第四章 指数函数与对数函数（单元解读）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册第四章指数函数与对数函数单元解读

一:本章知识结构图二：

单元目标教学目标1.了解指数函数、对数函数的定义；2.掌握指数函数、对数函数的图像及其性质，并会运用；3.会求函数的零点；4.能用函数与方程的思想解决实际问题．核心素养a.数学抽象：指数函数、对数函数的概念；b.逻辑推理：借助图像求函数零点；c.数学运算：指数、对数的有关运算；d.直观想象：函数图象；e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题.f.数据分析：指数函数、对数函数的图像和性质应用.三:课时安排本章教学时间约需16课时，具体分配如下(仅供参考):4.1指数约2课时4.2指数函数约2课时4.3对数约2课时4.4对数函数约3课时4.5函数的应用(二)约4课时文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展约1课时小结约2课时四：

课标解读1.强调指数函数、对数函数的运算基础2.突出指数函数所刻画的运动变化现象的数学规律3.强调“背景一概念一图象和性质一应用”的函数研究套路4.以具体函数为载体进一步理解函数思想5.通过比较不同函数的增长差异，进一步理解不同类型函数的变化规律6.弘扬中华优秀文化，体现经济社会发展成就7.通过多种方式提升数学学科核心素养主题知识单元核心知识评价要求个数了解理解掌握函数指数函数与对数函数指数函数有理数指数幂、实数指数幂的含义√3指数幂的运算性质√指数函数的概念、图象及其性质√对数函数对数的概念与运算性质√4对数换底公式√对函数的概念、图象及其性质√指数函数与对数函数互为反函数√函数应用(二)函数的零点与方程解的关系√4函数零点存在定理√用二分法求方程近似解√函数模型的应用√总计73111五:本章核心任务1.核心知识评价要求思想方法评价要求数形结合能以指数函数和对数函数的概念、图象和性质为基础，用图象认识概念和性质，用概念和性质认识图象;结合概念、性质和图象，分析方程的解，解决实际问题.函数与方程能分析实际问题中的数量关系，并建立函数模型或方程模型解决相关实际问题，能运用函数的观点比较两个数的大小、研究方程的解等，并能根据函数与方程的内在关系进行函数与方程的相互转化.转化与化归能分别将指数幂运算与对数运算、指数函数与对数函数、函数与方程相互转化，并能在具体情境中，通过运算法则、图象特征和函数性质等将陌生问题转化为熟悉问题加以解决.分类讨论能将指数函数和对数函数的底数分类研究它们的图象与性质;能在具体问题中，对已知函数解析式中的参数进行分类，进而讨论函数的性质，并解决有关问题2.思想方法评价要求关键能力评价要求抽象概括能在具体情境中抽象出指数、对数、指数函数、对数函数、函数零点等概念和性质能通过特殊到一般、具体到抽象概括出指数函数和对数函数的概念、图象和性质以及它们之间的逻辑关系;能够在实际情境中抽象出有关指数函数和对数函数问题，并加以解决推理论证能通过类比、归纳、演绎等推理过程，理解指数函数和对数函数的概念、图象和性质;能综合应用指数和对数的运算性质，以及指数函数和对数函数的性质进行分析、推理和论证，准确、规范使用函数的有关术语和数学符号进行表达，解决有关问题运算求解能根据指数、对数的运算性质和对数的换底公式进行指数和对数运算;能根据指数函数和对数函数的概念和单调性求函数值和比较大小;能用二分法求方程的近似解，能依据所学概念、公式、法则等确定运算目标，选择运算方法，设计运算程序，并进行合理的恒等变形、近似计算和估算。直观想象能借助指数函数和对数函数的图象特征，研究它们的基本性质和变化规律，求方程的近似解，刻画现实问题，探讨函数的本质等，形成数学直觉和数形结合的思想.数学建模能依托指数函数和对数函数建立函数模型，认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义;能阅读、理解问题情境，合理选择函数类型，通过对已知材料的分析、整理，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，解决有关的实际问题3.关键能力评价要求六、单元教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本套路展开研究2.用函数的观点联系相关内容，培养学生的数学整体观3.加强“形”与“数”的融合，循序渐进地研究指数函数和对数函数4.加强背景和应用，发展学生数学建模素养5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想七、单元学习难点及其突破1.指数幂运算的常用技巧

1

有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

2

负指数幂化为正指数幂的倒数.

3

底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2.解决条件求值的思路

1

在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.

2

在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.3．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.4.指数函数图象问题的处理技巧

1

抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.

2

利用图象变换，如函数图象的平移变换

左右平移、上下平移

.

3

利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.5.比较幂的大小的方法

1

同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.

2

指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.

3

底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.

4

当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.6.函数y＝af

x

a>0，a≠1

的单调性的处理技巧

1

关于指数型函数y＝af

x

a>0，且a≠1

的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f

x

的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f

x

复合而成.

2

求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f

u

，u＝φ

x

，通过考查f

u

和φ

x

的单调性，求出y＝f

φ

x

的单调性.7.指数式与对数式互化的方法

1

将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

2

将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.8.求对数式logaN

a>0，且a≠1，N>0

的值的步骤

1

设logaN＝m；

2

将logaN＝m写成指数式am＝N；

3

将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.9.应用换底公式应注意的两个方面

1

化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.

2

题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.10.求对数型函数的定义域时应遵循的原则

1

分母不能为0.

2

根指数为偶数时，被开方数非负.

3

对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.11.函数图象的变换规律

1

一般地，函数y＝f

x±a

＋b

a，b为实数

的图象是由函数y＝f

x

的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

2

含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f

|x－a|

的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f

x

|的图象与y＝f

x

的图象在f

x

≥0的部分相同，在f

x

<0的部分关于x轴对称.13.比较对数值大小的常用方法

1

同底数的利用对数函数的单调性.

2

同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3

底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.14.常见的对数不等式的三种类型

1

形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

2

形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；

3

形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.15.常见的函数模型及增长特点

1

线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b

k>0

的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

2

指数函数模型指数函数模型y＝ax

a>1

的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

3

对数函数模型对数函数模型y＝logax

a>1

的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.16.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.17.函数零点的求法

1

代数法：求方程