四川省宜宾市叙州区2021届高三数学一模理试题含解析

2021级高三一诊模拟考试

数学（理工类）

本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

L设集合4={0,2,4,6,8/。},6={4,8},贝心初二

A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析:由补集的概念，得。6={0,2,6,10},故选C.

【考点】集合的补集运算

【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解

题.一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关

系，可借助数轴的直观性，进行合理转化.

2.下列函数是偶函数，且在（-?,0）上单调递增的是（）

A.y=±B.y^l-x2C.y=l-2xD.y=|x|

【答案】B

【解析】

【分析】根据各选项对应函数解析式，结合幕函数、二次函数、一次函数及含绝对值函数的性质判断是

否符合题设要求即可.

【详解】A：y为奇函数，不合题设，排除；

X

B：y=l-必为偶函数，在卜？，0）上递增，符合题设；

c：y=l-2%为非奇非偶函数，且定义域上递减，不合题设，排除；

D：y=国为偶函数，在（-？，0）上递减，不合题设，排除；

故选：B

1

3

3.函数/（x）=k）g2X—-的零点所在的大致区间是

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出/（2）,/（3）的值，从而求出函数的零点所在的范围.

31

【详解】由题意，/（2）=1-|=--<0,/（3）=Zog23-l>0,所以/（3）"Q）<,所以函数

=/og2x—巳的零点所在的大致区间是（2,3）,故选C

【点睛】本题考查了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题.

4.已知集合/中元素（X,y）在映射f下对应8中元素（x+y,x—y）,则8中元素（4,一2）在/中对应的元素

为O

A.（1,3）B.（1,6）C.（2,4）D.（2,6）

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意结合映射的概念列式求解.

【详解】设6中元素（4,-2）在/中对应的元素为（x,y）,

x+y=4fx=l

则"c，解得：\，

所以6中元素（4,—2）在/中对应元素为（1,3）.

故选：A.

5.设平面a_L平面£,在平面a内的一条直线a垂直于平面£内的一条直线则（）

A.直线。必垂直于平面£B.直线6必垂直于平面a

C.直线“不一定垂直于平面夕D.过。的平面与过〃的平面垂直

【答案】C

【解析】

【分析】

由面面垂直，结合空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案.

2

【详解】因为平面a，平面£,在平面a内的一条直线。垂直于平面£内的一条直线6

选项A中，只有直线^是a与夕的交线时，才能得到〃与平面夕垂直，所以错误；

选项B中，只有直线。是a与夕的交线时，才能得到6与平面1垂直，所以错误；

选项C中，当直线b是a与0的交线时，可以得到当直线万不是a与夕的交线时,不能得到aVp,

所以正确.

选项D中，当直线万不是a与£的交线时，不能得到所以不能得到过。的平面与过b的平面垂直,

所以错误.

故选：C.

【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.

6.已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=（左>0），当X=0时，y的值表

示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的;，则力的

最小值为（参考值：In3七1.09）（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意先求出2021年年初的种群数量，再列出不等式，根据取对数法进行求解即可.

【详解】因为当x=0时，y的值表示2021年年初的种群数量，

所以有y=8左，即2021年年初的种群数量为我，

当/（/eN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的;，

01>A,

所以有H•8左n8/“<2=e~log28<log22=e^<|

=>-0.k<In-=-In3=>-0.U<-1.09=>r>10.9,所以t的最小值为11,

3

故选：c.

【点睛】关键点睛：根据题意得到指数不等式，通过取二次对数进行求解是解题的关键.

7.如图所示的网格中小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

3

A.9B.18C.27D.54

【答案】C

【解析】

【分析】首先由三视图还原几何体，再求表面积.

【详解】由三视图可知，AB工平面BCD,且/BZ)C=90，AB=3,BD=4,CD=3,

因为平面ABD，平面BCD,平面ABDc平面5CD=5£>,CD±BD,

所以CD_L平面ABD,ADu平面ABD，所以CD_LAD,

AD=BC=y/32+42=5>

所以该几何体的表面积

S=SABD+SBCD+SABC+S

=—x3x4+—x3x4+—x5x3+—x5x3=27.

2222

故选：C

1

8.设3工=2,y=ln2,z=5-—则

A.x<y<zB.y<z<xC.Z<x<yD.z<y<龙

【答案】C

【解析】

【详解】分析：由3工=2求出x的表达式，先比较羽V的大小和范围，再求出z的范围，根据它们不同的范

围，得出它们的大小.

4

详解：由3*=2有x=log32,-=log3,—=loge,因为2>log23>log?e>1,所以

x2y9-.

iii1_11

2>->—>l,-<%<y<l,而z=5-=1=力<彳，所以z<x<y,选c.

xy2552

点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题.比较大小通常采用的方法有：

(1)同底的指数或对数采用单调性比较；(2)不同底的指数或对数采用中间量进行比较，中间量通

常有0,1，1等.

9.己知%是函数/(无)=sinx+2cosx的最大值点，贝i|sinxo=()

A出R2年2y[51

A.--D.-----U.---Un.

51555

【答案】A

【解析】

【分析】化简/(X)=占sin(x+°),根据最值得到Xo=^—夕+2左乃，代入计算得到答案.

【详解】/(x)=sinx+2cos龙=&sin(x+o),其中sin°=^^，cos9=与,

jrjr

当天)+0=万+,keZ,即入0=万—0+2左々EZ时，函数有最大值，

此时sinx0=sin~(p+2左；r)=cos(p=-.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数最值，辅助角公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10.函数/(x)=2sin]2x+。]的图象向左平移专个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的

图象，若ga)g(%2)=9，且毛，/«-2肛2句，贝!|2占一々的最大值为()

17兀35万25乃49万

A.---B.---C.---D.---

46612

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数y=Asin(s+°)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的最大值，判断

当2%+\TT=色57r，2%+；TC=—777时，2%一々的取得最大值，从而求得2百一9的最大值.

5

7TTT

【详解】解：将函数/(%)=2sin(2%+：)图象向左平移三个单位，再向上平移1个单位，得到

612

g(x)=2sin(2x+§)+l的图象.

若gOJgfX)=9,则g(xj和g(%2)都取得最大值3,故g(xj和g(%)相差一个周期的整数倍.

ITSyrTC77r

故当2%+耳=飞-，2X2+—=—1时，2百一々的取得最大值.

%=9，%=一答,2西一马的取得最大值为管，

故选：D.

11.已知点A5C,。都在球。的球面上，AB^AC,△BCD是边长为1的等边三角形，A。与平面

3CD所成角的正弦值为逅，若AD=2,则球。的表面积为()

3

A.JrB.4兀C.8兀D.16K

【答案】B

【解析】

【分析】若E是3c的中点，则。'是△3。的中心，连接。石，由线面垂直、面面垂直的判定可得面

BCD上面AED，过A作面BCD,由面面垂直的性质知R必在直线。石上，即NA。9为AD与面

3C。所成角，再过O'作OO'LOE交A。于。，结合已知可知。'是。尸中点，。为A。的中点，即可

确定球心的位置，进而求表面积.

【详解】由题设，若E是3c的中点，则。'是△3CD的中心，连接。石，如下图示：

由题设知：DELBC,AELBC,又AEDE=E,则3cl面AED,

而3Cu面3cZ),即面3。£>_1_面AED,

过A作面BCD,则尸必在直线OE上，易知：NAD9为A。与平面3CZ)所成角的平面角，又

与平面BCD所成角的正弦值为亚，AD=2,可得。尸=2叵.

33

过。作OO'LOE交A。于。，易知：OD=OB=OC,

6

而。'。=军，即。'。=—DF,又AF//OO',故。为A。的中点，OD=OA,

32

OD—OB-OC-OA，即。是球心，故球。的半径为1,...球。的表面积为4兀.

故选：B.

12.设函数=(lnx+x+彳]恰有两个极值点，则实数/的取值范围是O

(11B.3]

A-oo,-

12j

。MITD..t”

【答案】C

【解析】

【分析】

/(九)恰有两个极值点，则/«%)=0恰有两个不同的解，求出/«%)可确定为=1是它的一个解，另一个

x

解由方程二一-1=0确定,令g(力=」e(%〉。)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时

x+2x+2

£应满足的条件.

【详解】由题意知函数“X)的定义域为(0,+?),r(x)=("-?e_

1％XJ

(x、

(xl)[e《X+2)](xl)(x+2)t

_r2=____________I*_2

x%2

因为/(无)恰有两个极值点，所以/«x)=o恰有两个不同的解，显然x=二1是它的一个解，另一个解由方

程/一-7=0确定，且这个解不等于1.

x+2

令g(x)_则g(x)/9A2>0,所以函数g(x)在(0,+?)上单调递增，从而

x+2(x+2)

g(x)〉g⑼=g，且g⑴=：.所以，当月//£时，/(x)=±-jlnx+x+2]恰有两个极值点,

3%卜xj

7

1ee

即实数，的取值范围是—,+co

2533

故选：C

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

第II卷非选择题(90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.计算:J（后-2『-（0.25）；x[J]+舟*=

【答案】-2#)

【解析】

【分析】根据根式、指数幕运算以及对数的定义运算求解.

2

【详解】由题意可得：^（V3-2）-（0.25）1xfXT+^xig_l=|V3-2|-Qj）⑹、氐㈠）

=2-^--X4-A/3=-2^,

2

艮（若一2）一（0・25）2>［击）+6xlg&=-2A/3.

故答案为：—2A/3•

14.若tan(2x-则x的取值范围是

7ikn5乃k兀

【答案】---1---,---1---（kez）

62242

【解析】

7/'))7/

【分析】先换元令z=2x——，在一个周期上解tanzWl,再扩展到定义域上解得-----Hkm<zWFkJi,

624

即可求解.

TTITT7T|TTTTTC

【详解】令z=2x—巴，在-"，式上满足tanzWl的z的值是-2〈zW生，在整个定义域上有-2+

6I22J242

k“〈zWX+kn,解不等式—工+kn〈2x—得一工十红〈xW^+红，kEZ.

426462242

【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调性，换元法解不等式，属于中档题.

15.函数/(x)=Lx2+x-21nx在区间上的最小值为____.

22

8

3

【答案】一

2

【解析】

分析】

首先求出函数的导数，再令，<吊>0、/'(x)<0得到函数的单调性，从而可得函数的最值；

【详解】解：因为/(x)=gx2+x—21nx,则定义域为(0,+8)

所以广⑺“-x-2=(x+2)(x-l)

XXX

令第x)>0解得4>1,即“X)在(1,+00)上单调递增,令/'(x)<0解得0cx<1,即/(x)在(0,1)上单

调减，

所以/(%)在X=1处取得极小值，也就是最小值且

又因为工£|—,/(e)=—/+e—2

_2」<2；82

i「113

所以函数/(耳=5/+.”21nx在区间5，e上的最小值为不，

3

故答案为：一

2

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.

16.锐角AABC中,角A,8,♦所对边分别为a,b,C,有cos?A+cosAcos(C-B)=sinBsinC,且c=4,

则a+Z?的取值范围为.

【答案】仅石+2,4石+8)

【解析】

【分析】先利用三角函数恒等变形求出A=[，利用正弦定理表示出。+人=+主—

3sinCsinC(3)

用三角函数求出a+b的取值范围.

【详解】因为cos?A+cosAcos(C-B)=sinBsinC,

所以cosA[cosA+cos(C-B)]=sinBsinC.

因为A+5+C=〃，所以B+C=TU—A,所以COS(5+0=COS(万一A)=—COSA.

所以2cosAsinBsinC=sinBsinC.

9

1TC

因为ABC为锐角三角形，所以sin6>0,sinC>0,所以cosA=—，所以A=二.

23

27r2»

所以B+C=——，即5=——C.

33

0<C<-

97TTT

因为为锐角三角形，所以〈c,解得：一<c<—

c2%62

abc.“2百,_c.4.(in

由正弦定理得:------sinA=------,b=-------sinB=-------sin------C

sinAsinBsinCsinCsinCsinCsinC13

=2A/3^-+2

而z,2734.(17iy2A/326cosc。

所以a+b=------+-------sm------C+—.............+2

sinCsinC(3)sinCsinCtan—

2

71c兀nC兀-71C71

因为一<C<一,所以—<—<一，所以tan—<tan—<tan—.

6212241224

——-------&=2—6,所以2—也<tan£<l,

、兀冗2

1+tan—tan一

46

1<-^T7<2+V3273+2<2A^^—+2<4^+8

所以c,所以，c

tan—tan—

22

即2逐+2<a+b<4G+8

在一A3C中，由两边之和大于第三边，所以〃+6>c=4.

综上所述：2石+2<a+/?<46+8.

故答案为：(2^/3+2,473+8)

【点睛】解三角形的最值问题包括两类：

(1)利用正弦定理转化为三角函数求最值；

(2)利用余弦定理转化为基本不等式求最值.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.已知函数/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2%+1.

(1)求函数/(X)的最小正周期；

717万8

(2)若五)，且/(a)=y,求cos2a的值.

10

【答案】(1)TC.(2)—4+36

10

【解析】

Q7F

【分析】⑴利用辅助角公式化简〃龙)，求出最小正周期；⑵将/(。)=小弋入可求出sin(2c-10,结

77"JTTTTT

合2a——的范围，求出cos(2。—一),因为2。=(2。—一)+-,由两角和的余弦公式求出结果.

6666

TT

【详解】f(x)=2sin(2x——).

6

27r

(1)函数/(无)的最小正周期T=—=n.

2

(2)由/(0)=§,得2sin(2a—生)=§,即sin(2a—2)=3.

56565

由。£(工,卫)，得21一工£(匹,；T),

31262

cos(2a-看)=-^1-sin2(2(7-^)=，

,。「。兀、、兀、兀兀,兀冗3百414+36

・・cosLOL—cos[(2cif----)H—J=cos(2cif----)cos-----sin(2cif----)sin—=—x-------x—=---------

666666525210

18.记:ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知/二。。，点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos/ABC.

7

【答案】(1)证明见解析；(2)cosZ4BC=—.

12

【解析】

ac

【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有3。=一，结合己知即可证结论.

b

(2)方法一：两次应用余弦定理，求得边。与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosNABC的值.

【详解】(1)设A3C的外接圆半径为兄由正弦定理，

hr

得sin/ABC=——,sinC=—,

2R2R

hr

因为5Dsin/ABC=asinC,所以8。♦——=a♦—,即2=ac.

2R2R

又因为。2=呢，所以6

(2)［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

11

〃22

因为AD=2DC,如图，在一ABC中，cosC二幺二一-,①

2ab

在△BCD中，cosC=----三——.②

2-

3

「Z?111

由①②得/+/―02=3/+（_）2—/，整理得2a2一一/+02=0.

L3J3

又因为"2=ac，所以6a2—1lac+3c2=0，解得a==或a=—，

32

当a=£,"=ac='-时，a+b=--\——<c（舍去）.

3333

Z3C\223c2

3r3r2k+^7

当a=3,/=ac='时，cosZABC=^-------^-=—.

2203cl2

z,—,c

2

7

所以cos/ABC--.

12

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，已知AD=2QC,则S/^\r5\DJ=-3S-/\/5C，

BP—x—/?2sinZADB=—x—tzcxsinZABC,

2332

而〃=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAD5=NABC,从而NABD=NC.

Acr\BA

由从二a。，即—=—,即---=----,即ACB0°zABD，

abCBBD

12

lb

uADAB口口

故——=——，即3c,

ABAC—

cb7

2

又I}1=ac‘所以c=

7

则cosNABC=C-"

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合

21

由（1）知=〃=再由AD=2。。得AD=一七CD=—人.

33

在，ADB中，由正弦定理得———=图乙.

sinZABDsinA

2,c

——b2

又NABD=NC,所以3b,化简得sinC=-sinA.

二3

sinCsinA

22

在，ABC中，由正弦定理知c=-a,又由。2=呢，所以/=-/.

33

22_72aH---Q--

:7

在（ABC中，由余弦定理，得cosZABC=------------=------J

212

2讹2x-a

3

7

故cosZABC=——.

12

［方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作OE〃A5,交于点£,则△DECsA45c.

2a

T

（?）2+（J—/

在，BED中，cosZBED=3——g--------

33

22_72

在,ABC中cosZABC="

lac

因为cosZABC=—cosABED,

13

整理得6/—n/+3/=0.

又因为Z?2=〃c，所以6〃2=0，

C、3

即a=—或a=—c.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

uuiuuum

因为AZ）=2DC，所以AD=2DC.

一21

以向量BA,BC为基底，有8。=§5。+3区4.

•24-24-1-2

所以8。=-BC+-BABC+-BA,

999

441

即b~=-ct~—uccos^.ABCH—c?,

999

又因为Z?2=〃c，所以9。。=4片+4ac•cosNABC+，.③

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosNABC，

所以=/+02一2〃ccosZABC④

联立③④，得6〃2—n〃c+3c2=0.

3、1

所以a=-c或a=—c.

23

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以，为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点，垂直于AC的直线为y轴,

DC长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则D（0,0）,A（—2,0）,C（l,0）.

14

dcJT

由(1)知，BD=b=AC=3,所以点6在以。为圆心，3为半径的圆上运动.

设3(x,y)(-3<x<3),则/+/=9.⑤

由。2=呢知，忸从忸。|=|人。「，

即"(x+2)2+y2.J(%—1)2+产=9.⑥

7795

联立⑤⑥解得x=——或x=—23(舍去)，/=—,

4216

代入⑥式得a=|BC|=植,c=\BA\=V6,Z?=3>

2

〃242_序7

由余弦定理得cos/ABC=巴士~.

lac12

【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的

性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将

其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直

观化.

19.设函数F(x)=gx3—■|x2+"+c,其中a>0.曲线y=/(x)在点。(o,/(o))处的切线方程为y=l.

(1)确定Z?，c的值；

(2)若a=4,过点(0,2)可作曲线y=/(x)的几条不同的切线？

【答案】(1)b=0,c=l；(2)3条.

15

【解析】

【分析】（1）求r（x）,根据导数的几何意义可得了'（。）=d/（o）=i,即可求得办，。的值；

（2）求出以及/'（九），设切点为（5，%），利用切点与点（0,2）所在直线的斜率等于/'（尤0）以及切

点满足了（%）的解析式列方程，利用导数判断对应函数零点的个数即可求解.

【详解】（1）由/"（x）=gx3-■|■x2+匕x+c得/（o）=c,/f（%）=x2-ax+b,

因为曲线>=/（尤）在点尸（0,/（0））处的切线方程为y=l,

所以切线的斜率为/'（0）=6=0,且/（O）=l=c

故〃=0,c=l.

（2）a=4时，/（x）=-2x2+1,/f（x）=x2-4%,

点（0,2）不在/（X）的图象上，

设切点为（％，%），则切线斜率左=其-4x0,

——-=%o_4%

所以「。一°，即2X；_2X；+1=0

,+13

上式有几个解，过（0,2）就能作出了⑴的几条切线.

2

令g（x）=§丁一2炉+1,贝I]=2x2-4x=2x（x-2）,

由g'（x）>0可得x>2或x<0；由g'（x）<0,可得0<x<2,

所以g（x）在（-8,0）单调递增，在（0,2）单调递减，在（2,+8）单调递增，

所以g（x）极大值为g（0）=l>0,g（尤）极小值为g（2）=§x23—2x22+1=—耳<0,

所以g（x）有三个零点，

即过（0,2）可作出了（X）的3条不同的切线.

20.如图，在三棱柱A3C-4与£中，四边形4GCA为菱形，A=ZC^A=60°,AC=4,AB=2,

平面ACC】A，平面ABB14,0在线段力。上移动，户为棱A4的中点.

16

(1)若〃为60中点，延长/〃交于〃求证：AD〃平面用PQ；

(2)若二面角4-PQ-G的平面角的余弦值为巫，求点尸到平面的距离.

13

【答案】(1)证明见解析；

⑵当

【解析】

【分析】(1)取圈中点£,连接/£,EH,结合已知条件易得的〃合。AE//PB,,根据线面平行的判定可证

用。〃面石的，PB"/面EHA,再由面面平行的判定及性质即可证结论.

(2)连接户G,阳有户GU4,由面面垂直的性质可得阳，面/圈4,过户作以L/4交能于点必进而

构建空间直角坐标系，设AQ=2AC=A(0,-2,2括)，le[0,1],确定相关点坐标，求面产的、面A4KC

的法向量，根据已知二面角的余弦值求参数4，进而可得。B,连接如，应用等体积法求产到平面8的的

距离.

【小问1详解】

取8月中点石，连接AE,EH,如图，

H为BQ中点，：.EH〃BQ

在平行四边形田中，己石分别为.出片的中点，，？^〃/^

17

由掰n/£=£且EW,AEu面EH4，B]Q,PBe面EHA，

所以用。〃面£H4，PB[〃面EHA,又PB1cBiQ=&,

所以面幽1〃面区的：ADu平面石H4，；.40〃平面B/Q.

【小问2详解】

连接PG，AG，

:四边形AGca为菱形，

又NGAA=60°,.••—AC1A为正三角形，为AA的中点，•••PG^AA，

平面ACQA±平面ABB.A,,平面ACGA「平面ABBX\=⑨，PQu平面ACC^,/.PQ1平

面ABBX\,在平面ABB^内过点尸作PR，A&交BB1于点R,

建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,

则P（0,0,0）,4（0,2,0）,A（0,-2,0）,£（0,0,2@,C（0,—4,2月,

设彩=2/=2（0,—2,26），2w[0,1]，；♦2（0,-2（2+1）,2后），

pQ-（0,-2（2+1）,2^/^2）,

•.•4g=43=2,ZB|AA=60°，.••丹（百/刀），.••丽|=（6,1,0），

设平面PQB｝的法向量为m=（x,y,z），

ITI•PQ-0—2（A+1）y2^/3Ax=0「2+]

则得I/",令x=l,则y=_JIz=_J,

m-PB1=0[J3x+y=02

2+1

••・平面PQB,的一个法向量为m=1,-73,-

2

18

设平面441GC的法向量为n=(1,0,0)，二面角BrPQ-Q的平面角为。,

2=g或2=—；(舍)，；.北=3就，Q(0,—3,有).

又3,0),；.QB=(6,0,一6',|QB|=A/3+3=\/6,

连接5P，设点尸至U平面3。用的距离为〃，则‘义」义4义6义百=’><LX4XC></Z,

3232

A=—.即点P到平面BQBy的距离为限.

22

21.已知函数/(x)=与必-x(lnx-b-l),a,beR.

(1)当b=-l时，讨论函数F(x)的零点个数；

(2)若/(尤)在(0,+e)上单调递增，且ewe?"求c的最大值.

【答案】⑴当0<“<2时，函数有两个零点；当色=」或040时，即。=2或qWO时，函数

e2e2e

有一个零点；当3>1即。>2时，函数/(%)无零点；(2)C的最大值为2.

2ee

【解析】

【分析】⑴整理得小)=呜1叼，故函数零点的个数取决于y\x-加的零点个数，等价转化

/7

为y=2与y=I上nx±的值域之间的关系，利用导数求解即可求得结果；

2x

(2)根据题意，/'(九)20恒成立，据此求得。力范围；再构造函数求得2a+6的最小值，即可求得c的

最大值.

【详解】(1)当b=—1时，/(%)=x^x-lnx\,

故/(%)的零点个数，取决于y=/以的零点个数.

八一公皿一T/RQ如人7/\1nxEi?，/\1-lnx

分禺参数可得一=——，令〃(力=——，贝!J/z(x)=———,

2xxx

令解得］£(0,e)；令〃(x)<0,解得%£(%+8)；

故故x)在(O,e)单调递增，在(e,+8)单调递减.

19

故Mx),u=/z(e)=L又砍1)=0,当尤>1时,〃(尤)>0恒成