2024年辽宁省鞍山市中考二模数学试题（含答案解析）

2024年辽宁省鞍山市中考二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，是轴对称图形的是（）

2.2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,

嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000

千米，数据384000用科学记数法表示为（）

A.384x1（）3B.3.84x10、C.38.4x10"D.0384x10"

3.下列运算正确的是（）

A.x2-x3=x6B.5x-2x=3

C.（-2X2）3=-6X6D.J4*

4.如图，直线。〃6,直角三角形如图放置，NZ）CB=90。，若/1=118。，则N2的度数为

)

A.28°B.38°C.26°D.30°

5.关于x的一元二次方程r-3x+〃=0没有实数根，则实数〃的值可以为（）

A.0B.1C.2D.3

6.如图，在中，OE分别交48,AC于点D,E,若AD：。8=1：2,则V/OE

与的周长之比是（）

试卷第1页，共8页

A.1:3B.1：4C.1：9D.1:16

7.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3x3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域

的概率为（）

8.如图，48是。。的直径，弦CO交力8于点E,ZJCD=70°,ZJDC=40°,则/力EO

的度数为（）

A.110°B.115°C.120°D.105°

9.如图，在AJBC中，NA4c=117。，将绕点力按逆时针方向旋转得到△/B'C.若

点8'刚好落在8C边上，且力S'=C8',则/C的度数为（）

A.19°B.20°C.21°D.22°

10.“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中,

试卷第2页，共8页

骑行的距离〃（千米）与时间，（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（）

二、填空题

11.因式分解：xy2+2xy+x=.

12.“端午食粽”是节日习俗之一•甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时

间与乙包30个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包工个粽子，则可列方程为.

13.如图，在菱形48co中，分别以C、。为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交

于瓜产两点,作直线EF,直线E尸恰好经过点4,与边CD交于点M,连接BM,若菱形ABCD

的周长为16,则线段8M的长是.

14.如图，在平面直角坐标系X。），中，的顶点48都在第一象限，反比例函数

y=：a>0）的图像经过出B两点,轴交于点C,AC与OB交于前D,若券=；，

△力8。的面积为1,则〃的值为.

试卷第3页，共8页

15.如图，在平行四边形48。中，/E平分NB4O,且/E与6C边交于点E,BF1CD,

垂足为尸，连接EF,4E尸=45。，BH平令NEBF,BH与AE交于点、H,若

EF=m,8〃=8近，则平行四边形川?C。的面积为.

三、解答题

16.计算：

⑴-32-（5-7）x3+娇子2；

（2）x2-5x+3=0.

17.一种药品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶.大

盒与小盒每盒各装多少瓶？

18.快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司

中选择一家合作，为此，小张收集了10家网店店主对两家快递公司美于配送速度、服务质

量的相关评价，并整理、描述、分析如下：

配送速度得分（满分10分）

甲：7,6,9,6,7,10,8,8,9,9；

乙：8,8,6,7,9»7»9>8,8,9.

服务质量得分统计图（满分10分）

试卷第4页，共8页

配送速度和服务质量得分统计表:

配送速度得分服务质量得分

快递公司统计量

平均数中位数众数平均数方差

甲7.98n7

乙7.9887

根据以上信息，回答下列问题：

(1)〃=,比较大小：Si(填

(2)综合上表中的统计数据，你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴？请说明理

由.(写出两条理由即可)

19.通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的

像比该物体的实际位置浅.小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵

石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决

问题，并形成了具体研究方案如下：

问

鹅卵石的像到其实际位置的距离

题

工

纸、笔、计算器、测角仪等

具

试卷第5页，共8页

官法线

:±

空气NBH

图

形

VC

如图，鹅卵石在池底点。处，其像在点。正上方点G处，MN工NC于点、N,MN1BH

说

于点B,CHLBH于点、H,点、G在CH上,A,B,G三点共线，通过查阅资料获得

明sinZJ5M,__

--------=1.33

sinNCBN

数

BH=2m,ZJW=53°

据

请你根据上述信息解决以下问题：

求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离.(结果精确到0.1m；参考数据：

sin53°»0.798,cos53°«0.602,tan53°*1.33)

..mx-\-b(x>0)

20.某学习小组同学在数学活动课上研究函数，={力'〃=为常数且

nx+b(x40)

的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题：

/、\ntx+b(x>0)

⑴若i=2,b=2,判断点是否在函数y=图象上，并说明理由？

试卷第6页，共8页

mx+h(x>0)

(2)函数y=JjA(图象有最低点，请直接写出“与〃的大小关系；

nx+b(x<0)

mx+b(x>0)

⑶在(2)的条件下，函数y=[,八\，图象与x轴交于48两点，与y轴交于点C,

nx+b(x<0)

若“BC为等边三角形，且“BC的面积为百求函数m,n,b的值.

21.如图，。。是J8C的外接圆，8E为。。的直径，BE与AC交于点、F,。为8E延长线

上一点，连接CD,C£,4E,N84C+N8co=180°.

(1)求证：NDCE=/CBD

4

(2)若Z8=8C,tan。=],。0半径为4,求BC长.

22.【基本图形】如图1,在△/CE中，ZJCE=90°,CE=ACt/CBA=/CDE=90°,

且8,C,。三点在同一直线上，求证：

【图形初探】如图2,在中，ABC=90.”=8C,点。为ABC内部一点，连

接AD,BD,CD,若AD=6BD，408=135。，求证：CD=2BD.

【拓展探究】如图3,在中，ZABC=90°,AB=BC,点。为J8C外部一点，且

NCDB=90。,连接4),以为邻边作平行四边形48DE,OE边分别与4C,8c交于

F,"两点，连接8旦8E与4C交于点G,若病，tan/4OC=二，求EFG的面积.

试卷第7页，共8页

23.如图，二次函数＞=0?+m+{4＜0）图像与x轴交于％,8两点（点力在点5左侧），

顶点为P,尸。轴，垂足为。，点C为中点，则直线4c叫做二次函数

y=ax2+bx+c（a＜0）的“截中线”.

已知，二次函数丁=0^+法+跳。＜0）的，，截中线，，力。与二次函数丁=0¥2+加+。（。＜0）图象

的另一个交点为O，连接PO，且顶点尸在第一象限，b=-2a.

⑴当c=_3a时；

①若直线4c的解析式为N=x+1,求二次函数的解析式；

②求证：△PCO是等腰三角形；

⑵当。工-3〃时，连接NP,若△4PQ为直角三角形，且cwa,求。与a之间的数量关系.

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参考答案:

I.c

【分析】本题考查对轴对称图形的认识.轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠

后，直线两旁的部分能够互相重合.其中，这条直线叫做对称轴.据此解答即可.

【详解】解：A,B,D选项中都不能找到一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,

只有C选项能找到一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，

故选：C.

2.B

【分析】本题考查科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成axIO"的形式，其中

14忖＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的

绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1()时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，

〃是负数.据此解答即可.

【详解】解：384000=3.84x1()5,

故选：B.

3.D

【分析】本题主要考查了幕的运算和合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，积的乘方运算

法则，同底数基的除法和乘法法则，是解题的关键.

【详解】解：A、/潦=/,故A错误：

B、5x-2x=3x,故B错误；

C.(-2X2)3=-8X\故C错误；

D、x6-i-x2=x4t故D正确.

故选：D.

4.A

【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质(两直线平行，同位角相等)，可以求

得N8CE的度数，即可求得N2的度数.

【详解】解：如图，

答案第1页，共22页

B

a---------------/%Va//b,ZZ）CB=90°,Zl=118°,

b7

E

Z5CE=Z1=118°,

/.Z2=NBCE-NDCB=28°,

故选：A.

5.D

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出〃的取值范围，即可选择.

【详解】根据题意可知：△一62一4℃一（一3）2-4>：以〃<0,

4

，符合题意的选项为D.

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式.根据题意可知一元二次方

程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键.

6.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，求出边的比例即可求出周长的比.根据相似

三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解.

【详解】解：VDE//BC,

/.AADEsAABC,

;$k,

AB

..AD_\

•DB~2f

.AD1

••-=一,

AB3

・•・VADE与“BC的周长之比是1:3；

故选：A.

7.B

【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.根

答案第2页，共22页

据概率公式直接求解即可.

4

【详解】解：:阴影部分的面职占总面积的§，

・・・飞镖落在阴影区域的概率为］4.

故选：B.

8.C

【分析】本题主要考查了直径所本的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的

性质，连接80,先由直径所对的圆周角是直角得到乙408=90。，进而得到N8Z)C=50。，

再根据同弧所对的圆周角相等得到2ABD=ZACD=70。，即可利用三角形外角的性质得到

/AED=ZABD+ZBDC=120°.

【详解】解：如图所示，连接80,

•・・彳8是。。的直径，

：.ZADB=9O0,

VZADC=40°,

JNBDC=50°,

又「Z.ABD=ZACD=70°,

AZAED=ZABD+ZBDC=120°,

故选：C.

9.C

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得NC=NC,

AB=AB',由等腰三角形的性质可得NC=NC48',N8=4B'8=2/C,由三角形的外角

性质和三角形内角和定理可求解.

【详解】解：•:AB—CB\

：.NC=NCA&,

：.ZAB'B=ZC+NCAB'=2ZC,

答案第3页，共22页

•・•将△/绕点A按逆时针方向质转得到4ABC,

NC=NC',.4B-.42,

・・・4=48'8=2NC,

VNB+NC+NC48=180。，

/.3ZC=180°-117°,

ZC=21°,

:.ZC=ZC=21°,

故选：C.

10.A

【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键，根据公式“路程二

速度x时间”，由“夜骑”爱好者匀速骑行，得到这是一个正比例函数，由正比例函数图象的

性质即可得.

【详解】解：设“夜骑”爱好者匀速骑行的速度为k,

由题意可得：h=kt(k^0)

这是一个正比例函数，根据正比例函数图象的性质即可知只有A选项符合题意，

故选：A.

11.x(y+l)2

【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【详解】xy2+2xy+x,

=x(y2+2y+l),

=x(y+1)2.

故答案为x(y+1)2.

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公

因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.竺一

x35-x

【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的

时间相等”即可列出分式方程.

【详解】解：设甲每小时包4个粽子，乙每小时包(35-x)个粽子，

答案笫4页，共22页

根据题意可得：丝=”一，

x35—x

辽心生、,4030

故答案为：一=—---.

x35-x

13.2x/7

【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟

练掌握菱形的性质是解题的关键.由作图可知，4W垂直平分C0,得到

CD=2DM,ZAMD=90°,根据菱形的性质得到彳。=CD='xl6=4,根据勾股定理即可

4

得到结论.

【详解】解：由作图可知，4M垂直平分CO,

:,CD=2DM,N4MD=90°,

V四边形力"。力为菱形.

/.AD=CD=AB=BC=-x\6=4f

4

ADM=>CD=2,

2

在RIZX4A/。中，由勾股定理，得AM=JAD?-DM?=26，

丁AB//CD,

=AMD=90°,

在中，由勾股定理，得BM=匹=2后，

故答案为：2vL

36

14.T

【分析】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，图形与坐标，熟练掌

握反比例函数的性质是解题的关键.由题意设点力（外£|（加>0）,得。（也0）,《端

4k

y=—^

联立K

〃）=三，进而可知直线8的解析式为:可得点6的坐标为

X

弓孙号），再根据工皿=：40,（/-%）列出方程即可求解•

【详解】解：由题意设点/肛幺］（〃>0）,

答案第5页，共22页

・・・"lx轴交于点&含1,则笔4AD5

~AC~9

/.C（m,O）,pfw,-1

AD=—

9mf

设直线。。的解析式为：…，则亲吟得好亲

，直线0D的解析式为：>=共工，

V=——7%

联立?"，解得一（负值舍去）,

・••点8的坐标为

则S“BD=,（4一方）=gx治~m

5

15.289

【分析】根据平行四边形的性质结合结合角平分线的定义，证明由直角三角形的

特征及等腰三角形的性质证明EG产@/GHASA）,利用勾股定理求出即，即可求解.

【详解】解：延长BH交EF于点G,

四边形是平行四边形,

.\AD//BC,

/AEB=NDAE,

AE平分/B4D,

Z.DAE=ZBAE,

Z.AEB=NBAE,Z.BAD=ZC=2乙4EB,

AB=BE,

•・BH平分4EBF,

Z.EBF=2NEBH,ZEBH=Z.FBH,

•••BFLCD,

答案第6页，共22页

ZSFC=90°,

ZCBF+ZBCF=90°,

:.2NEBH+2ZAEB=900,

NEBH+ZAEB=45。,

ZAEF=45°,

;"BGE=90。,GH=GE,

N8GF=90。，

:2BGE=NBGF,

Z.GBF=4GBE,BG=BG,

.•・△8G尸会ABGE(ASA),

:.GE=GF、BE=BF,

EF=7x/2,BH=8应，

.\GE=GF=-EF=—

22t

HG=GE=^^,

2

BG=BH+GH=-^—f

2

:.BF=yjBG2+GF2=17»

AB=BE=BF=17,

二•平行四边形ABCD的面积为ABBF=289,

故答案为：289.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等

三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的特征，正确作出辅助线，构造三角形全等是

解题的关键.

16.(1)-|

小5+至5-V13

(2)*=---，”---

【分析】本题考查了实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

(1)先计算乘方与立方根，再计算乘除法，然后计算加减法即可得；

答案笫7页，共22页

(2)利用公式法解方程即可求解.

【详解】(1)解：一32-(5-7b3-防亡2

=-9+2x3+34-2

=--3•

2'

2

(2)解：X-5X+3=0,

Vcr=1,6=-5,c=3,

:,从-4。。=(-5)2-4*以3=13,

...二_(-5)±行二5土拒

7-2^1"2'

・5+x/135-x/l3

.•X|=-»X2=--

17.大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶

【分析】设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，根据“3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、

3小盒共装76瓶”，即可得出关于x,歹的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，

3x+4y=108

依题意得:

2x+3y=76

答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

18.(1)9,<

(2)见解析

【分析】本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结

合题干分析问题是解题的关键.

(1)根据众数和方差的概念即可解答：

(2)综合分析表中的统计量，即可解答.

【详解】(1)解：将甲数据从小到大排列为：7,6,9,6,7,10,8,8,9,9：

答案第8页，共22页

其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9,即〃=9,

从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5-8,乙的服务质量得分分布于4-10,

从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，

即。＜谖；

故答案为：9,＜；

(2)解：小刘应选择甲公司，理由如下：

配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲

在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，

服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应

该选择甲公司.

19.鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为1.2m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形8NC"为矩形，解直角三角形，

分山BH2.__sin/N8M.__

求出GH=------«----*1.50m,根404据0---------=1.33,求出

tan53°1.33sin/CBN

SinZi4

sinZCBN=—»»0.6,gpsinZCBN=-=-f设CN=3xm,C8=5xm,求出

1.331.33CB5

Q

X的值，由CG=C〃—G〃=2—1.50Pl.2m求解即可.

3

【详解】解：MNtBH,CH1BH、MNINC

:"HBN=Z.CHB=NBNC=90°

•••BN//CH

••・四边形BNCH为矩形

:./BGH=ZABM=53°,BN=CH,CN=BH=2m

在中，BH=2m

BH

tanNBG”~GH

GH=BH®»1.50m

tan5301.33

siJL33

sin/CBN

sinNABN0.798

sinZ.CBN=

1.331.33

在RSC8N中，CN=2m

答案第9页，共22页

sinZCBN=-=-

CB5

设CN=3xm,C8=5xm

:.BN=\IBC2-CN2=4X

•/CN=2m

/.3x=2

2

x=—

3

…，28

BN=4x—=-m

33

o

/.CG=CH-GH=——1.50«1.2m

3

答：鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为1.2m.

/、fnix+b(x>0)

20.(1)点-1/在^="的图象上，理由见解析

、l/?x+b(x<0)

(2)w>n

(3)w=£,n=-6,b=-Vi

【分析】(1)根据已知，求出函数解析式，将点(-U)代入函数即可证明；

(2)根据一次函数的性质即可解答；

(3)根据题意，求出由是等边三角形，利用正切的定义求出

OC-y/3OA,再根据的面积求出。1=1,进而得到N(TO),研1,0),。(0,-6),代入

函数解析式即可求解.

mx+b(x>0)

力的图象上

{?7X4-O(x<0)

•/m+n=0,n-m=2

解得："]=T,〃=1

Qb=2

卜+干平

x+2(x<0)

当x=-l时，y=-\+2=\

答案第10页，共22页

/、\mx-\-h(x>0)

，点(Tl)在%I的图象上；

77X+D(X<0)

(2)解：m+«=0,

•.•孙〃互为相反数，

当机>0时，则〃=-m<0,

此时y=/nx+b(x>0),随x的增大而增大，y=nx+b(x<0)t随x的增大而减小,

nix+b(x>0),

函数y=J,八:在处取到最小值；

nx+b(x<0)

当加<0时，则〃=-m>0,

此时y=wx+Z>(x>0),随工的增大而减小，y=nx+b(x<0)t随x的增大而增大,

函数)'={1(/八:没有最小值；

nx+b(x<t0)

当m=〃=0,函数y=Z),函数图象是一条平行于x轴的直线，没有最小值；

mx+b{x>0)

综上，用〉〃时，函数y=<,,jI有最小值；

(3)解：当尸0时，

贝lJx>0时，x=~—,xKO时，x=~—,

ntn

.••〃?，〃互为相反数，

bb

二.---=—,

mn

OA-OB

AB=2OA

•.•48C是等边三角形

/。8=60°

在Ri^OCA中

tanZ.CAB==>/3

OA

OC=43OA

答案第11页，共22页

•••s.=-ABOC=4i

A4XBFLC2

:.-x2OAxy/3OA=y/3

2

:.OA=1

.•.OA=OB=I,OC=6

AJ（-1,O）,5（1,O）,C（O-^）

—//+/>=0fw+6=0

'b=-4i，[/>=-V3

m=n=->/3

b=-x/5b=-V3

..rn==S,b=-\/3.

【点睛】本题考查了一函数的性质，坐标与图形，解直角三角形，等边三角形的性质，理解

题意，利用数形结合的思想是解题的关键.

21.（1）见解析

⑵竽

【分析】（1）由四边形4BCE为圆内接四边形，得到/氏伤+4CE=180。，根据

/切。+/8。。=180。得到/口后二/。。£,推出NC4E=NC8O,即可证明结论；

（2）连接O4OC,根据圆周角定理得到NC8E+NCE8=90。，由。C=OE,推出

4

NOEC=NOCE,进而得至1]/0。。=90°,根据正切tanO=—,求出CO,利用勾股定理求出

3

OD,再根据00c=；OCCD得到C/根据正切ta仍=g,求出。尸，再

求出。尸,8户，利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：••・四边形48CE为圆内接四边形，

・•.Z5JE+Z^CE=180°,ZBAC-ZCAE+ZBCE=180°,

•••NB4C+NBCD=180。,

/.Z.BAC+4BCE+NDCE=180°,

NCAE=/DCE,

:CE=CE，

答案第12页,共22页

NC4E=NCBD,

ZDCE=ZCBD；

（2）解：连接。aoc

.-.ZJC£=90°

NCBE+NCEB=90。

:OC=OE

ZOEC=ZOCE

•:/DCE=/CBD

ZOCf+Z£>C£，=90°

NOCD=90。

在RtzJDOC中，OC=4

八OC4

/.tanD=——=—

CD3

:.CD=3

:.0D=yl0C2+CD2=5

vAB=BC,OA=OC

..5。垂直平分/C

:.CFLBD

，

•・S.0c口=-ODCF=-OCCD

.1.5CF=3x4=12

/.CF=—

5

在RaCFD中，

答案第13页，共22页

916

:.OF=OD-DF=5--=—

55

5F=O5+OF=4+—=—

55

在Rtzxa由中，

BC=y]CF2+BF2=.

【点睛】此题考查的是圆周角定理、圆的内接四边形，勾股定理、正切的定义，正确作出辅

助线是解决此题关键.

172

22.基本图形：见解析：图形初探：见解析：拓展探究：

【分析】基本图形：由4CE=90。，得到4C8+NOCE=90。，ACBA=ZCDE=90°,

推出NB4C=NQCE,即可证明结论；

图形初探：过力作4N_L8O交80延长线于N,根据力N_L8。,/48c=90。，得到

NANB=NABC=90。,进而得到NC8O=N84N,由乙405=135。，推出NN=OV,解直

角三角形得到4O=JL1N，即可得至|J4N=8£）,证明△力5N且ABCOeAS）,即可得出结论；

拓展探究：过G作G0_LE/交于0,过4作4交08延长线于由正切的定义得

至lJtan/ZMM=tan/4OC=W=Z,设4W=4x,OM=7x,求力M=4,OM=7,证明

AM4

△ABM%BCD（AAS）,得到CO=8M=3,求出8C,O4,C〃,8〃，设。G=16〃,E0=13〃，

4

根据0G=0产=16〃，即£尸=£。+？。=29〃=不，求出〃的值，即可解答.

【详解】基本图形：

证明：vZJCE=90°

ZACB+ZDCE=90°

ZCBA=/CDE=90。

.\^ACB+ZBAC=90°

NBAC=/DCE

:CE=AC

:."BC&CDE（AAS）；

答案第14贝，共22页

图形初探：

过4作4N_LAQ交〃。延长线于M

\AN1BD,ZABC=9OQ

ZANB=4BC=90。

•••N/8Q+NCB力=90°,ZABD+/BAN=90。

Z.CBD=NBAN

•.•408=135°

ZADN=180°-AADB=45°

/.NDAN=90°-ZADN=45°

:.NADN=NDAN=45。

AN=DN

••,在Rt△力ON中，

.ANx/5

sinZz.AADrNKr=-----=—

AD2

AD=y/2AN

AD=6BD

：.AN=BD

:.BN=BD+DN=2AN

AB=BC

:."BN%BCD（SAS）

:.BD=AN,CD=BN

;.CD=2BD；

拓展探究：

过G作GQ_LE/交于。，过力作41/108交03延长线于M,

答案第15页，共22页

:.CD//AM

UDC=NDAM

在RtZX/DW中

tanZDJA/=tanZJDC==—

AM4

设4W=4x,DM=7x

:.DM2+AM2=AD2

65x2=65

:.x=\

4M=4,DM=7

-ZABC=90°

ZCBD+ZABM=90°

,;NCBA=NCDB=90°,NCBDMBCD=90。

/.UBM=/BCD

•••AM1DB

&MB=ZCDB=90。

•••AB=BC

:."BMWBCD(AAS)

：.AM=BD=4,BM=CD

:.BM=DM—BD=3

:.CD=BM=3

在RtACDB中

答案第16页，共22页

BC=AB=>JCD2+BD2=5

•••四边形力是平行四边形

:.AB〃DE,AB=DE=5

:"ABC=NDHB=90。

•8

一“aCDB-CDBD=-BCDH

22

••吟

13

.\EH=DE-DH=—

5

在RtACD//中

:.CH=y/CD2-DH2=-

5

;.BH=BC-CH=电

5

•••ZABC=90°,AB=BC

"="^^£=45°

•••ZFHC=90°

/.tCFH=180°-ZFHC-4FCH=45°

/.NCFH=/FCH=45°

9

:.CH=FH=-

5

21

DF=Dll+FH~5

4

:.EF=DE-DF

5

在R3EHB中

BH16

?.tan/.BEH=-----=——

EH13

在RtAfG。中

SSG哈籍居

设0G=16〃,£。=13〃

tCFH=Z.GFQ=45°,GQ=EF

Z.GFQ=4FGQ=1800-Z.GFQ-Z.GQF=45°

/.QG-QF=16〃

答案第17页，共22页

4

:.EF=EQ+FQ=29n=-

4

/.n=---

145

0G=16〃=二64

145

G1LL“1464128

:.S=_EF-QG=-x—x=.

回F225145725

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角

形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题.

23.(1)①yI+2%+3；②见解析

42

(2)△力尸。为直角三角形时，。与〃之间的数量关系为。-。=--或。-。=-一

aa

【分析】(1)①根据题意得y=or：-2ox-3a,即可得到抛物线的对称轴为直线x=-二=1,

进而求出点。的坐标，得到。。=2,即可得至IJPQ=4,即尸(1,4),代入抛物线解析式求出。

的值即可；②过点。作。后，尸0,垂足为E,

(2)根据题意设力(一九0),8(2+%0),得到-a(l+〃?)2=c-a,在直线力。上取点区使得

PE=CE,过点E作E尸上PQ交亍点F,推出04=。。+。力=1+机，利用正切的定义得到

W二华，求出£佶+：机，一"1+制)[‘将”3+：加代入蚱“卜+加)(工一2-6)，易

nr1224)22

证E点在二次函数的图象上，推出点E与点O重合，分N/PQ=90。，和//OP=90。，两

种情况讨论即可.

【详解】(1)①解：由题意得：j=ax2-2av-3a,

•••抛物线的对称轴为直线x=-3=1,

la

；.点C,点尸横坐标为1,

，当x=1时，y=1+1=2,

/.C(l,2),

:.CQ=2f

•••点。为P。的中点，

PQ=2CQ=4,

答案第18页，共22页

・•.P（l,4）,

•・,点尸在抛物线上,

:.a-2a-3a=4,

a=-1,

当x=］时，y=a-2a-3a=-4a,

・•.P（l,-4a）,