2024年上海市杨浦区中考三模数学试卷含详解

2024年度杨浦区第二学期第三次模拟考试数学学科

（测试时间：100分钟，满分：150分）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项

是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列分数中，能化为有限小数的是（）

1315

A.—B.—C.—D.—

12121515

2.下列关于x的方程，有实数根的是（）

,,x2

2D.JI+1+2^0

A.犬+1=0B.x+mx-2=0C.—

x-4x--4

3.体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学

的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

4.关于抛物线丁=依2-2依+a—4（a<0）,下列说法错误的是（）

A.该抛物线的对称轴是直线x=l

B.该抛物线顶点坐标是（1,T）

C.该抛物线与无轴有两个交点

D.该抛物线在对称轴的左侧部分，y随X的增大而增大

5.已知点A在半径为3的圆。上，如果点A到直线。的距离是6,那么圆。与直线。的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对

6.在四边形A3CD中，ABCD,AB=BC,添加下列条件后仍然不能推得四边形A3CD为菱形的是

（）

A.AB=CDB.AD〃BCC.AB=ADD.AD=CD

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.单项式-2/y的次数是.

8.今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示.

99知=J九+12,那么〃4）=.

10.已知方程———三二巧=2,如果设y=那么原方程转化为关于y的整式方程为______.

%2-4xx-4

11.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，

混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是.

12.一个正多边形的中心角是40°，则这个正多边形的边数为

13.已知在梯形A3CD中，AD〃BC,点、E、尸分别是边A3、CD的中点，BC=2AD,设AD=o,那么

EF="（用含a的式子表示）

14.如果函数y=（x—17+m的图像向左平移2个单位后经过原点，那么.

15.4月23日是世界读书日，某校为了解该校210名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校30名

六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级

学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有名.

3

16.如图，在RtZiABC中，ZACS=90°,AC=6,tanB=-,如果以AC为直径的圆。与以8为圆心、厂为

2

半径的圆8相交，那么厂的取值范围是.

17.如图，已知矩形A3CD,AC为对角线，点E、尸分别是型45C与八位）。的重心，连接AE、EF,如果

AE±EF,那么sin/EA3=.

18.如图，已知在ABC中，AD1BC,垂足为点。，BD=AD,tanC=3,点E、尸分别在边A5和AC

上，OE将分割成两个小三角形，。/将Rt^ACD分割成两个小三角形，如果Rt^ACD分割成的两

个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么——的值是.

AB

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

（1A—4x+4—

19先化简，再求值：1-----------：---，其中》二代.

（x-1）x-1

-12-2%>3（%-1）

20.解不等式组：Qx2x-l，并写出它的整数解.

--------«2

[32

21.已知一次函数丁="+〃的图像与反比例函数y=-±的图像相交于A（—1,m），5（2—1）两点，与〉轴交于点

C.

5

4

3

2

1

-3-2-1012345%

-1

-2

-3

（1）求一次函数解析式;

（2）设点。关于x轴的对称点为点。，求ADB的面积.

22.如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，QV是反射光线，法线XO,平面镜£,入射角ZMOX

等于反射角NXON.

如图2,水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板石尸、挡板AB、平面镜/,在挡板A5的正上方有一可上下移

动的挡板8（挡板的厚度都忽略不计），已知AB=A£=60厘米，当从点A发出的光线经平面镜/反射后恰好

经过点3时，测得入射角为37。.（参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）

B

E"

图2

(1)点A到平面镜/的距离是______厘米.

(2)移动挡板CD,使空隙的长度是20厘米，当从点A发出的光线经平面镜/反射后恰好经过点C时，求

入射角的度数.

(3)在(2)的条件下，如果从点A发出的光线经平面镜/反射后通过空隙落到挡板石厂上的最高点为尸，

最低点为Q,那么的长度是____厘米.

23.已知：如图，在。中，0c平分劣弧A5,OC与A5交于点E，点。在。C延长线上，OA±AD,连接

AC.

(1)求证：AC平分NE4。；

(2)OB、BD,延长5C交AD于点尸，如果4。2=4尸.人。，求证：四边形。4£出是正方形.

24.已知平面直角坐标系x0y,抛物线股1：y=以2+x+c与x轴交于点4(一2,0)和点B,与》轴交于点

C(0,4),把抛物线Ml向下平移得到抛物线“2,设抛物线“2的顶点为。，与y轴交于点E,直线OE与X轴

交于点尸.

5-

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-i(912345*

-1

-2

-3

-4

-5

(1)求抛物线"1的表达式；

(2)当点尸与点A重合时，求平移的距离；

(3)连接A。，如果EHDP与/ACB互补，求点。的坐标.

25.如图，已知在中，AB=AC,。是边AC上的一点(不与点A、C重合)，E是边延长线上一

点，BD=DE，延长E£)交边AB于点尸.

CD1

(2)如果灰，8/，且——=—,求/石的余切值;

AC3

(3)连接。/，当班»平分。/时，求一值.

BF

2024年度杨浦区第二学期第三次模拟考试数学学科

（测试时间：100分钟，满分：150分）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项

是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列分数中，能化为有限小数的是（）

1315

A.—B.—C.—D.—

12121515

【答案】B

【分析】本题考查分数和小数的互化，解题的关键是运用有理数的除法法则分别计算即可判断.

1

【详解】解：A.—=0.083,故此选项不符合题意；

12

3

B.一=0.25,故此选项符合题意；

12

1,

C.—=0.06,故此选项不符合题意；

D.1=0-3,故此选项不符合题意.

故选：B.

2.下列关于％的方程，有实数根的是（）

A.丁+1=0B.f+mx—2=0C.—^-=^—D.V7ZT+2=0

x2-4x-4

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程根的判断式，解分式方程，偶数次方及二次根式非负性，解题的关键是根据偶数

次方的非负性判断选项A；根据一元二次方程根的判断式判断选项&解分式方程可判断选项G根据二次根式非

负性判断选项D.

4

【详解】解:A.Vx>0,则公+1对,

；•方程/+1=。没有实数根，故此选项不符合题意；

B.VA=m2-4xlx（-2）=m2+8>0,

；・方程/+3-2=0有实数根，故此选项符合题意；

C.在方程两边同乘以（1―4）,得：x=2,

检验：把x=2代入（尤2—4）,得：22—4=0，

•..x=2不是原方程的根,

x2

•••方程F—一无解，故此选项不符合题意；

x-4X-4

D.•••Vx+1>0.

••-\/x+1+222，

方程JQ+2=0无解，故此选项不符合题意.

故选：B.

3.体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学

的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的()

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

【答案】D

【分析】此题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越

大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差.

故选D.

4.关于抛物线丁=加-2办+。—4(a<0),下列说法错误的是()

A.该抛物线的对称轴是直线x=l

B.该抛物线的顶点坐标是(1,-4)

C.该抛物线与x轴有两个交点

D.该抛物线在对称轴的左侧部分，y随X的增大而增大

【答案】c

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质.根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：y-ax2-2ax+«-4

=a(x?-2x+1)-4

=-4，

该抛物线的对称轴是直线X=l,顶点坐标是故A,B选项正确，不符合题意；

•/a<0,

：.A=(-2«)2-4«(«-4)=16«<0,该抛物线在对称轴的左侧部分，了随*的增大而增大，

该抛物线与x轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意；

故选：C

5.已知点A在半径为3的圆。上，如果点A到直线。的距离是6,那么圆。与直线。的位置关系是()

A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对

【答案】D

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若d<r,则直线与圆相交；若4=厂，则直线于圆相切；若d>厂，则

直线与圆相离；根据圆心到直线的距离1与半径7■的大小关系解答即可；

【详解】A在半径为3的圆。上，如果点A到直线。的距离是6,

二圆。与直线a的位置关系可能是相切或相离，

故选：D；

6.在四边形ABCD中，ABCD,AB=BC,添加下列条件后仍然不能推得四边形A3CD为菱形的是

()

A.AB=CDB.AD〃BCC.AB=ADD.AD=CD

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形的判定，以及全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的判定和性质

以及全等三角形的判定和性质判定逐项判断是否为菱形即可.

【详解】解：A.添加AB=CD,「ABCD,.•.四边形ABCD是平行四边形，=.•.YABCD是

菱形，故该选项不符合题意；

B.添加CD,...四边形A3CD是平行四边形，=.•.YABCD是菱形，故该选

项不符合题意；

C.添加=•••A5=5C,AD=3C,不能得出四边形A3CD是菱形，故该选项符合题意；

D.添加AO=CD,连接03,如图，

^BAD^^BCD,

：.AABD=Z.CBD,AADB=ACDB,ZA=Z,C,

ABCD,

：.ZABD=ZCDB,

：.ZABC=ZADC,

/.四边形A3CD是平行四边形,

则YABC。是菱形，

故该选项不符合题意；

故选：C.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.单项式-2x3y的次数是.

【答案】4

【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，在单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可.

【详解】解：单项式—2三y的次数3+1=4,

故答案为:4.

8.今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示为.

【答案】1.675xlO7

【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为ax10"的

形式，其中lW|a|<10,"为比原数的整数位数少人的正整数，表示时关键要正确确定。的值以及“的值.

【详解】解：16750000=1.675xlO7.

故答案为：1.675x107.

9.已知/(x)=Jx+12,那么/(4)=.

【答案】4

【分析】本题考查了函数、二次根式，把x=4代入/(%)=Jx+12中计算即可求解,理解函数值的计算方法是解

题的关键.

【详解】解：=+

/(4)=14+12=4,

故答案为：4.

10.已知方程———三二巧=2,如果设y=—那么原方程转化为关于y的整式方程为___.

%2-4x%2-4

【答案】y2-2y-l=0

【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可；

详解】方程—=3=2,如果设y=

%2-4x%2-4

1c

贝i]y——=2,

y

/-2y-l=0,

故答案为：y"—2y—l=0；

H.在四张完全相同卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，

混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是.

【答案】1##0.5

【分析】本题考查了中心对称图形，概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题关键；直

接利用概率公式计算即可；

【详解】解：4个图案中，中心对称图形的有2个，分别是平行四边形、圆，

・•・抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是2=,，

42

故答案为：

12.一个正多边形的中心角是40°，则这个正多边形的边数为.

【答案】九##9

【分析】根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360。进行求解即可.

【详解】解：设这个正多边形的边数为小

:这个正多边形的中心角是40。，

.•.40°-«=360°,

n=9,

...这个正多边形是九边形，

故答案为：九.

【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键.

13.己知在梯形A3CZ）中，AD〃BC,点、E、尸分别是边A3、CD的中点，BC=2AD,设AD=a，那么

EF=.（用含a的式子表示）

3

【答案】

2

【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解.

【详解】解：3C,点、E、口分别是边AB、CD的中点，

/.EF=g（AD+BC）,

•/BC=2AD,

3

/.EF=-AD,

2

33

/.EF=-AD=-a；

22

一3

故答案为：一a.

2

14.如果函数y=（x-Ip的图像向左平移2个单位后经过原点，那么〃?=.

【答案】-1

【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是要熟练掌握二次

函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；

【详解】把函数y=（x-l『+m图像向左平移2个单位后得y=（%-1+2）2+〃?=（%+1]+加，

平移后的图像经过原点，

0=（0+1）~+m,

解得：m=-l,

故答案为：T;

15.4月23日是世界读书日，某校为了解该校210名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校30名

六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级

学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有名.

（每组包括最小值，不包括最大值）

【答案】98

【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体.用210乘被抽取的30名六年级学生中每周阅读课外书籍的时

间不少于5小时所占的比例即可.解题的关键是正确理解题意并从频数分布直方图中获取相关信息.

【详解】解：由频数分布直方图可知：

每周阅读课外书籍的时间在1至5小时的学生约有：4+12=16（名），

・••在被抽取的30名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有：

30-16=14（名）,

210x—=98（名）

30

，估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有98名.

故答案为：98.

3

16.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,tanB=-,如果以AC为直径的圆。与以3为圆心、厂为

2

半径的圆8相交，那么厂的取值范围是

CB

【答案】2<r<8

【分析】本题考查了两圆位置关系：相交，当R—r<d<R+r时，两圆相交；连接。3,则可求得。3,根据条件

R-r<d<R+r即可求得r的取值范围.

【详解】解：连接03,如图，

3

,/AC=6,tanB=—,ZACB=90°,

一一2

3AC

：.OC=3,tanZABC=-=—

2BC

BC=4,

0B=y/0C2+BC2=5；

O.5相交,

r—3<5<r+3,

即2VY8；

CB

故答案为：2（度<8.

17.如图，已知矩形A3CD,AC为对角线，点E、尸分别是与八4。。重心，连接AE、EF,如果

AELEF,那么sin/E43=.

【答案】1#/石

33

【分析】延长AE交6C于连接■并延长■交CD于N,连接。尸并延长C厂交A。于G,连接CE并

延长CE交A3于〃，连接"N、GN、HM，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出

AF2AF2AFAF

——=-,——=—,MB=CM,CN=DN,得到——=——，判定八4所飞加亚，推出

AM3AN3AMAN

ZAEF=ZAMN=90°,再证明VABA/syMCN，推出公”=躯，得到MB?=工AB?,再用勾股定理求

MCCN2

出40，即可得解.

【详解】解：延长AE交于M,连接,并延长"交CD于N,连接b并延长CF交A。于G,连接

CE并延长CE交A3于H,连接MN、GN、HM，

■:点、E、口分别是「ABC与八4。。的重心，

二40、S分别是BC、AB边上的中线，即点M、X分别是BC、AB边上的中点；

AN.CG分别是CD、A。边上的中线，即点N、G分别是CD、A£＞边上的中点，

：.HM//AC,HM=-AC；GN//AC,GN=-AC,MB=CM,CN=DN,

22

：.ZECA=ZEHM,ZEAC^ZEMH；NFCA=/FGN,ZFAC=ZFNG,

：.AECA^AEHM,△FCA^AFGN,

.AE_AC_2HM_2AFAC_2GN_2

''ME~HM~HM'NF~GN~GN~'

.AE_AE_2EM_2AF_AF_2FN_2

'*AM—AE+EM~2EM+EM-3'AN~AF+FN~2FN+FN~3)

.AE_AF

"AM~ANJ

,：ZEAF=ZMAN,

AAEF^AAMN,

：.ZAMN^ZAEF,

•/AE.LEF,

：.ZAMNZAEF^90°,

:四边形A3CZ)是矩形，

：.ZB=ZBCD=90°,AB=CD,

ZBAM+ZAMB=90°=ZCMN+ZAMB,

/.ZBAM=ZCMN，

•：ZB=ZMCN,

：.NABM^NMCN，

.ABBM

,,MC-CN'

,:MB=CM,CN=-CD=-AB,

22

/.MB7=-AB2,

2

：-AB=®MB或AB=—0MB（负值不符合题意，舍去）,

设MB=x,则48=缶，

在RtABM中，AM=y]AB-+MB2

KinNE®翳x_^/3

3

故答案为：B.

3

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直

角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出

AE_AF

AM~AN'

18.如图，已知在中，AD1BC,垂足为点。，BD=AD,tanC=3,点E、尸分别在边A3和AC

上，OE将RtzXABD分割成两个小三角形，。少将Rt^ACD分割成两个小三角形，如果Rt^ACD分割成的两

AF

个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么一的值是.

AB

【答案】一1或二3

44

【分析】设CD=a,根据题意可得NZMB=NDR4=45°,AD=3a,AB=S]BD2+AD2=372«*继而确

定加'平分NA£>C,即NADF=NCDR=45°,

设AE=x,则8E=3缶—x，分两种情况：①当NADE=NZMF时；②当NfiDE=NZMF时，分别求解即

可.

【详解】解：设CD=a,

:在ABC中，AD1BC,BD=AD,tanC=3,

AT)AT)

・・.3=tanC=——二——,ZADB=ZADC=90°,NDAB=/DBA=45。,

CDa

:.AD-3a,

:.BD=AD=3a,

AB=y]BD2+AD2=J(3a1+(3a)2=3缶，

•/。石将Rt"BD分割成两个小三角形，。P将Rt^ACD分割成两个小三角形，Rt^ACD分割成的两个小三

角形与分割成的两个小三角形分别相似，

RtA4CD分割成的两个小三角形都有一个角为45°,

/.DF平分^ADC,即ZADF=ZCDF=45°,

设AE=x,则8石=3缶—x，

①当NADE=NZM/时，

DE//AC,

•.,ZE4D=ZJFZM=45°,

/.AE//DF,

四边形AEDF是平行四边形，

DF=AE=x,

VZADE^ZDAF，ZEAD^ZFDA=45°,

：.AA力RsADA",

：.ZAED=ZDFA,

：./BED=/DFC,

•：/EBD=NFDC=45。,

：.△EB4MDC,

,EBBD

''~FD~~DC'

.3夜〃-x3a

••--------=—,

xa

解得：x=^a，

4

经检验，x=是原方程的解且符合题意,

4

/.AE=^a，

4

372

AE_^Ta\.

AB—3向—4

②当4Z宏二NZMb时，

■:ZDBE=ZADF=45°,

：.ABDE^ADAF,

:.ZBED=ZDFA,

BE_BD_3a

即DF=BE=3ga—x，

DFDA3a

：.ZAED=ZDFC,

•：ZEAD=ZFDC=45°,

:.一AEDs^DFC,

.AEAD

"~DF~~DC，

.x_3a

3yf2a-xa

解得：%=逋〃，

4

经检验，1=逑〃是原方程的解且符合题意,

4

4

972

AB—3苏—4

Api3

综上所述，一的值是一或？.

AB44

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，等边对等角，平行四边形的判定和性质

等知识点.掌握锐角三角函数的意义及相似三角形的判定和性质是解题的关键.

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

(1A丫2—4Y+4r—

19.先化简，再求值：1----------------------,其中％=

(x-\)x-1

【答案】—,-2-6

x-2

【分析】本题考查分式的化简求值.先计算小括号内的减法，再计算括号外的除法，最后将x二后代入化简的式

子进行分母有理化即可.掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键.

【详解】解：fl--二4，-4：+4

（x-ljx-1

x—1—1X~1

x—1—4x+4

x—2x—1

二—.（%—2）2

1

一,

x-2

当户百时,原式=七=一（2—占"出厂（2+@7-3

’12-2x>3（x-1）

20.解不等式组：‘％2x-l，并写出它的整数解.

-------------<2

132

9

【答案】——<x<3,整数解为—2,-1,0,1,2

4

【分析】本题考查了求不等式组的解集并确定不等式组的整数解，先分别解出两个不等式，进而求出不等式组的解

集，即可确定整数解.

12-2x〉3(x-1)①

【详解】卜一2

132一

解不等式①得：x<3

9

解不等式②得：%>——

49

<X<3

不等式组的解集为:4--

.,.整数解为—2,-1,0,1,2

21.已知一次函数丁="+〃的图像与反比例函数丁=—㊀的图像相交于人(一1,m)，5(〃,—1)两点，与>轴交于点

c.

5

4

3

2

1

ill.

-3-2-1012345x

-1

-2

-3

(1)求一次函数解析式；

(2)设点C关于x轴的对称点为点。，求，ADB的面积.

【答案】⑴y=-x+3

(2),一ADB的面积为15

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，

一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

(1)由反比例函数的解析式求出点A、8两点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

(2)利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据对称的性质得出点。坐标，利用SABO=SAS+SBCO即可求得

结论.

【小问1详解】

解：•••一次函数>=丘+6的图像与反比例函数y=-d的图像相交于A(—1,加)，5(〃,—1)两点，

x

4,4”

m=-----=4,n=------=4,

-1-1

A（-l,4）,8（4,-1）

将A（—1,4）和5（4,—1）代入y=H+6得

4=-k+b解得。k=3_、

-l=4k+b

...一次函数的解析式为：y=-x+3；

【小问2详解】

如图，当x=0时，y=—x+3=3,

・・・D（0,-3）,

・・・CD=6,

••S^ABD=$4ACD+S4BCD

=—x6xl+—x6x4

22

=3+12

=15

22.如图1是光的反射规律示意图，MO是入射光线，QV是反射光线，法线XO,平面镜L,入射角/MOX

等于反射角ZXON.

如图2,水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板所、挡板A3、平面镜/,在挡板A5的正上方有一可上下移

动的挡板CD（挡板的厚度都忽略不计），已知AB=AE=60厘米，当从点A发出的光线经平面镜/反射后恰好

经过点8时，测得入射角为37°.(参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°®0.75)

B、1

、

£“

图2

(1)点A到平面镜/的距离是_____厘米.

(2)移动挡板CD,使空隙6c的长度是20厘米，当从点A发出的光线经平面镜/反射后恰好经过点。时，求

入射角的度数.

(3)在(2)的条件下，如果从点A发出的光线经平面镜/反射后通过空隙落到挡板炉上的最高点为尸，

最低点为Q,那么R2的长度是____厘米.

【答案】(1)40

(2)入射角的度数为45°

(3)35

【分析】(1)作于点〃，且NAGH=NBGH,得出NGBH=NGAH,则GB=G4,根据三线合

一可得==进而解直角三角形，即可求解；

2

(2)作于J,使得NAKJ=NCKJ,得出是等腰直角三角形，进而即可求解；

(3)作A关于/对称点A,连接AB,AC并延长交及尸分别为Q,。，得出一

AAC-AEP,根据相似三角形的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，作于点且NAGH=NBGH,

F

D.

—上

0二

^二

4*一

—

ZGBH=ZGAH,

：.GB=GA,

AH=BH=-AB=30cm,

2

AH30

..HG=--------«------=40(cm)；

tan37°0.75

故答案为：40；

【小问2详解】

解：如图所示，作于J,使得NAKJ=NCKJ,

同理可得A7=/C,

•：KJ=GH=40,CJ=AJ=1（60+20）=40,

...△4。是等腰直角三角形，

：.ZAKJ=45°,

则入射角为45°；

【小问3详解】

解：如图所示，作A关于/的对称点A',连接A'3，A'C并延长交所分别为Q，P,

；•A4=80,AE=80+60=140,

AB//EF,

^A'AB^AEQ,.AAC^.~.AEP,

.EQAB60_3EPAC801

,•旅一瓦一丽一“旗一启一丽—'

3

AEQ=-A'E=105,EP=AE=140,

4

/.PQ=140—105=35（cm）.

故答案为：35.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是

解题的关键.

23.已知：如图，在（0中，0c平分劣弧A3，0c与A5交于点E，点。在OC延长线上，OA±AD,连接

（2）OB、BD,延长交AD于点尸，如果人。2=人尸求证：四边形QM出是正方形.

【答案】（1）见详解（2）见详解

【分析】（1）根据OC平分劣弧AB可得OCLM,即有N£AC+NACE=90。，再根据垂直可得

ZOAC+ZCAD=90°，问题即可得证；

（2）在优弧A3上任取一点N,连接AN、BN,根据圆内接四边形的性质可得：N/WB=NACF,根据OC

平分劣弧AB可得OC,M,AE=EB,证明VC4FsyD4C,可得NACF=NADC,即可证明

ZADC=ZAOC,则有AO=AO,进而可得AO=80=A。=80,问题随之得证.

【小问1详解】

•1,0c平分劣弧A3,

OCLAB,

：.ZEAC+ZACE=90°,

•/OA±AD,

：.ZOAC+ZCAD=90°,

■：OA^OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZEAC=ZCAD,

/.AC平分NELD；

【小问2详解】

在优弧AB上任取一点N,连接AN、BN,如图，

A

B

根据圆内接四边形的性质可得：ZANB=ZACF,

•/OC平分劣弧A3,

AOCLAB,AE=EB,/LAOC=ZBOC=-ZAOB,

2

,/AC2=AFAD，

.ACAD

"AFAC，

又；ZCAF=ZDAC,

：.NCAF^NDAC,

:.ZACF=ZADC,

•/ZANB=ZACF,

：.ZANB=ZADC,

:NANB=-ZAOB,ZAOC=ZBOC=-ZAOB,

22

ZADC^ZAOC,

AO-AD,

VOCYAB,AE=EB,

：.OC垂直平分A3,

/.AO=BO,AD=BD,

AO—AD,

AO=BO=AD=BD,

...四边形。M出是菱形，

OA±AD,

...菱形。4£）B是正方形.

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定以及圆内接四边形的性质等知识，掌

握并灵活运用垂径定理是解答本题的关键.

24.已知平面直角坐标系抛物线/］：y=以2+x+c与x轴交于点4（一2,0）和点8,与y轴交于点

C（0,4）,把抛物线Ml向下平移得到抛物线“2,设抛物线的顶点为与y轴交于点E，直线OE与X轴

交于点p.

势

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-i(9-i2345*

-1

-2-

-3-

-4-

-5-

(1)求抛物线"1的表达式；

(2)当点P与点A重合时，求平移的距离；

(3)连接A。，如果EHDP与/ACB互补，求点。的坐标.

1

【答案】(1)y=—x9+x+4

2

(2)3

(3)D(l,-3)

【分析】⑴将点4(-2,0)、C(0,4)代入抛物线M：尸汗+x+c上，得到关于*c的二元一次方程组，

求解即可；

1,a「9、

(2)由抛物线M顶点式y=—5(1)+5知对称轴为x=l，顶点［I，］，设平移的距离为d,可得抛物线

“2的表达式为y=_g(x—i)2+|_d,继而得到

FCDH

E(0,4—d),最后由tan440=tan4MH得——=——,即可得解；

AOAH

(3)连接。尸，过点A作AGJ_无轴于点A,交的延长线于点G,过点。作CKJ_FH于点K，由平移的

性质可证明四边形CEE不为平行四边形，得NCED=NCFD,继而得到tanNCED=tanNCED=2,得到

tanZOPE=-,在RtQ4c中，tanNOCA=^,得NOPE=NOC4,继而得到NC4G="Q4,由

22

ZGCA=1800-ZACB=ZADP,证明AGC4s△ADP,得NG=NZMP=45°,贝U

DH=AHtanZDAP=3,可得解.

【小问1详解】

解：•.•点A(-2,0)和点。(0,4)在抛物线M：y=ax2+x+c±,

4a-2+c=0

・•・〈，

c=4

1

Cl——

解得：［2,

c=4

12

抛物线Mx的表达式为y=-1x+x+4；

【小问2详解】

:抛物线Mi：y=—gx?+x+4=—g(x—I)?+|>A(-2,0),

•••对称轴为x=l,顶点

把抛物线”1向下平移得到抛物线〃2，当点尸与点A重合，设平移的距离为d，设对称轴尤=1交x轴于点”,

19Q

抛物线的表达式为y=—万"—1）一+万—Q,

抛物线知2的顶点为。

:.DH=}—d,AEf=l-(-2)=3,

i9Q

对于抛物线股2：y=--(X-l)+--J,

19

当％=0时，y=----1-----d=4—d,

22

・・・£(0,4-d),

OE=4—d,AO=2，

・・・ZAOE=ZAHD=90°,

tanZEAO=tanZDAH,

.EO_PH

**AO-AH?

L

4-J_2,

2-3

解得：2=3,

当点尸与点A重合时，平移的距离是3；

连接C/，过点A作AGl_x轴于点G,交5C的延长线于点A,过点C作CKLFH于点K，

VA(-2,0),C(0,4),对称轴为x=l,

AAO=2,AH=l-(-2)=3,0C=4,FH=|,四边形COHK为矩形,

ACK=OH=1,KH=CO=4,

tanZCFK=—=~—=2

•••FK-9---4.,

2

..•抛物线Mi：y=—gx?+x+4与x轴交于点4(—2,0)和点B,

1

当y=0时，得一一%92+%+4=0,

2

解得：x——2或％=4,

・・・5(4,0),

OB=4=OC,

ZOCB=ZOBC=45°,

..•把抛物线Mi向下平移得到抛物线河2,抛物线“2的顶点为。，

CE=FD,

•.•对称轴x=l与＞轴平行，即CE〃FD,

，四边形CEDF为平行四边形，

ZCED=ZCFD,

OP

tanZCFD=tanZCED=—=2,

OE

：.OP=2OE,

-OEOE1

..tanNOPE=----=-----=一,

OP2OE2

AQ?1

在RtOAC中，tanNOCA==———,

OC42

：.ZOCA=ZOPE,

•/AG_Lx轴,

AG〃y轴,

AZOCA=ZCAG,ZG=ZOCB=45°,

：.ZCAG=ZDPA,

与ZACB互补，即？ADP?ACB180?,

ZGCA=1800-ZACB=ZADP,

：.AGCA^AADP,

：.ZG=ZDAP=45°,

=A?/•