浙江省宁波市2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

浙江省宁波市第七中学2024年中考考前最后一卷数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将抛物线y=d向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）

A.y-（x4-2）2—3

B.y=（x+2）2+3

C.y=（x-2）2+3

D.y=（x-2）2-3

2.如图，正方形ABCD的对角线AC与RD相交于点O,NACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点.若AM

=2,则线段ON的长为（）

A立B邪c1口仄

222

3.实数-11的倒数是（）

5533

A.---B.—C.--D.—

2255

4.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家

到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）

D.

5.如图是二次函数丫=2乂2+认+。（a,b,c是常数，a邦）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间，对称轴是x=l.对于下列说法：①abVO；②2a+b=0；③3a+c>0；@a+b>m（am+b）（m为实数）；⑤当-IVx

V3时，y>0,其中正确的是（-)

C.②③④D.③@@

6.如图，立体图形的俯视图是（）

7.如图，弹性小球从点P（0,1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OAB」C的边时反弹，反弹时反射角

等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为Pi（2,0）,第2次碰到正方形的边时的点为P2,…，第n次碰

A.(1,4)B.(4,3)C.(2,4)D.(4,1)

8.函数y=」:自变量x的取值范围是()

x-3

A.x>\B.x>l且/3C.D.l£x<3

9.若一组数据2,3,X,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为（）

A.2B.3C.5D.7

10.如图，AABC内接于OO,AD为0O的直径，交BC于点E,若DE=2,OE=3,贝I)tanNACB・tanNABC=()

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，一次函数y=x-2的图象与反比例函数产士（k>0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C,若

12.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、

点B,且AB=4,则图中阴影部分的面积为（结果保留元）.

13.一个圆锥的母线长15cM.高为9cM.则侧面展开图的圆心角o

14..如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6,圆心角NACB=120。，则此圆锥高OC的长度是

B

15.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>0；②4acVb?；®2a+b>0；④其顶点坐标为（；，

-2）；⑤当xV；时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0中，正确的有.（只填序号）

16.如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a,M是AB的中点，MC=MA=5,则a的取值范围是

17.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗

细），则所得的扇形ABD的面积为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，ZAOB=90°,点A（2,1）.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P,使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

19.（5分）（1）计算：|-3|+（75-Hr）°-（-1）-2-2COS60O；

ii4+个〃

（2）先化简，再求值：（--——-）+—T，其中a=・2+应.

a-\a+\a

20.（8分）为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过4港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已

知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示:

运费（元/台）

港n

那座乙座

A港1420设从甲仓库运送到A港

B港108

口的物资为1吨，求总运费y（元）与工（吨）之间的函数关系式，并写出X的取值范围；求出最低费用，并说明费用

最低时的调配方案.

21.（10分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：

nnn

152元

（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？

（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商

品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和〃（〃>

10,且〃为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.（必须在同一家购买）

22.（10分）如图,在等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC相交于点D且BD=2AD,过点D作DE±AC

交BA延长线于点E,垂足为点F.

（1）求tanNADF的值；

（2）证明：DE是。O的切线；

（3）若。O的半径R=5,求EF的长.

c

D

23.（12分）如图，在AAOB中，ZABO=90°,OB=1,AB=8,反比例函数y=一在第一象限内的图象分别交OA,

x

AB于点C和点D,且ABOD的面积SABOD=L求反比例函数解析式；求点C的坐标.

24.（14分）如图，在△ABC中，ZB=ZC=40°,点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运

动，到达C点、B点后运动停止.求证：△ABEg2\ACD；若AB=BE,求NDAE的度数;

拓展：若△ABD的外心在其内部时，求NBDA的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,再根据点平移的规律得到点（0,0）平移后所得对应点的坐标为（-2,-1）,

然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【题目详解】

抛物线y=x?的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为

(-2,-1),所以平移后的抛物线解析式为丫=(x+2)2-1.

故选A.

2、C

【解题分析】

作MH_LAC于H,如图，根据正方形的性质得NMAH=45。，则△AMH为等腰直角三角形，所以

AH=MH=,再根据角平分线性质得BM=MH=血，贝ljAB=2+&,于是利用正方形的性质得到

AC=V^AB=2及+2,OC=^-AC=72+b所以CH=AC・AH=2+应，然后证明△CONs^kCHM,再利用相似比可

计算出CN的长.

【题目详解】

试题分析：作MH_LAC于H,如图,

•・•四边形ABCD为正方形,

/.ZMAH=45°,

・••△AMH为等腰直角三角形,

AAH=MH=

22

〈CM平分NACB,

ABM=MH=72，

/.AB=2+y/2»

AAC=V2AB=V2（2+72）=272+2，

AOC=；AC=V2+1，CH=AC-AH=2及+2-夜=2+0,

VBD±AC,

AON/7MH,

AACON^ACHM,

.ONOC:ONV2+1

••=，即—------=9

MHCHV22+V2

AON=1.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条

件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的

性质和正方形的性质.

3、D

【解题分析】

因为T：=1，

23

所以-1-的倒数是

故选D.

4、B

【解题分析】

【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可.

【题目详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因

此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长

而增长，

故选B.

【题目点拨】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.

5、A

【解题分析】

由抛物线的开口方向判断a与2的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系，然后根据对称轴判定b与2的关

系以及2a+b=2；当x=-1时，y=a・b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>2.

【题目详解】

①:对称轴在y轴右侧，

；・a、b异号,

Aab<2,故正确；

②•:对称轴x=------=1,

2a

A2a+b=2；故正确；

@V2a+b=2,

，b=-2a,

二•当x=-1时，y=a-b+c<2,

Aa-（-2a）+c=3a+c<2,故错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；

当mRl时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以a+bNm（am+b）（m为实数）.

故正确.

⑤如图，当・1VXV3时，y不只是大于2・

故错误.

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a>2时，抛物线向上开口；当aV2时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>2）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即abV2）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（2,c）.

6、C

【解题分析】

试题分析：立体图形的俯视图是C.故选C.

考点：简单组合体的三视图.

7、D

【解题分析】

先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.

【题目详解】

由分析可得P（O,1）、PRO）、0（4/）、外（°，3）、2（2,4）、25（4,3）、区（°，1）等，故该坐标的循环周期为7则

有则有迎誓=2883,故是第2018次碰到正方形的点的坐标为（4,1）.

7

【题目点拨】

本题主要考察规律的探索，注意观察规律是解题的关键.

8、B

【解题分析】

由题意得，

x-l>0且x-3^0,

Ax>l且x#3.

故选B.

9、C

【解题分析】

试题解析：・・•这组数据的众数为7,

，x=7,

则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2,3,b7,7,

中位数为：1.

故选C.

考点：众数；中位数.

10、C

【解题分析】

如图（见解析），连接BD、CD,根据圆周角定理可得=民NA8C=NAOC,再根据相似三角形的判定

ArCFARAF

定理可得AACE〜MOE,然后由相似三角形的性质可得二==,同理可得==­；又根据圆周角定理可得

BDDECDCE

ZABD=ZACD=90°t再根据正切的定义可得tanNAC8=tanNADB=4g,tan〃WC=tanNA0C=4C,然

BDCD

后求两个正切值之积即可得出答案.

【题目详解】

如图，连接BD、CD

ZACB=ZADB,ZABC=ZADC

ZACE=NBDE

在AACE和ABZ汨中，<

ZAEC=/BED

，MCE~MDE

•_A___C__C_E

'BD~DE

DE=2,OE=3

OA=OD=DE+OE=5,AE=OA+OE=S

ACCE

-----=——

BD2

同理可得：^ABEMCDE

ABAEAB8

/.---=----,即an----=----

CDCECDCE

AD为。0的直径

:.ZABD=ZACD=900

ADar

tanNACB=tanZADB=——,tanZABC=tanZADC=—

BDCD

/…ABACACABCE8)

tanNACB•tanNABC=------------=-------------=-------------=4

BDCDBDCD2CE

故选：c.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质、正切函数值等知识点，通过作辅助线，结合圆周角定理得出

相似三角形是解题关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解题分析】

【分析】如图，过点A作ADJ_X轴，垂足为D,根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x-2的图象与反比

例函数y=4(k>0)的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值即可.

x

【题目详解】如图，过点A作AD_Lx轴，垂足为D,

1

•・・taiiNAOC=3^=§,・,•设点A的坐标为(la,a),

•・•一次函数y=x-2的图象与反比例函数尸上(k>0)的图象相交于A、B两点，

x

.'.a=la-2,得a=l,

【题目点拨】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

12、4-?r

【解题分析】

由在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,可求得直角边AC与BC的长，继而求得AABC的面积，又由扇形

的面积公式求得扇形EAD和扇形FBD的面积，继而求得答案.

【题目详解】

解：•・•在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,

今AB=2母,

/.AC=BC=AB*sin45°=

:.SAABC=-AC*BC=4,

2

•・•点D为AB的中点，

:.AD=BD=—AB=2,

2

.4-2.

x

••S曲形EAD=S方形FBD=1^d^n2-—nt

AS阴影=SAABC-S康海EAD-S“形FBD=4-n.

故答案为：4-7T.

【题目点拨】

此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积.注意S阴影=SAABC-S序形EAD-S原形FBD.

13、288°

【解题分析】

母线长为15cm,高为9cm,由勾股定理可得厚锥的底面半径；由底面周长与扇形的弧长相等求得圆心角.

【题目详解】

解：如图所示，在RSSOA中，SO=9,SA=15；

则：r=AO=y/s^-SO2=>/152-92=12

设侧面属开图扇形的国心角度数为n,则由24=型得n=288。

180

故答案为：288。.

【题目点拨】

本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解.

14、4&

【解题分析】

先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA,最后用勾股定理即可得出结论.

【题目详解】

设圆锥底面圆的半径为r,

VAC=6,ZACB=120°,

.120x4x6

:.I=------------=2nr

180f

Ar=2,即：OA=2,

在RtAAOC中，OA=2,AC=6,根据勾股定理得，OC=J^C^=4&,

故答案为4及.

【题目点拨】

本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出OA的长是解本题的关键.

15、①@@@

【解题分析】

根据图象可判断①②③©⑤，由x=l时，yVO,可判断⑥

【题目详解】

]_

2

由图象可得，a>0,c<0,bVO,△=b-4ac>0,对称轴为2,

/.abc>0,4ac<b2,当时，y随x的增大而减小.故①②⑤正确，

Vx=--=-<1,

2a2

A2a+b>0,

故③正确，

由图象可得顶点纵坐标小于-2,则④错误，

当x=l时，y=a+b+cVO,故⑥错误

故答案为:①®③©

【题目点拨】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=a/+bx+c系数符号由抛物

线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

16、10<a<10V2.

【解题分析】

根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根

据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程

2

z-az+0°=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围.

2

【题目详解】

是AB的中点，MC=MA=5,

•••△ABC为直角三角形，AB=10；

.\a=AC4-BC>AB=10；

令AC=x、BC=y.

.[x+y=a

>4x2+/=ioo,

・/TOO

••xy=-----------，

2

♦

・・・x、y是一元二次方程z2・az+d^=0的两个实根，

2

•・・△=a2.4x"~即《10近.综上所述，a的取值范围是lOVaglO也.

故答案为10<a<10V2.

【题目点拨】

本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式.此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二

次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点.

17、25

【解题分析】

试题解析：由题意Z)B=CO+BC=10

S册即=；x8ZM8=gxl0x5=25

三、解答题(共7小题，满分69分)

57

18、(1)B(-1.2);(2)丫=:*?一7工；(3)见解析.

66

【解题分析】

(D过A作AC_Lx轴于点C,过B作BD_Lx轴于点D,则可证明△ACOgZiODB,则可求得OD和BD的长，可

求得B点坐标；

(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE〃y轴交线段OA于点E,可求得直线OA解析式，设

出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面

积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标.

【题目详解】

(1)如图1,过A作AC±x轴于点C,过B作BD±x轴于点D,

AAO=BO,

VZAOB=90°,

/.ZAOC+ZDOB=ZDOB+ZOBD=90°,

AZAOC=ZOBD,

在AACO和^ODB中

ZAOC=/OBD

<乙ACO=^ODB

AO=BO

/.△ACO^AODB(AAS),

VA(2,1),

AOD=AC=1,BD=OC=2,

/.B(-1,2)；

(2)•・•抛物线过O点,

，可设抛物线解析式为y=ax2+bx,

a=—5

4。+2gl6

把A、B两点坐标代入可得)解得

a_b=2b=--

6

57

，经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=：x2・7x；

66

(3),・,四边形ABOP,

・•・可知点P在线段OA的下方,

过P作PE〃y轴交AO于点E,如图2,

图2

设直线AO解析式为y=kx,

VA(2,1),

1

k=-

2

直线AO解析式为y=-x,

571

设P点坐标为(t,-t2--t),则E(t,-t),

662

6366

ASAAOP=-PEx2=PE=--(t-1)2+-,

266

由A(2,1)可求得OA=OB=7L

.15

••SAAOB=—AO*BO=-t

22

.、、5,、2555,n210

••S四边形ABOP=SAAOB+SAAOP=-((t-1)+—+—=——(/—1)+—>

5

V--<0,

6

，当t=l时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为(1,・工)，

3

综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P,其坐标为(1,・g).

【题目点拨】

本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面

积以及方程思想等知识.在(1)中构造三角形全等是解题的关键，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中用t

表示出四边形ABOP的面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

19、(1)-1：(2)—26+18近.

7

【解题分析】

(1)根据零指数塞的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数累的意义即可求出答案；

(2)先化简原式，然后将。的值代入即可求出答案.

【题目详解】

(1)原式=3+1-(-2)2-2xl=4-4-1=-1；

2

/、E-U24I2a

(2)原式=---------------+---------------

(«-1)(4+1)(。+1)

6+2。

一a2-\

业,后融内42+2应26+18x/2

当a=-2+、/2时，原式:------产=...........-.

5-4&7

【题目点拨】

本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型.

20、(1)j=-8x+2560(30<x<l);(2)把甲仓库的全部运往4港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的

全部运往3港口.

【解题分析】

试题分析：(1)设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，从乙仓库运往A港口

的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，再由等量关系：总运费二甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运

往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y(元)与x(吨)

之间的函数关系式；由题意可得后0,8-x>0,x-30>0,100-x>0,即可得出x的取值；(2)因为所得的函数为一次函数,

由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=l时，y最小，并求出最小值，写出运输方案.

试题解析：(D设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，

从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，

所以y=14x+20+10(1-x)+8(x-30)=-8x+2560,

x的取值范围是30WxWl.

(2)由(D得y=-8x+2560y随x增大而减少，所以当x=l时总运费最小，

当x=l时，y=-8x1+2560=1920,

此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口.

考点：一次函数的应用.

21、(1)一个水瓶40元，一个水杯是8元；(2)当10V〃V25时，选择乙商场购买更合算.当〃>25时，选择甲商场

购买更合算.

【解题分析】

(1)设一个水瓶x元，表示出一个水杯为(48・x)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)计算出两商场得费用，比较即可得到结果.

【题目详解】

解：(1)设一个水瓶x元，表示出一个水杯为(48-X)元，

根据题意得：3x+4(48-x)=152,

解得：x=40>

则一个水瓶40元，一个水杯是8元；

(2)甲商场所需费用为(40x5+8w)x80%=160+6.4〃

乙商场所需费用为5x40+(/I-5x2)x8=120+8//

则二心>10,且〃为整数，

/.160+6.4/1-(120+8/1)=40-1.6〃

讨论：当10V〃V25时，40-1.6/i>0,160+0.64/i>120+8/1,

・♦选•择乙商场购买更合算.

当〃>25时，40-1.6/i<0,即160+0.64n<120+8/1,

，选择甲商场购买更合算.

【题目点拨】

此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.

10

22、(1)-；(2)见解析；(3)|

【解题分析】

(l)AB是。O的直径，AB=AC,可得NADB=90。，ZADF=ZB,可求得tanNADF的值；

(2)连接0D,由已知条件证明AC〃/OD,XDE1AC,可得DE是。O的切线；

(3)由AF〃OD,可得AAFEs^ODE,可得累二：：后求得EF的长.

ODED

【题目详解】

解:(1)・・・AB是。O的直径，

AZADB=90°,

VAB=AC,

AZBAD=ZCAD,

VDE1AC,

AZAFD=90°,

/.ZADF=ZB,

VOD=OA,

AZODA=ZOAD,

VZOAD=ZCAD,

.\ZCAD=ZODA,

AAC/7-OD,

VDE1AC,

AOD±DE,

・・・DE是。。的切线；

(3)设AD=x,贝！)BD=2x,

/.AB=^/5x=10,

••x=2,^5，

，AD=2%，

同理得：AF=2,DF=4,

VAF/7OD,

/.△AFE^AODE,

・AF耳

••丽而

,2二EF

，，T4+EF，

.8

/.EF=-.

3

【题目点拨】

本题考查切线的证明及圆与三角形相似的综合，为中考常考题型，需引起重视.

Q

23、(I)反比例函数解析式为尸一；(2)C点坐标为(2,1)

X

【解题分析】