试题分析：根据样本A,B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论:

设样本A中的数据为七,则样本B中的数据为yi=Xi+2,

则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2,只有标准差没有发生变化.

故选B.

考点：统计量的选择.

9、D

【解析】

直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数塞的性质分别化简得出答案.

【详解】

解：A、a-3a=-2a,故此选项错误；

B、(ab2)。=1,故此选项错误；

C、*=2近，故此选项错误；

D、舟历=9,正确.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数毒的性质，正确把握相关性质是解题关键.

10、B

【解析】

试题分析：由平移规律可得将点P(-2,1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P，的坐标是(1,

5),故选B.

考点：点的平移.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

试题解析：设正方形对角线交点为。，过点。作于点M,ZWL5。于点N；

设圆心为。，切点为H、E,连接QH、QE.

y

E

O

o

•••在正方形A。5c中，反比例函数y=幺经过正方形AOBC对角线的交点,

X

：.AD=BD=DO=CD,NO=DN,HQ=QE,HC=CE,

QHrAC,QELBC,ZACB=90°,

四边形HQEC是正方形,

•.•半径为(1-272)的圆内切于△ABC,

：.DO=CD,

'.'H^+H^QC2,

：.2H£=QC2=2X(1-2应)2,

A0^=18-32V2=(l>/2-1)2,

：.QC=ly/2-l,

：.CD=ly/2-l+(1-2V2)=2五,

：.DO=2y[2,

•；NO^+DgDg(272)2=8,

：.2NO2=8,

：.NO2=1,

：.DNxNO=l,

即：xy=k=l.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出

CD的长度，进而得出DNxNO=l是解决问题的关键.

12、y=2x+l

【解析】

分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.

详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+l；

故答案为y=2x+l.

点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键.

13、x,<—1

【解析】

不等式kx+b-(x+a)>0的解集是一次函数yi=kx+b在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答.

【详解】

解：不等式依+b—(x+a)>0的解集是x<—1.

故答案为：%<—1.

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或

小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横

坐标所构成的集合.

14、-1

【解析】

根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可.

【详解】

解：VA(-3,4),

OC=+4?=5,

；.CB=OC=5,

则点B的横坐标为-3-5=-8,

故B的坐标为：(-8,4),

将点B的坐标代入y=8得，4=—,

x-8

解得：k=-1.

故答案为：-1.

15、3

【解析】

依据可设a=3A,方=2«,代入_化简即可.

【详解】

・••可设a=3k,b=2k,

：.c=3

故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了比例的性质及见比设参的数学思想，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,

中间的两项叫做比例的内项.

16、221.1.

【解析】

先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组

数据的平均数，再根据方差公式S2=1[(XI-元)2+(X2-X)2+...+(xn-%)2]进行计算即可.

n

【详解】

解：把这组数据从小到大排列为：2,2,2,4,5,最中间的数是2,

则中位数是2；

众数为2；

•.,这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)+5=3,

.••方差是：|[(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=1.1.

故答案为2,2,1.1.

【点睛】

本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.

三、解答题(共8题，共72分)

—a2(0<«<3)_

6

17、(1)P(3,C)；(2)S=；(3)Q(l,-V3)；e2(7,T3)

--73a2+1673a-24后(3<a<4)

I2

【解析】

(1)联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；

(2)由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a,代入直线OP解析式表示出E纵坐标，即为EF的长，分两种

情况考虑：当0<%3时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF,表示出三角形OEF面积S与a

的函数关系式；当3<凡，4时，重合部分为直角梯形面积，求出S与a函数关系式.

（3）根据（1）所求，先求得A点坐标，再确定AP和PM的长度分别是2和2百，又由OP=26,得到P怎么平移

会得到M,按同样的方法平移A即可得到Q.

【详解】

y=_氐+4百ro

，解得：一厂；

6[y=^

丁=丁

•••P的坐标为尸（3,6卜

（2）分两种情况考虑:

当0<%3时，由F坐标为（a,0）,得到OF=a,

y=^-a即EF=^-a

把E横坐标为a,代入y=得:

33

此时5=工06£/=走/(0<3)

26

当3<%4时，重合的面积就是梯形面积，

F点的横坐标为a,所以E点纵坐标为—底+4百

M点横坐标为：-3a+12,

二5=(-石a+4扬。」(—岛+4扬(-3。+12)=-辿a2+16^-2473

22

——a"(0<aW3)

所以S=6；

—yfia."+16y[^a—24-\/3(3<aW4)

、2

(3)令y=-百元+46中的y=0,解得：x=4,则A的坐标为(4,0)

则AP=而—4>+(6—0)2=2，贝!|PM=2g

又,,“二正+旧=26

•••点P向左平移3个单位在向下平移73可以得到Mi

点P向右平移3个单位在向上平移也可以得到M2

，A向左平移3个单位在向下平移若可以得到Q!(l,-V3)

A向右平移3个单位在向上平移73可以得到Qi(7,73)

所以，存在Q点，且坐标是Qi(l,-6)，。2(7,6)

【点睛】

本题考查一次函数综合题、勾股定理以及逆定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解

题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

18、(1)见解析；(2)xi=l,X2=2

【解析】

(1)根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得；

(2)取m=-2,代入原方程，然后解方程即可.

【详解】

解：(1)根据题意，△—(m—1)2—4[—(2m+2)]=m2+6m+12=(m+2)2+4,

V(m+2)2+4>l,

方程总有两个不相等的实数根；

(2)当m=—2时，由原方程得：X2—4x+2=l.

整理，得(x-1)(x-2)=1,

解得xi=LX2=2.

【点睛】

本题主要考查根的判别式与韦达定理，一元二次方程ax?+bx+c=l(a^l)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△

>1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当A=1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<1时，方程无实数

根.

19、(1)C(-3,2)；(2)yi=-,y2=--x+3；(3)3<x<l.

x3

【解析】

分析：

(1)过点C作CN±x轴于点N,由已知条件证RtACAN^RtAAOB即可得到AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3

结合点C在第二象限即可得到点C的坐标；

(2)设△ABC向右平移了c个单位，则结合(1)可得点C，，B，的坐标分别为(-3+C,2)、(c,1),再设反比例函

数的解析式为yi=&,将点。，B，的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C，，B，的坐标，这样用待

X

定系数法即可求得两个函数的解析式了；

(3)结合(2)中所得点C，，B，的坐标和图象即可得到本题所求答案.

详解：

(1)作CNLx轴于点N,

/.ZCAN=ZCAB=ZAOB=90°,

:.ZCAN+ZCAN=90。，ZCAN+ZOAB=90。，

/.ZCAN=ZOAB,

VA(-2,0)B(0,1),

/.OB=1,AO=2,

在RtACAN和RtAAOB,

NACN=ZOAB

VJZANC=ZAOB,

AC=AB

/.RtACAN^RtAAOB(AAS),

/.AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3,

又•.•点C在第二象限，

AC(-3,2)；

(2)设AABC沿x轴的正方向平移c个单位，则O(-3+c,2),则B，(c,1),

设这个反比例函数的解析式为：yi--,

X

又点。和B在该比例函数图象上，把点C，和B，的坐标分别代入yi=-,得-l+2c=c,

X

解得c=L即反比例函数解析式为yi=9,

X

此时C，(3,2),Br(1,1),设直线BC的解析式y2=mx+n,

..\3m+n=2

•<，

6m+〃=1

一1

m=——

.•・彳3,

n=3

二直线C，B，的解析式为y2=-1x+3；

(3)由图象可知反比例函数yi和此时的直线BC，的交点为C，(3,2),B'(1,1),

・••若yi〈y2时，则3VxVL

X

点睛:本题是一道综合考查“全等三角形”、“一次函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）

通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形RtACAN和RSAOB；（2）利用平移的性质结合点B、C的坐标表达

出点C，和B，的坐标，由点C，和B，都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C，和B，的坐标，从而使问题得到

解决.

20、（1）y=—x+40；（2）此时每天利润为125元.

【解析】

试题分析：（1）根据题意用待定系数法即可得解；

（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得.

25=15k+b[k=-1

试题解析：（1）设，=依+人，将x=15,y=25和x=20,y=20代入，得：\解得：<

2Q=2Qk+b[b=40

y——x+40；

（2）将x=35代入（1）中函数表达式得：

y=—35+40=5,

二利润=（35-10）x5=125（:元），

答：此时每天利润为125元.

21->（1）—；（2）—.

33

【解析】

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】

解：（1）•.•共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，

.•.甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AAi的概率是=；；

（2）画树状图:

ABC

/N/N挤

A,B,c,AGAa

共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，

31

则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是一=一.

93

22、(1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、1.

【解析】

(1)、首先证明ABEF和AD