河北省邯郸市2024届高三年级下册学业水平选择性模拟考试（二）数学试卷(含答案)

河北省邯郸市2024届高三下学期学业水平选择性模拟考试(二)数

学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知集合4=卜忖—3x—4W0},B=\xy=x^[,则AB=()

A.(0,1]B.[0,4]C.(O,4]D.[0,l]

2.已知复数z满足z2=—1,贝”Z2+2Z|=()

A.lB.V3C.3D.75

3.已知a,B是两个平面，m,〃是两条直线，且mua,nu/3,贝U

“〃7」〃''是“7"，/”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数〃x)=x+」一的图像与x轴相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为

x+2

()

A.y=—xB.y=-x-lC.y=0D.y=x-l

5.由动点尸向圆M:(x+2)2+(y+3)2=l引两条切线上4,PB,切点分别为A,B,若

四边形APfiM为正方形，则动点P的轨迹方程为()

A.(x+2y+(y+3)2=4B.(x+2y+(y+3)2=2

C.(x-2y+(y-3)2=4D.(x-2)2+(y-3)2=2

6.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个

新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的

插法种数为()

A.12B.18C.20D.60.

22

7.已知。为坐标原点，K，B分别是双曲线c：二-斗=1(。＞0，6＞。)的左、右

一a2b2

焦点，P是双曲线C上一点，若直线尸耳和OP的倾斜角分别为c和2a,且

3

tan”*则双曲线°的离心率为()

A.V3B.5C.2Di

a一匕=等.若平面向

8.对任意两个非零的平面向量。和b,定义：。㊉人：：干

H+\b\b[

量a,b满足卜卜卜卜0,且。㊉匕和a少都在集合｛,"€2,0<〃<4中，则

a㊉6+ab-()

37

A.lB.-C.l或」D.l或2

244

二、多项选择题

9.已知函数/(x)=Afsin(a>x+0)CM>0,a>>0,0<<p<n)的部分图像如图所

示，A,3为/(%)的图像与x轴的交点，C为了(%)图像上的最高点，AABC是边长为

1的等边三角形，\OB\=2\OA\,则()

B.直线x是〃尤)图像的一条对称轴

C./(x)的单调递减区间为1：+2左,■1+24(keZ)

口./(%)的单调递增区间为1—|+2防1,：+2防1｝此2)

10.设抛物线后:f=2加>>0)的焦点为R过点P(O,3)的直线与抛物线E相交于点

AB,与无轴相交于点C,|AF|=2,|即=10,则()

A.E的准线方程为y=-2

B.p的值为2

C.|AB|=4A/2

D.Z\BFC的面积与AAFC的面积之比为9

11.已知函数八”的定义域为R,其导函数为/>'（%）,若函数〃2x-3）的图象关于点

（2,1）对称，f（2+x）-f（2-x）=4x,且/（0）=0,则（）

A./（x）的图像关于点（1,1）对称B.〃x+4）="X）

50

C.y'（1026）=2D.Z/⑴=2499

1=1

三、双空题

12.已知b>0,函数〃力=皆一是奇函数，则。=,b=.

13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所

示的五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，设NC4D=i,则

cosa+cos2a+cos3a+cos4a-,cosacos2acos3acos4a=.

四、填空题

14.在长方体ABCD—AgGA中，AB=5,AD=3,/区=4,平面a〃平面

A}ABB},则a截四面体ACp与所得截面面积的最大值为.

五、解答题

15.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，设平面与平面相交于直线/.

P

(2)若平面平面ABCD,PA=PB=®AB=2,求直线PC与平面PA。所

成角的正弦值.

16.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S”，4=3，且61=疯+£.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若〃=—i」，求数列色｝的前〃项和

17.假设某同学每次投篮命中的概率均为

2

(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投〃(〃eN+，〃W33)个球，若这“

个球都投进，则训练结束，否则额外再投100-3八个.试问冏为何值时，该同学投篮次

数的期望值最大？

18.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过M(2,0),N11,-日：

两点.

(1)求C的方程.

(2)43是C上两个动点，。为C的上顶点，是否存在以。为顶点，为底边的

等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

19.已知函数/(%)=6“一如，g(%)=x-mln%.

(1)是否存在实数如使得/(%)和g(x)在(0,+8)上的单调区间相同？若存在，求出

机的取值范围；若不存在，请说明理由.

X

(2)已知X],4是/(%)的零点，2>%3是g(x)的零点.

①证明：m>e；

②证明：1<<e，.

参考答案

1.答案：B

解析：由V—3%—440得一1W九W4,BPA={x|-1<%<4),

B={x\x>0},所以AB=[0,4].

故选：B.

2.答案：D

_/,2;

解析：令z=a+历(a,beR),则z?=片+2。历一/=-1,所以[,解得

2ab=0

a=Q,b—+l,

所以z=±i,故归+2z|=卜1±2胃=6，

故选：D.

3.答案：A

解析：用平面皿西代表平面«,平面ABCD代表平面(5,

反之，当机_L，时，又nu/3,根据线面垂直的性质有,

所以“相，〃”是“相，，”的必要不充分条件，

故选：A.

4.答案：C

解析：令x+^^=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得％=—1,

故P(TO)，=则/''(-1)=1一7"^=0，

(x+2)(-1+2)

则其切线方程为：y-/(l)=r(-l)(%+l),即y=0.

故选：C.

5.答案：B

解析：因为四边形APfiM为正方形，且跖1=上出=1,所以叱=行，

故动点P的轨迹是以〃为圆心，及为半径的圆，其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.

6.答案：C

解析：根据题意，可分为两类：

①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有C；A；=4x2=8种方法;

②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有A；=4x3=12种方法,

由分类计数原理得，共有8+12=20种不同的差法.

故选：C.

7.答案：B

2tana24

解析:由题意得tan2〃=

1-tan2aT

374

所以直线尸々的斜率为tan。=士，直线0P的斜率为二,

47

设5则有wj片，解得、音24c

y=----

-25

7c224c2

代入双曲线方程，得二^-----仁25—=1,

ab

又^=°2一",所以(02—/a2a2c2-a2

化简可得：f—Tc4-2a2c2+a4=0,e=-,

(25ja

所以(Z]e4-2e2+1=0,解得e=5或e=3(e＞l,舍).

U5；7

故选：B.

8.答案：D

解析：因为｛不〃€2,0＜小4卜弓；川，

设向量a和b的夹角为夕，因为忖＞网〉0,所以卜(+|『〉2同目,

a.blalHcos0WWcoscos6

H+\b\H+\b\2H,rl2

又。«0,4所以等<；,

又。㊉。在集合14]“€2,0<“<4]中，所以*〉工，即cos6>工，得到a㊉8=」，

[4J2424

Z,./,a•Z?cos61ai3

又因为aib=Y~^~=---=一cos0>cos3>—,所以a/b=—或1,

\b\Wb24

所以a㊉万+a])B=1或&,

4

故选：D.

9.答案：BC

解析：对于A,由图可得：/(x)的最小正周期为2,所以3=2,即。=兀,

CD

易得M=与,所以/(x)=¥sin(7tx+0),

因为|3=2侬，所以；,0),5(|,0

由五点作图法可得：-+^=-,即°=巴，所以"%)=走-:兀

sinTix+-

6232I3

3

所以40）=；,故A不正确;

对于B,由于岭）=冬皿»[）=旁

,为最大值,

62632

所以直线工=亮是/（力图象的一条对称轴，故B正确;

127

对于C,令2左兀+]VTLX+]<2左兀+弓（左EZ）,解得;—+2k<x<—+2k(kGZ)，

66

所以单调递减区间为（：+2k1+24（左€2）,故C正确;

左(左

对于D,令2bl-'47Lt+g<2E+](%eZ),解得;~—+2k<x<1+2eZ)

6

所以/（%）的单调递增区间为1-|+21+24（左eZ）,故D不正确,

故选：BC.

10.答案：BD

解析：设直线AB的方程为丁=丘+3,4（%,yj,B（x2,y2）,

联立<[辰”，可得必一2°日-6。=0,

%=2py

所以玉+%2=2p左，玉%2=—6p,

222aA2

因为-2小所以产方故%%=排=赤=9,

因为|AF|=2,|BF|=IO,由抛物线定义可得，％=2-T，当=1。-々，

则—3=9，解得，=2或，=22，

因为％=2-■|〉（），所以p=2,则E的准线方程为y=-1,故B正确，A错误;

又E的方程为必=4y，=2-^=1,y2=10—1=9,

把弘=1代入d=4y可得x；=4%=4,xf=4y2=36,

不妨设A（-2,1）,5（6,9）,则|蜴=8板,故C错误；

设R到直线的距离为d,

△5PC的面积S4B%=3忸。M，的面积S^FC=g|AC|d，

q=吧=21=9,故D正确.

则色BFC的面积与的面积之比汕工

q“I,

°AAFC

解析：对于A中，设函数y=/(x)的图象关于(凡与对称,

则y=/(l-3)关于(a+3,Z?)对称，可得y=/(2]-3)关于力)对称，

因为函数/(2x-3)的图像关于点(2,1)对称，可得q=2,b=l,解得a=l,

b=l,

所以函数y=〃X)的图象关于(U)对称，所以A正确；

对于B中,由函数y=/(x)的图象关于(1,1)对称，可得/(x)+/(2-"=2,

因为/(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(%)+/(%+2)=41+2,

则/(x+2)+/(x+4)=4(x+2)+2=4x+10,

两式相减得/⑺-/(x+4)=-8,BP/(x)=/(x+4)-8,所以B不正确;

对于C中，令g(x)=/(x)-2x,

可得g(x+4)=/(x+4)-2(x+4)=/(x+4)-2x-8，

因为/(x)=/(x+4)-8,所以g(x)=g(x+4),

所以函数g(x)是以4为周期的周期函数，

由g(x)=〃x)—2%,可得/(力=/(力一2,所以g(1026)=((1026)—2,

因为函数g(x)是以4为周期的周期函数，则，(尤)是以4为周期的周期函数，

所以g，(1026)=g<2)=广⑵—2,

由"2+"-"2-x)=4x,可得广(2+x)xl-r(2-x)x(-1)=4,

即/'(2+x)+/'(2—x)=4,令x=0,可得/'(2)+/'(2)=4,所以/''(2)=2,

所以g'(2)=0,所以r(1026)=r(1026)+2=r(2)+2=2,所以C正确;

对于D中，因为“0)=0,且函数关于(1,1)对称，可得/⑴=1,〃2)=2,

又因为/(2+x)—/(2—x)=4x,令x=l,W/(3)-/(l)=4,所以“3)=5,

再令4=2,可得“4)-"0)=8,所以"4)=8,

由g(x)=/(%)—2x,可得g⑴=—I,g(2)=-2,g⑶=—1,g(4)=0,

可得g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=-4,

又由函数g(x)=/(x)-2x是以4为周期的周期函数，且〃x)=g(x)+2x,

50

所以Zm=〃l)+〃2)++〃50)=g⑴+g(2)++g(50)+2(l+2++50)

i=l

=121g⑴+g⑵+g⑶+g(4)]+g⑴+g⑵+2(1+2++50)

=12x(-4)-1-2+2x50(1+50)=2499,所以D正确.

故选：ACD.

12.答案:-1；1

解析：根据题意，函数〃司=亭匕是奇函数，其定义域为R，

^=0

a——1

则有*0)=0,/(-1)=-/(1),即2人h,解得,

。+4"a+4-bb=l

I21

-1+4X

当a=—1,b=l时，/(x)==2工-2T,其定义域为R,且

2X

/(-%)=2-x-2x=-/(%),即/(x)为奇函数，故a=-L,b=l；

故答案为：-1；1.

13.答案：0；—/0.0625

16

解析：正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形，五个3角形各自角度之和

180°,

540°

正五边形的内角和180。义(5-2)=180。*3=540°；每个角为=108°,

三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180。-108。=72。，

三角形内角和为180。，那么三角形顶角，即五角星尖角180。-72。X2=36。，

即ZCAD^a=36°.

cos6Z+cos2a+cos3a+cos4a=cos360+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos360+cos72°+cos(180°-72。)+cos(180°-36°)

=cos360+cos72°-cos72°-cos36°=0；

cosacos2acos3acos4a=cos36°cos72°cos108°cos144°=(cos36°cos720)2

>r“crcc2sin36°-cos36°-cos72°sin72°-cos72°sin14401

因m为cos36。•cos72°=------------------------------=-------------------=-----------=-,

2sin3602sin3604sin3604

cosacos2acos3acos46z=—.

16

故答案为：0；—.

16

14.答案：10

解析：平面。截四面体AC。片的截面如图所示，

设‘二=彳，则迎=%=坦=里=彳，所以四边形NSRW为平行四边形，

B£TWTUVUVW

^MRHUW,MN//TV,

在矩形LWT中，C/V=4,W=5,TM=5A,ML/=5(l-2),77?=42,

=4(1-2),

则S平行四边形NSRM=S平行四边形sw-2sANNS-2sASWR

=20-20[22+(l-2)2]=20-202鼠」]+-<20-20x-=10,当且仅当人；时,

I22

等号成立.

15.答案：（1）证明见解析

⑵等

解析：（1）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，所以BC〃AD,

又BCu平面PBC,ADa平面PBC,

所以〃平面PBC,

因为ADu平面MD,平面P3C平面K4D=/,

所以〃/"＞；

（2）因为24=PB,取AB的中点。，连接P0,则POLAB,

因为平面上钻，平面ABCD,平面PA3平面ABCD=AB,

则P0,平面ABCD,所以以。坐标原点建立如图坐标系,

ABCD是正方形，所以P0=2,

则尸（0,0,2）,A（l,0,0）,C（-l,2,0）,D（l,2,0）,

AP=（-1,0,2）,AD=（O,2,O）,PC=（-1,2,-2）,

设平面PAD的法向量为n-（%,y,2）,

则n-AP=—x+2z-0,ri-AD=2y=0,

取x=2,y=0,z=l,即/i=（2,0,1）,

设直线PC与平面24。所成角为，，

PC-n||-2-2|4A/5

则sin0-1cosPC,“二

PC悯n—3x7515

所以直线PC与平面所成角的正弦值为普

16.答案：(1)a“=21

(2)T“=n+」一

n2n+l

解析：（1）当〃=1时，由=+即Jq+出=2,解得：q=l,

所以6:-£=质=1，则数列卜用｝为首项为1，公差为1的等差数列;

所以=〃，则S“=",

22

当〃22时，an=Sn-Sn_]=n-(n-1)=2n-l,

当〃=1时，q=2x1-1=1满足条件,

所以｛4｝的通项公式为=2〃-1（”eN*）；

4S〃4n2

(2)由(1)知，bn=

anan+1(2〃-1)(2"+1)'

74/1111

1+-

所以2=N="E=I+(2n-l)(2n+l)2y2n—l2n+l

故小g1111-贵n

H---------------------------=n+—二n-\-----

3352n-l2〃+l22n+l

^Tn=n+^—

"2n+l

3

17.答案：（1）-

8

(2)n=5

11Q

解析：（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率°=（2；（马2（1一马2=9.

228

（2）设该同学投篮的次数为X,则X的可能值为〃，«+100-3«=100-2«,neN+,

〃<33,

于是P(X=〃)=£,P(X=100-2")=1-g,

数学期望石(X)=〃•5+(100-2〃)•(1-5)=加|产独—2〃+100,

令/⑺=初”0-2〃+100,〃eN+，贝1]/("+1)=^^1一2〃+98，

if)3-3n-?n+2

于(n+1)-于(n)=2i——，显然数列｛1°3-3«-2n+2)是递减的，

2

当“W4时，103—3〃一2"2>0,/(«+1)>/(«),当时，103—3〃一2"+?<。,

/5+1)</("),

即有J(l)<J(2)<J(3)<J(4)</(5)>)(6)>)(7)>…,因此45)最大,

所以当〃=5时，该同学投篮次数的期望值最大.

18.答案：（1）—+/=1

4'

（2）存在，3个

解析：（1）由题设椭圆C的方程为nW?=1Cm>0,n>Q,mwn）,

因为椭圆过M（2,0）,N1,—与两点,

\7

4m=1丫2

所以3，得到m=LI，所以椭圆C的方程%+V=L

m+—n-14

14

（2）由（1）知0（0,1）,易知直线ZM,03的斜率均存在且不为0,

不妨设左DA=左（左〉0）,k=—,直线ZX4为y=Ax+1,直线£）5为丁=—x+1,

DBkk

由椭圆的对称性知，当左=1时，显然有|八4|=|。邳，满足题意，

y=kx+1

1

当MW1时,由2,,消y得至1」(^+左2)/+2日=0,

彳x+y='

8k8k21-4^,8k

所以-------,%=------+11=-----即4(B-n--------y,-----),

A1+4左2%1+44721+4421+4左21+442,

8k42一4

同理可得5（-

左2+4’左2+4），

上2—41—4左2

EITZF_(左2—4乂1+4左2)(公+4)(1—止)2T

所以k=

AB8k8k8人(1+4左2+左2+4)5k

F+41+4左2

8k8k

设AB中点坐标为(%,%),则x。=1+4左22+)+4=(J，

1-4/42—4

=]+432+,2+4=-15,2

%―2一(42+4)(1+442)'

15k25k,124(左2—1)

所以AB中垂线方程为y+-7(%---9----------5-)

(左2+4)(1+4左2)42—1'(左2+4)(1+4/)

要使为A3为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1),

5k12^2-1)

1H---;----------整理得至I」/—7/+1=0,

伏2+4)(1+4/)k--V伏2+4)(1+4/)，

令1=F,则/一7r+l=0,A=49-4>0,

所以才有两未艮4，t2,且％+/2=7>0,中2=1>°，即/一7f+l=0有两个正未艮,

故有2个不同的42值，满足左4—7左2+1=0,

所以由椭圆的对称性知，当上2,1时，还存在2个符合题意的三角形，

综上所述，存在以。为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个

数