浙江省金华市2024届高考考前模拟数学试题含解析

浙江省金华市2024届高考考前模拟数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设大幻是定义在R上的偶函数，且在(0,+空)单调递减，贝!I()

34

A./(log30.3)>/(2-°)>/(2-°-)B./(log30.3)>/(2“)>

03

C./(2-)>/”)>/(log30.3)D.C2“)>―)>/(log30.3)

2.执行如图所示的程序框图，如果输入e2],则输出S属于()

A.[-3,2]B.[T,2]C.[0,2]D.[-3,e2]

3.已知正方体ABC。-ABIGR的体积为V,点N分别在棱8片，CG上，满足AM+MN+N2最小，则四

面体的体积为()

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

4.设复数二满足z-(l+i)=2i+l(i为虚数单位)，则复数z的共轨复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.在AABC中，NS4C=6O。，AB=3,AC=4,点M满足BM=2MC，则等于()

A.10B.9C.8D.7

6.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

正视图侧视图

俯视图

8R4石

A.15.---------C.1D.2

33

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）

A.6+273B.6+2收C.4+4血D.4+4A/3

8.若单位向量6，夹角为60。，a=^ex-e2,且卜卜6,则实数4=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

9.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座

灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在3处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么5,C两点间的距离

C.80海里D.海里

10.若。-2力”的二项展开式中必的系数是40,则正整数”的值为（）

A.4B.5C.6D.7

11.已知正四棱锥S-A6CD的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,所成的角的余弦值为（）

R®r6

15.C.---

33

12.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

A"（6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,Be，cos（a+0）——,cos],——,则sin[a+—=.

14.已知AA5C内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=4,b=RA=3则cos23=

15.（3-x）7的展开式中，炉的系数是.（用数字填写答案）

16.如图，在三棱锥A-BCZ＞中，点E在30上，EA=EB=EC=ED,BD=^CD,△AC。为正三角形，煎M,N

2

分别在AE,CZ）上运动（不含端点），且AM=CN,则当四面体C-EMN的体积取得最大值二时，三棱锥A-5Q）

3

的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的

普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而

得到表（单位：人）

经常网购偶尔或不用网购合计

男性50100

女性70100

合计

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3

人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,求随机变

量X的数学期望和方差.

n(ad-be)“

参考公式：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2»K°)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)如图，已知四边形A3CD的直角梯形，AD//BC,ADVDC,AD=4,DC=BC=2,G为线段A。

的中点，PG,平面ABC。，PG=2,4为线段AP上一点(〃不与端点重合).

(1)若=

(i)求证：PC〃平面3MG；

(ii)求平面PAD与平面3Am所成的锐二面角的余弦值；

(2)否存在实数彳满足AM=2AP，使得直线依与平面3MG所成的角的正弦值为典，若存在，确定的X值,

5

若不存在，请说明理由.

19.(12分)已知函数2xlnx,函数g(x)=x+g—(Inx)2,其中aeR,%是g(x)的一个极值点，且

X

g(%)=2.

(1)讨论/Xx)的单调性

(2)求实数厮和。的值

n11

(3)证明工-^^=>7皿2〃+1)(〃eN*)

M14k2-12'>

20.(12分)已知函数/(4)=上一3|+上一1卜

(1)求不等式/(x)W6的解集；

(2)设〃尤)的最小值为正数。，〃满足储+4"=〃，证明：a+2b>4ab.

21.(12分)已知函数2)x—〃nx+2.

(1)若x=2是/(x)的极值点，求/(尤)的极大值；

(2)求实数/的范围，使得/(x)22恒成立.

22.(10分)已知函数/(x)=|x—Z|+|x+2|aeR),g(尤)=|2%+机|(meZ).

(1)若关于％的不等式g(x),,l的整数解有且仅有一个值T,当左=1时，求不等式/(%),,加的解集；

(2)已知/?(X)=X2—2X+3,若\/王6尺*26(0,+8),使得/(石)..以々)成立，求实数左的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用"%)是偶函数化简/(log30.3),结合/(九)在区间(0,+。)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

/(x)是偶函数，.../(log30.3)=/(-log3y)=/(log3y),

而lOg3y>l>2{3>2心>0,因为/(元)在(0,+8)上递减，

t,304

.••/(log3yX/(2-)</(2-).

即/(心3。3)</(2")</(2<4).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

2、B

【解析】

/+2/—3,tG[—2,11

由题意，框图的作用是求分段函数S(B=血，4的值域’求解即得解.

【详解】

由题意可知,

/+2/-3,tG[-2,1]

框图的作用是求分段函数S。)=的值域,

ln6/

当re[-2,l),SW,0)；

当te[l,e2],Sc[0,2]

综上：Se[T,2].

故选：B

【点睛】

本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

3,D

【解析】

由题意画出图形,将MN,NDt所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当BM=：BBrGN=；G。时

々V

AM+MN+N2最小，设正方体AG的棱长为3。，得。3=力，进一步求出四面体AMND]的体积即可.

【详解】

•.•点M,N分别在棱34，CG上，要AM+MN+NA最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面

共面，AM,政V,ND1三线共线时，AM+脑V+NR最小,

:.BM=1BB｛，GN=；C】C

设正方体AC,的棱长为3a,则27a3=y,

a3=—.

27

取8G=；BC,连接NG,则AGNQ共面,

在AANR中，设N到ADI的距离为4,

22

ADX=7(3tz)+(3tz)=3^2a,

D[N=J(3Q)2+比=yflOa,

AN=J(3缶。+(2〃)2:应a,

10/+22/—18/7

cos/D[NA=

2-VlOtz-V22a

sinND[NA=^^=

2455

.•.S=-D.NANsmZD.NA=-AD.-h=^^-a2

ZAL>IIVA2ii2ii2

设M到平面AGND\的距离为h2,

13屈/6aV_

♦V—X---------

..VAMND132~9

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

4、D

【解析】

先把2-(1+，)=2，+1变形为2=生虫，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出口得到其坐标可得答案.

1+Z

【详解】

2z+l(2z+l)(l-z)_3+z_31

解：由z-(l+i)=2i+l,—

77r(1+z)(l-z)222

-31.

所以2=彳—z其在复平面内对应的点为,在第四象限

22

故选：D

【点睛】

此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

5^D

【解析】

利用已知条件，表示出向量A"，然后求解向量的数量积.

【详解】

——■1--2

在AABC中，Zfi4C=60。，AB=3,AC=4,点M满足BM=2MC，可得AM=-A3+—AC.

1212221

则ABAM=AB(-AB+-AC)=-AB+-AB-AC=3+-X3X4X-=7.

333332

【点睛】

本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量.

6、C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为百，所以该几何体的体积

故选

V=1X1X2X2X^XA/3=1,C.

322

7、C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P-ABC,

正方体的棱长为2,

该几何体的表面积：

—x2x2H—x2x2H—x2x2^2H—x2x2^/2=4+4^/2.

2222

故选C.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

8、D

【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数4的值.

【详解】

12

由于=所以a=3'即e2)=3>Xex—-e2+e2=A—2A-cos60+1=3，即/i?—2—2=0,

解得4=2或4=-1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

9、A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A5C的三个内角，再结合A3可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACD=110°,/.ZACB=110°-65。=45。，

AZABC=180°-30°-45°=105°.XAB=24xO.5=12.

北

东

12BC

即也一1，：,BC=60

V2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

10、B

【解析】

先化简(1-2x)”的二项展开式中第r+1项&I=C；•(-2岁，然后直接求解即可

【详解】

(1-2%)，!的二项展开式中第r+1项&]=C；『..令厂=2,则与=C,>(―2x)2,4C；=40,二”=T

(舍)或〃=5.

【点睛】

本题考查二项展开式问题，属于基础题

11、C

【解析】

试题分析：设AC、BD的交点为0,连接EO,则NAEO为AE,SD所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，

小…八AE~+O^-EO-

则AE=—o,EO^-a,OA^—a,所以cosNAEO=--------------

2222AEOA

(f+(；-(f4百

,故C为正确答案.

2x(-^-

考点：异面直线所成的角.

12、C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为7122+62=，短轴长为6,

所以椭圆离心率6=J1-

(2忖

所以ee0,/—.

故选：C

【点睛】

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

33

13、——

65

【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin(a+〃)，sin]，-的值，由两角差的正弦公式即可计算得

sin[</+?]的值.

【详解】

[，与,J'cos(a+尸)=[,cos]/—?]=一得，

々式

a+(3B-------G

4

/.sin(a+/?)=--cos2(a+0)——,

sin[a+?)=sin(。+尸)一[万一

=5皿~心(仁卜两0+孙巾闻千纲一£|一》宗喂.

33

故答案为：一~^

65

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

7

14、——

16

【解析】

利用正弦定理求得角5,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【详解】

4_V6

由正弦定理得7孑-sin8,

V

r.sinB=3°,cosIB=1-2x—=—.

86416

7

故答案为：—.

16

【点睛】

本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.

15、-189

【解析】

由二项式定理得&1=(-l)r37-rC；xr,令r=5得好的系数是-32C|=-189.

16、327r

【解析】

设即=呢根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE，E"AM=x,根据三棱锥的体积公式，运用基本不等

式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.

【详解】

设即=a,则C0=及〃可得CE2+OE2=C£)2,J.CELED.

当平面A3。，平面3c。时，当四面体C-EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.

则四面体C-EMN的体积=2x(a-x)x-xaxxx^^^ax(a-x)<11x+£-x2=2(当且仅当*=乌时

3221212232

取等号.

解得a=2近.

此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积=4“2=32万.

故答案为：32万

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)详见解析；(II)①4黑Q；②数学期望为6,方差为2.4.

60

【解析】

75

(1)完成列联表，由列联表，得K2=］。8.333>6.635,由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民

网购与性别有关.

7030

(2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10x——=7人，偶尔或不用网购的有10x——=3人，由此

100100

能选取的3人中至少有2人经常网购的概率.

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：魏120=0-6,由题意X3(10,0.6),由此能求出随机变量X的

数学期望E(X)和方差。(X).

【详解】

解：(1)完成列联表(单位：人):

经常网购偶尔或不用网购合计

男性5050100

女性7030100

合计12080200

由列联表，得:

2200x(50x30-50x70)"25

K=--------------------------=——。8.333>6.635,

120x80x100x1003

...能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.

70

(2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10x——=7人，

100

30

偶尔或不用网购的有10x——=3人，

100

.••选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

+ct49

p=-------=—

460,

②„由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：瑞120=0-6，

将频率视为概率，

.•.从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6,

由题意X2(10,0.6),

,随机变量X的数学期望E(X)=10x0.6=6,

方差O(X)=D(X)=10x0.6x0.4=2.4.

【点睛】

本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18、(1)(i)证明见解析(ii)包(2)存在，2=-

113

【解析】

(1)(i)连接AC交BG于点。，连接OM,CG,依题意易证四边形A5CG为平行四边形，从而有=

MOPC,由此能证明PC〃平面

(ii)推导出BGLG。，以G为原点建立空间直角坐标系O-孙z,利用向量法求解；

(2)设AM=4AP=4(0,2,2)=(0,2424),%e(0,l),求出平面3MG的法向量，利用向量法求解.

【详解】

(D(i)证明：连接AC交BG于点。，连接CG,

因为G为线段AD的中点，AD=4

所以AG=，AO=2,

2

因为OC=5C=2,所以AG=3C

因为AD〃8C

所以四边形ABCG为平行四边形.

所以AO=OC

又因为=

所以MOPC

又因为MOu平面3MG,。。<2平面创肥,

所以PCP平面8MG.

(ii)解：如图，在平行四边形BCDG中

因为BGCD,CD±GD,

所以BG_LG。

以G为原点建立空间直角坐标系O-xyz

则G(O,O,O),P(0,0,2),£>(0,2,0),

A(0,-2,0),fi(2,0,0),C(2,2,0),M(O,-1,1)

所以尸3=(2,0,—2),G5=(2,0,0),GM=(0,-1,1),BD=(-2,2,0),BM=(-2,-1,1)

平面PAD的法向量为n=(1,0,0)

设平面BMD的法向量为m=(x,y,z),

m-BD=0r-k—0

则《即c—八，取X=l,得7〃=(1,1,3),

m-BM=0-2x—y+z=0

]Jn

设平面PAD和平面3/如所成的锐二面角为6>,贝！Icos。==『=-；『

U-UVHII

所以锐二面角的余弦值为巫

ii

(2)设AM=/LAP=2(0,2,2)=(0,22,22),2e(0,1)

所以M(0,22—2,22),BM=(-2,22-2,22),BG=(-2,0,0),

设平面3MG的法向量为0=（。，4c）,则

p,BG=-2a=0

取Z?=X,得夕=(0,2,1—X),

p-BM=(22-2)Z?+22c=0

因为直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为叵,

5

PBP

—「

所以-

网讨

所以存在2=（满足川0=AAP，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为叵.

35

【点睛】

此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考

查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19、（1）/（九）在区间（0,+e）单调递增；⑵（3）证明见解析.

【解析】

⑴求出/（九），在定义域内，再次求导，可得在区间（0,+8）上/'（力20恒成立，从而可得结论；⑵由g'（£）=0,

可得年―2%ln%—a=0,由g（%）=2可得其—2/+a=0,联立解方程组可得结果；（3）由（1）知

/（x）=%2—2xlnx在区间（0,+“）单调递增，可证明6-，〉lnx,取％="土1/eN*,可得

vx2k—1

=

产包Mr4——»利用裂项相消法，结合放缩法可得

、2k-l0TR\2k-L\l2k+l14k2—1

结果.

【详解】

(1)由已知可得函数/(%)的定义域为(0,+8),且f(x)=2x—21nx—2,

令妆%)=/'(%),则有/z'(x)=2("1),由"(x)=。,可得x=l,

可知当X变化时，"(x)M(x)的变化情况如下表：

X(0,1)1(l,+oo)

”(x)-0+

/z(x)极小值

.•./z(^)>/z(l)=o,即/可得/(%)在区间(0,+8)单调递增；

(2)由已知可得函数g(x)的定义域为(0,+8),且g'(x)=l-

由已知得g'(x)=0,即其一2xolnXo—a=O,①

由g(x())=2可得，XQ-XQ(inXQ)—2%0+a=0)②

联立①②，消去a,可得2%—(In/)?—21n/—2=0,③

令f(x)=2x-(lnx)2—21nx-2,则/⑴=2_网^二=如心士,

XXX

由(1)知,x-lnx-l>0,故«x)»0,.•/(%)在区间(0,+。)单调递增,

注意到《1)=0,所以方程③有唯一解无。=1,代入①，可得。=1,

..豌)=1,Q=1；

(3)证明：由⑴知/(x)=*—2xlnx在区间(0,+。)单调递增，

故当1«1,收)时，/(%)>/(1)=1,g，(x)/-2x”—1=用异〉0,

XX

可得g(x)在区间。,+⑹单调递增，

1(1Y

因此，当尤>1时，g(x)>g(l)=2,即x+——(lnx)2>2,亦即4x—-7=>(lnx)2,

犬IYx)

这时—>0,Inx>0,故可得—>Inx,取尤=2女+、,keN*,

7x7x2k-1

2左+1A/21—1j.本2人+12k-1_2

可得------------.>ln(2A:+1)-ln(2A;-1),而亦丁收71二3

2k—1，2左+1

n2>之(ln(2Z+1)—ln(2左-1))=ln(2»+1)

故2J4k2—1

k=l

n11

Z/,>-ln(2尤+1)(〃eN*).

,=iW2-l2

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用

导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性,

求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并

运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

20、(1)[-1,5](2)证明见解析

【解析】

(1)将/(尤)表示为分段函数的形式，由此求得不等式/(%)<6的解集.

(2)利用绝对值三角不等式求得了(%)的最小值"，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式a+2624"成立.

【详解】

4-2x,x<l

(i)/(力=<2,1<x<3,

2x-4,x>3

x<lfx>3[l<x<3

不等式/(x)<6,即

〔4-2x<6[2x-4<6[2<6

即有一1<%<1或3<xV5或

所以所求不等式的解集为[-1,5].

(2)/(x)=卜+3|+卜-2卜-3-x+l|=2,M=2,

因为。>0,b>0,

所以要证a+2624"，只需证(a+2))2216//,

即证储+4b2+4ab>16a2b2，

因为储+4k=2,所以只要证2+4次;216a2"，

即证8(。匕)2—2ab—140,

即证(44+因为4ab+l>0,所以只需证abwg,

因为2=〃+4822土力，所以不成立，

所以a+2624。/7.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.

21、(1)-3.(2)t>l

【解析】

(1)先对函数求导，结合极值存在的条件可求。然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；

(2)由已知代入可得，x2+(/-2)x-在x>0时恒成立，构造函数g(x)—x2+(f-2)x-tlnx,结合导数及

函数的性质可求.

【详解】

(1)/'(x)=2x+f—2,x>0,

X

由题意可得，/(2)=2+；”0,解可得f=-4,

f'(x]=2x-6+-=————L,

XX

易得，当