2024年广东省深圳市中考数学二模试卷（含解析）

2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一2的倒数是（）

11

A.-2B.-楙CjD.2

2.下列计算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.a3+a3—a6C.asa2—a6D.（—a2）3=a6

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上用科学记数法表示

1300000是（）

A.13X105B.1.3X105C.1.3x106D.1.3x107

4.教练组对运动员正式比赛的前5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般要考查这5次成绩的

()

A.平均数或中位数B.众数或频率C.方差或极差D.频数或众数

5.使代数式患有意义的久的取值范围是（）

1

A.%>0B.%-C.久N0且x制D.一切实数

6.在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D,对角线互相垂直平分的四边形是正方形

7.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P,Q,贝UPQ=（）

<5-1B.3-/5C./5-2

2

8.如图，已知钓鱼竿力C的长为6zn,露在水面上的鱼线BC长为某钓者想看

看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到4C'的位置，此时露在水面上的鱼线为

734m,贝加夕的长为（）

A.

B.2V-2m

C./5m

D.2V-3m

9.如图1,质量为ni的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态

下，弹簧的初始长度为10CM）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整

个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度"（crn/s）和弹簧被压缩的长度△/（CM）之间的关系图象如图2

所示.根据图象，下列说法正确的是（）

图1图2

A.小球从刚接触弹簧就开始减速

B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大

C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cM

D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm

10.在RtAABC中，ZC=90°,D为2C上一点，CD=动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三

角形边上沿C-B-a匀速运动，到达点4时停止，以DP为边作正方形DPE尺设点P的运动时间为ts,正方

形DPEF的面积为S,当点P由点B运动到点4时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的

图象.由图象可知线段48的长为（)

A.7B.6C.5D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.因式分解2支2―12%+18的结果是

12.若a,6是关于x的方程/一2%-2022=0的两个实数根，则a2—3a—b=

13.如图，已知半径为1的。。上有三点力、B、C,。。与AB交于点D,AADO=

85。，ACAB=20°,则阴影部分的扇形(MC面积是.

14.如图，在AABC中，。是BC边上的中点，连接AD,把△ABD沿AD

翻折，得至DB'与4C交于点E,若BD=2,AD=

3/2,乙ADB=45°,则44DE的面积是一

15.已知如图，直线y=|x分别与双曲线y=?(m＞。,久＞0)、双曲线n

3xY

3/=?0〉0,乂＞0)交于点4,点8,且恁=|，将直线y=|久向左平

移6个单位长度后，与双曲线y=?交于点C,若SMBC=4,则nm的值

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

16.计算：—2|+sin60°一-(-11)2+2-2

四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是4(0,4),B(0,2),C(3,2).

(1)将4ABC以。为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的△公当6；

⑵将△ABC平移后得到A4B2c2，若点4的对应点出的坐标为(2,2),请画出平移后对应的A&B2c2；

(3)求△&QC2的面积.

18.(本小题8分)

“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷.为了解我校“双

减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：

A——学校作业有明显减少；B——学校作业没有明显减少；C——课外辅导班数量明显减少；D——课外

辅导班数量没有明显减少；E——没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选

(1)本次接受调查的学生共有—人；m=—。；n=—；

(2)补全条形统计图；

(3)该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中

有2个为八年级班级(分别用4、B表示)，3个为九年级班级(分别用C、D、E表示)，由于报名参加观摩课堂

教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二

周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动，请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八

年级班级又有九年级班级的概率.

19.(本小题8分)

自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的

“精准化教学”，学校计划购买4B两种型号教学设备，己知4型设备价格比B型设备价格每台高20%,

用30000元购买4型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台.

(1)求4B型设备单价分别是多少元；

(2)我校计划购买两种设备共50台，要求4型设备数量不少于B型设备数量的设购买a台4型设备，购买总

费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案.

20.(本小题8分)

如图，4B为。。的直径，C为BA延长线上一点，CD是。。的切线，D为切点、,OF14。于点E,交CD于点

F.

(1)求证：/-ADC=ZXOF；

(2)若cosNDCB=看，BD=24,求EF的长.

21.(本小题9分)

【定义】

例如，如图1,过点4作1匕交人于点B,线段力B的长度称为点力到人的垂直距离，过力作4C平行于y轴交

人于点C,AC的长就是点4到I1的竖直距离.

【探索】

当L与无轴平行时，AB=AC.

当。与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离4B与点到直线的竖直距离AC存在一定的数量

关系，当直线。为y=gx+1时，AB=AC.

【应用】

如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30。，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m,现给该

草坪洒水，已知小树的底端点4与喷水口点。的距。4=2小，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过

程中，水运行的路线是抛物线y=-/+版，且恰好经过小树的顶端点B,最远处落在草坪的C处.

（1»=•

（2）如图3,现决定在山上种另一棵树MN（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿

斜坡垂直的方向加一根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】

（3）如图4,原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴

相切于点。，若此时。。=4门根，如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出MN最高

应为多少？

22.（本小题10分）

（1）【探究发现】

如图1,正方形力BCD两条对角线相交于点。，正方形4B1C］。与正方形力BCD的边长相等，在正方形

4/iG。绕点。旋转过程中，边。4交边48于点M,边OG交边BC于点N.则①线段BM、BN、4B之间满足

的数量关系是.

②四边形。MBN与正方形2BCD的面积关系是S叫能OMBN=________SJE^ABCD^

(2)【类比探究】

如图2,若将(1)中的“正方形2BCD”改为“含60。的菱形4BC。”,即/2。。1=ND4B=60。，且菱形

。名。1。1与菱形ZBCD的边长相等.当菱形。丸6。1绕点。旋转时，保持边OB1交边力B于点M,边0区交边

BC于点N.

请猜想：

①线段BM、BN与4B之间的数量关系是；

②四边形。MBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBN=‘菱形ABCD；

请你证明其中的一个猜想.

(3)【拓展延伸】

如图3,把(2)中的条件'5001=4DAB=60。”改为“4DAB=^B1OD1=如，其他条件不变,则

QBM+BN_

UBD―--;(用含a的式子表示)

<7

②四边形。MBN

,(用含a的式子表示)

S菱形4BCD

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数.

本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数.

【解答】

解：因为一2x(-卞=1.

所以—2的倒数是—，，

故选：B.

2.【答案】C

【解析】解：=。5,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

8「a3+a3=2a3,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

+=06,...此选项的计算正确，故此选项符合题意；

(-。2)3=—a6,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

故选：C.

A根据同底数募相乘法则进行计算，然后判断即可；

5根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；

C根据同底数越相除法则进行计算，然后判断即可；

。根据哥的乘方法则进行计算，然后判断即可.

本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数嘉乘除法则、塞的乘方法则和合并同类项法

则.

3.【答案】C

【解析】解：1300000=1,3X106,

故选：C.

科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中13同＜10,n为整数.确定九的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，律的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，九是正数；当原数

的绝对值＜1时，也是负数.

此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<|a|<10,71为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】C

【解析】解：根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据

偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立.同时，极差是最大与最小值的差，也反映波动越大小；故要

判断谁的成绩更加稳定；一般要考查这5次成绩的方差或极差.

故选：C.

根据方差和极差的意义判断.方差和极差是反映一组数据波动大小的量.

熟练掌握方差的意义和极差的概念.

5.【答案】C

【解析】解：由题意得：2乂一1片0,x>0,

解得：x>0,且汇丰

故选：C.

根据分式有意义的条件可得2x-1力0,根据二次根式有意义的条件可得x>0,解出结果即可.

此题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数；分式有意

义的条件是分母不等于零.

6.【答案】C

【解析】解：4、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；

8、应为有一个角是直角的平行四边形是矩形；

C、符合菱形定义；

D,应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

故选：C.

要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出

正确选项.两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等

的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别.

7.【答案】C

【解析】【分析】

先根据黄金分割的定义得出较长的线段=再根据PQ=4P+BQ-4B,即可得出结

果.

此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比

例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(告i)叫做黄金比.熟记黄金分割分成的两条线段和

原线段之间的关系，能够熟练求解.

【解答】

解：根据黄金分割点的概念，可知ap=BQ=受乂1=受，AQPB

则PQ=AP+BQ-AB=§^X2-1=<5-2.

故选：C.

8.【答案】B

【解析】解：；AC=6m,BC=3<2m,

AB=ylAC2-BC2=J62-(372)2=372m,

vAC'=6m,B'C'=-\A34m,

AB'=ylAC'2-B'C'2=J62-(<34)^=<2m,

BB'=AB-AB'=3/2-/2=2/2m；

故选:B.

根据勾股定理分别求出AB和AB',再根据BB'=AB-AB'即可得出答案.

此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出4B和AB'是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意；

由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0,故选项2不符合题意：

由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm,此时弹簧的长度为10-2=8cm,故选C不符合题意；

由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，此时弹簧的长度为10-6=4(CM),

故选项。符合题意；

故选：D.

根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的

长度即可解答.

本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题.

10.【答案】B

【解析】解：在RtAPCD中，CDPC=t,贝l|S=P£>2=y+(，^)2=土2+2,

当S=6时，6=t2+2,解得：t=2(负值已舍去)，

BC=2,

••・抛物线经过点(2,6),

,抛物线顶点为：(4,2),

设抛物线解析式为：S=a(t-4)2+2,

将(2,6)代入，得：6=a(2-4)2+2,解得：a=1,

S=(t-4)2+2,

当y=18时，18=«-4)2+2,1=0(舍)或/;=8,

AB=8—2=6,

故选：B.

在RtaPCD中，CD=瓶,PC=t,则5=「。2=/+(，为2=尸+2,求得BC的长，设函数的顶点解析

式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解.

本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息.

11.【答案】2(x—3)2

【解析】解：原式=2(/—6x+9)

=2(%—3产

故答案为：2(久一3尸.

先提公因式2,再套用完全平方公式.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键.

12.【答案】2020

【解析】解：Ta,b是方程产一2久一2022=0的两根，

a2-2a-2022=0,a+b=2,

a2-2a=2022,

a2—3a—b=a?-2a—(a+b)=2022-2=2020,

故答案为：2020.

把所求代数式a?-3a-b化成a?-2a-a-b,再利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案.

本题主要考查方程根的定义及根与系数的关系，把所求代数式化为a?-2a-(a+b)是解题的关键.

13.【答案】g

36

【解析】解：:乙4。。=85°,乙CAB=20°,

・•・乙C=/.ADO一乙CAB=65°,

•・•OA=OC,

Z.OAC=ZC=65°,

・•.AAOC=50°,

・・・阴影部分的扇形。AC面积=嚅1=

36U36

故答案为：含

根据三角形外角的性质得到NC=^ADO-/.CAB=65°,根据等腰三角形的性质得到NZOC=50°,由扇形

的面积公式即可得到结论.

本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出乙4OC是解题的关键.

14.【答案】|

【解析】解：过4作4K1CB于K,如图：

•••乙ADB=45°,

.•.△2DK是等腰直角三角形，

•••AD=32，

DK=AK=^AD=3,

••・D是BC边上的中点，BD=2,

•••CD=BD=2,

・•.CK=CD+DK=5,

•.•把△力BD沿4。翻折，得至IJAADB',

A4ADB'=4ADB=45°,

.­.乙BDB'=90°=乙CDE,

DE//AK,

.，.ACDEs&CKA,

.CD_DE

••,

CKAK

即|=竽,

.­.DE=I，

•••^CDE=|CD-DF=|X2X1=1,

11

•••S△MC/iOs=2oCD•AK2=-x2x3=3,

69

•'-S"OE=S^ACD~S^CDE=3_W=『

故答案为：

过A作ZKLCB于K,由乙408=45。，可得△ZDK是等腰直角三角形，即得。K=/K=3,根据。是BC边

上的中点，BD=2,可得CK=C。+DK=5,由把△480沿/0翻折，得至可得乙BDB'=90。=

乙CDE,DE//AK,即知△CDEszkCK4对应边成比例求出。E,进而利用三角形的面积即可解决问题.

本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质，得

到^CDE^ACKA.

15.【答案】100

【解析】解：直线y=|x向左平移6个单位长度后的解析式为y=

79

-(%+6),即y=]%+4,

二直线y=|x+4交y轴于E(0,4),作EF10B于F.

可得直线EF的解析式为y=—5比+4,

由(;一_「2，解得f『_2I4I，即?爆段

。=一三+4(尸石

•,・第=]帝+(，4)2=管，

S^ABC=4,

1

・•・卜8•EF=4,

.2/T3

ABo=-~—，

・・84_2

0A3

OA=|>1B=713,

1o

・•・4(3,2),B(5,y),

「50

m=6,n=­y

.・.mn—100.

故答案为100.

先求出直线y=|x向左平移6个单位长度后的解析式为y=|x+4,那么直线y=|x+4交y轴于E(0,4),

作EF1OB于F.根据互相垂直的两直线斜率之积为-1得出直线EF的解析式为y=-|x+4,再求出

F瑙情)，EF=J(笥)2+(,_4尸=根据SMBC=4,求出4B=亨，那么。4=|四=，1^,

进而求出4、B两点坐标，求出TH、？1即可解决问题.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，三角形的

面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

考填空题中的压轴题.

16.【答案】解：原式=2—+，—3*/^—言+J

_7/3

―2-,

【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幕的意义和绝对值的意义计算.

本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、

乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

17.【答案】解：(1)如图，即为所求.

(2)如图，仆4⑶2c2即为所求.

Ill

(3)8x4-1x8x2-ix5x4-^x3x2=32-8-10-3=ll.

【解析】(I)根据中心对称的性质分别作出a,B,c的对应点G即可.

(2)根据平移变换的性质分别作出4B,C的对应点4，B2,C2即可；

(3)利用割补法解答即可.

本题考查作图-旋转变换，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的

性质，属于中考常考题型.

18.【答案】20014420

【解析】解：(1)本次接受调查的学生共有30+15%=200(人).

m=360°、黑=144°,

n%=^40x100%=20%,

•••n—20.

故答案为：200；144；20.

(2)200-80-30-40-20=30(人).

补全条形统计图如图所示.

(3)画树状图如下:

共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：AC,AD,AE,BC,

BD,BE,CA,CB,DA,DB,EA,EB,共12种，

•••两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为II=1.

(1)用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用360。乘以本次调查中选择4的学

生所占的百分比，即可求得小；用本次调查中选择C的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得

n%,即可得出答案.

(2)用本次调查的学生人数分别减去选择力，B,C,E的学生人数，可求出选择。的学生人数，补全条形统

计图即可.

(3)画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概

率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法

与树状图法是解答本题的关键.

19.【答案】解：(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台4型号设备的价格为1.2x元，

解得：x=2500.

经检验，x=2500是原方程的解.

•••1.2%=3000,

・・.每台B型设备的价格为2500元，则每台/型号设备的价格为3000元.

(2)设购买a台/型设备，则购买(50-a)台8型设备，

.・.w=3000a+2500(50—a)=500a+125000,

fa>0

由实际意义可知，一02°,

(aN§(50—a)

12.5<a<50且a为整数,

•••500>0,

w随a的增大而增大,

.•.当a=13时，w的最小值为500x13+125000=131500(元).

w=500a+125000,且最少购买费用为131500元.

【解析】(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台2型号设备的价格为1.2万元，根据“用30000元购买4型

设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可.

(2)根据总费用=购买力型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备

的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论.

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

20.【答案】(1)证明：如图，连接OD,贝|OD=OB,

Z.ODB=Z.OBD,

CD是。。的切线，是。。的直径，

•••乙ODC=AADB=90°,

/.ADC=/.ODB,

/-ADC=/.OBD,

又•••OFLAD,

：.^OEA=AADB=90°,

OFUBD,

Z.AOF=Z.OBD,

/-ADC=/.AOF.

(2)vOF//BD,OA=OB,

OE是△ABD的中位线，

1i

・•.OE=”D=/24=12,

■:cos乙DCB=^=I，

设CD=4x,OC=5%,

・•.OD=y]OC2-CD2=3x，

.・.OB—3%,

CB=OC+OB=8%,

•••OF//BD,

COFs〉CBD,

t0£_0F_

•••~BC=~BDf

#5%_OF

"8%~24,

OF=15,

.・.EF=OF-OE=15-12=3.

【解析】(1)连接。。，得到△。。。=90。，结合乙408=90。求得乙4。。=乙。。8,然后利用。。=。8得到

乙ODB=L0BD,从而得至再利用OF140得至IJOF//BD,从而乙人。尸=4。8。，最后得

证结果；

(2)根据三角形的中位线定理得到。E=12,根据相似三角形的性质得到EF的长度.

本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三角形的

判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

21.【答案】等273

【解析】解：探索：・••直线%为y=；x+l,如图，设直线匕与x、y轴分别交于Q、P点，

得y-1

即

O8-

1

令

yO得-%+

-2

解得：%=-2,

・・・Q(-2,0),即0Q=2,

••・PQ=yjOP2+OQ2=Vl2+22=V-5,

・・・4C〃y轴,

，z.1=Z.ACB,

•・•z.1=NQP。,

••・Z-ACB=Z.QPO,

•••/.ABC=乙QOP=90°,

ABCsAQOP,

AB_0Q_2_2<5

I?一而-7?--

An2V_5Ac

***AB=---ACf

故答案为：争

应用：（1）如图，延长84交工轴于点H,贝!MHO=90。,

•••AH=初4=Im,OH=0A-cos^AOH=2cos30°=2Xf

，L

•・•AB=2m,

：.BH=ABAH=2+1=3(m),

.­.B(<3,3),

把代入y=--+取得：-3+宿6=3,

解得：b=2V-3,

故答案为：2G

(2)由(1)知，2(C,1)，设直线0C的解析式为y=kx,则Ck=l,

解得：k罟,

73

•••y=—%，

如图,设"(t,争),W(t,-t2+2/3t)>

-1012345678x

MN=-t2+2/3t-^-t=-t245凡

•・・zl=30°,

・・・Z2=60°,

・・・MN〃y轴，

・•・乙NMP=42=60°,

・・・NP1OC,

・・・乙NPM=90°,

・•・PN=MN•sin乙NMP=(-t2+日3八•z-no，*2,56*、、，，5凤，5/3,,256

-0-sm60。=(产+3t)X2=2«6)2+24'

一？＜0，

.・.当1=竽时，PN取得最大值萼

624

答：PN的最大值为曼I

【拓展】如图，取。C的中点G,作GH，交x轴于点H,延长HG交圆弧于点N,过点N作MN〃y轴交0C

于点M,此时MN最大，

OG=1OC=2y/~3m,

在R%OG”中，2LC0H=30°,

・•・GH=OG,tanzCOH=273ttm30。=2/3x苧=2(m),

OH=2GH=4m,

又•・•HN=OH=4m,

NG=HN-GH=4-2=2(m),

・•・Z1=30°,

・•.Z2=90°-30°=60°,

MN//y轴，

・•・乙NMG=Z2=60°,

•・•Z.NGM=90°,

仃/

rNG24、

MN=-s-in--/-N--M--G-=--s-in--6-0-o=—3yv八〃少

答：MN最高应为

探索：先求得P(0,l),Q(-2,0),再运用勾股定理求得PQ=怖，证得△ABCSAQOP,利用相似三角形性

质即可求得答案；

应用：(1)延长BA交x轴于点H,贝此4”。=90。，利用解直角三角形可得8(展,3),把8(，豆,3)代入y=

-%2+bx,即可求得答案；

(2)利用待定系数法可得直线。C的解析式y=?久，设则可。一产+261),可得MN=-产+

=产+萼t，得PN=MN”也乙/7”「=一噂(1一萼产+名，，运用二次函数的性质即

3ZDL624

可得出答案；

拓展：取。C的中点G,作G”10C交无轴于点H,延长HG交圆弧于点N,过点N作MN〃y轴交。C于点M,

此时MN最大，运用垂径定理可得0G=再利用解直角三角形即可求得答案.

此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解

直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键.

22.【答案】AB=BN+BM：BN+BM=sinsin2

【解析】解：（1）如图1中，

图1

•••四边形4BCD是正方形，

ACLBD,^OAB=^OBC=45°,OA=OB,

Z-A1OC1=Z-AOB=90。，

•••^AOM=乙BON,

在△AOM和ABON中，

^OAM=Z.OBN

OA=OB,

/40M=乙BON

.-.AAO