2022-2023学年广东省深圳市初三年级下册第四次模拟考试卷数学试题理试卷含解析

2022-2023学年广东省深圳市莲花中学初三下学期第四次模拟考试卷数学试题理试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列计算正确的是（）

1/

A.（提）』±8B.我+屈=6&C.（--）。=0D.（xF）-3=

2y

2.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（）

3.如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿A—DTE—FTG—B

的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B）,则AABP的面积!i随着时间t变化的函数图象大致

是（）

LDE__C

isisA5,5

A

-ELc-A'Lk

O1Ototot

4.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（)

5.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,连接AF交CG于M点，则FM=()

6.如图，AB//CD,E为CD上一点,射线EF经过点A,EC=EA.若NCAE=30。，贝!|/区4月=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如图，0O内切于正方形ABCD,边BC、DC上两点M、N,且MN是。O的切线，当AAMN的面积为4时,

则。O的半径「是()

A.72B.272C.2D.473

8.如图，若数轴上的点A,B分别与实数-1,1对应，用圆规在数轴上画点C,则与点C对应的实数是()

A.2B.3C.4D.5

9.cos30。的值为（）

A.1B.-C.—D.且

232

10.吉林市面积约为27100平方公里，将27100这个数用科学记数法表示为（）

A.27.1X102B.2.71X103C.2.71xl04D.0.271X105

11.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,

④4ac-b2<0；其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.如图，在ABC中，ZACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以大于工AC的长为半径作弧，两弧相交于点〃

2

和点N,作直线交于点。，交AC于点E,连接CD.若4=34°,则N3DC的度数是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式x~—y2—z~-2yz=.

14.一个圆锥的母线长为5cm,底面半径为1cm,那么这个圆锥的侧面积为cm1.

15.如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=L则AB=.

■.________।__________________।

AcDB

16.如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概

率是.

s

17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC两边中线，则7上工=____

JABC

18.如果a是不为1的有理数,我们把,称为。的差倒数如：2的差倒数是工的差倒数是/1已

1—a1-21-LU，

知q=4,%是4的差倒数，如是0的差倒数，%是。3的差倒数，…，依此类推，则«2019=.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

b—c*

19.(6分)小明遇到这样一个问题：已知：——=1.求证：b2-4ac>Q.

a

经过思考，小明的证明过程如下：

b—c

----=1,Z?-c=a.；.a-Z?+c=O.接下来，小明想：若把x=—1带入一元二次方程+法+°=。(“wo),

a

恰好得至Ua—6+c=0.这说明一元二次方程依2+法+°=o有根，且一个根是1=-1.所以，根据一元二次方程根的判

别式的知识易证：b2-4ac>Q.

根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：

4/7+C

已知：^^=-2.求证：〃N4ac.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.

b

20.(6分)已知，抛物线L：y=x?+bx+c与x轴交于点A和点B(-3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线L的顶点坐标和A点坐标.

(2)如何平移抛物线L得到抛物线Li,使得平移后的抛物线Li的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？

(3)将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L2,点P(m,n)(m>0)是抛物线L2上的一点，是否存在点P,

使得△PAC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L2的表达式，若不存在，请说明理由.

21.(6分)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例

的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010

年该市计划投资“改水工程”1176万元.求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投

资“改水工程”多少万元？

22.（8分）某初中学校组织400位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间，甲、乙两位同学分别调

查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：

表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）

每人植树情况78910

人数36156

频率0.10.20.50.2

表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）

每人植树情况678910

人数363116

频率0.10.20.10.40.2

根据以上材料回答下列问题：

（1）表1中30位同学植树情况的中位数是棵；

（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是,正确的数据应该是；

（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动400位同学一共植树多少

棵？

23.（8分）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C

重合），折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=L

（1）若M为AC的中点，求CF的长；

（2）随着点M在边AC上取不同的位置，

①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；

②求APFM的周长的取值范围.

24.（10分）（1）如图1,半径为2的圆O内有一点P,切OP=1,弦AB过点P,则弦AB长度的最大值为

（2）如图2,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中NABC=90。，AB=80米，BC=60米，现在他利用周边地的情况,

把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔想建的鱼塘

是四边形ABCD,且满足NADC=60。，你认为葛叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大

值；若不能，请说明理由.

图②

25.（10分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图1,四边形ABCD

中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2,点P

是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,ZAPB=ZCPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA

的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使NAPB=NCPD=90。，其他条件

不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不必证明）

26.（12分）科技改变世界.2017年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规

划最优路线，将包裹准确地放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹.没电的时候还会自己找充电桩

充电.某快递公司启用80台A种机器人、300台B种机器人分拣快递包裹.A,B两种机器人全部投入工作，1小时

共可以分拣1.44万件包裹，若全部A种机器人工作3小时，全部B种机器人工作2小时，一共可以分拣3.12万件包

裹.

（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；

（2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A,B两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的

总分拣量不少于7000件，求最多应购进A种机器人多少台？

27.（12分）如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32。的方向上，向东走过

780米后到达B处，测得海岛在南偏西37。的方向，求小岛到海岸线的距离.（参考数据：tan37°=cot53^0.755,

cot37°=tan53°~1.327,tan32°=cot58°~0.625,cot32°=tan58°~l.l.)

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

各项中每项计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

解：A.原式=8,错误；

B.原式=2+40,错误；

C.原」式=1,错误;

x

D.原式=x6y-3=—,正确.

y

故选D.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、A

【解析】

对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.

【详解】

解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.

【点睛】

本题考查了三视图的概念.

3^B

【解析】

解：当点尸在AO上时，AA3P的底A5不变，高增大，所以AABP的面积S随着时间f的增大而增大;

当点P在OE上时,AABP的底AB不变,高不变，所以AABP的面积S不变;

当点P在E尸上时，△A3P的底A3不变,高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小;

当点尸在FG上时,△ABP的底AB不变,高不变，所以AABP的面积s不变;

当点尸在G3上时,△ABP的底AB不变,高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小;

故选B.

4、B

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

考点：轴对称图形和中心对称图形

5、C

【解析】

由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD#GF,据此证△ADM^AFGM得辿=0^

求出GM的长，再利用勾股

FGGM

定理求解可得答案.

【详解】

解：•..四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,

，AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3,ZADM=ZG=90°,

/.DG=CG-CD=2,AD#GF,

则4ADM^AFGM,

ADDM12-GM

：.——=-----，即an一=---------

FGGM3GM

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理

等知识点.

6、D

【解析】解："：EC=EA.ZCAE=30°,.,.ZC=30°,AZAED=30o+30o=60°.'JAB//CD,：.ZBAF=ZAED=60°.故

选D.

点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.

7、C

【解析】

连接AC,交）0于前F,设FN=a,则NC=缶，DC=（1+2吟a,AC=（2夜+4）a,根据△AMN的面积为4,

列出方程求出。的值，再计算半径即可.

【详解】

连接AC,交。于点£

D

。内切于正方形ABC。，MN为。的切线，

AC经过点QF,_7WC为等腰直角三角形，

NC=42FN,

CD,政V为。。的切线，

EN=NF,

设FN=a，则NC=®a,DC=（2+2^a,AC=（20+4）a,AF=AC-CF=（272+3）a,

△AMN的面积为4,

则J_.政V-AF=4,

2

即;-2a.（2应+3）a=4,解得a=20—2,

r=EC=（V2+l）a=（V2+l）（2V2-2）=2.

故选:C.

【点睛】

考查圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，综合性比较强.

8、B

【解析】

由数轴上的点A、B分别与实数-1,1对应，即可求得AB=2,再根据半径相等得到BC=2,由此即求得点C对应的

实数.

【详解】

•.•数轴上的点A,B分别与实数-1,1对应，

；.AB=|1-（-1）|=2,

；.BC=AB=2,

二与点C对应的实数是：1+2=3.

故选B.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，熟记实数与数轴上的点是一一对应的关系是解决本题的关键.

9,D

【解析】

cos30°=—.

2

故选D.

10、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO。的形式，其中七回<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【详解】

将27100用科学记数法表示为：,2.71x104.

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法一表示较大的数。

11、C

【解析】

根据图像可得：a<0,b<0,c=0,即abc=O,则①正确；

当x=l时，y<0,即a+b+cvO,则②错误；

根据对称轴可得：一=一，则b=3a,根据avO,bvO可得：a>b；则③正确；

z_J

••・

根据函数与X轴有两个交点可得：--4ac>0,则④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a,b,c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a,b,c之间的关系是解

题关键.

12、B

【解析】

根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA.即可得到NDCE=NA,而NA和NB互余可求出NA,由三角形外

角性质即可求出NCDA的度数.

【详解】

解：YDE是AC的垂直平分线，

/.DA=DC,

/.ZDCE=ZA,

；NACB=90。，/B=34°,

.,.ZA=56°,

ZCDA=ZDCE+ZA=112°,

故选B.

【点睛】

本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是

熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(x+y+z)(x-y-z).

【解析】

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题后三项可以为一组组成完全平方式，再用平方差公

式即可.

【详解】

x2-y2-z2-2yz,

=x2-(y2+z2+2yz),

=x2-(y+z)2,

=(x+y+z)(x-y-z).

故答案为(x+y+z)(x-y-z).

【点睛】

本题考查了用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题后三项可组成完全平方公式，可把

后三项分为一组.

14、10不

【解析】

分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解.

详解：■.,圆锥的底面半径为5cnz,.,.圆锥的底面圆的周长=ljr・5=l（ht,.,.圆锥的侧面积=—•1。71・1=10兀（加1）.

2

故答案为10n.

点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆

锥的母线长.也考查了扇形的面积公式：S=-^R,为弧长）.

2

15、4

【解析】

•••点C是线段AD的中点，若CD=1,

/.AD=lx2=2,

•••点D是线段AB的中点，

AB=2x2=4,

故答案为4.

1

16、-

2

【解析】

根据几何概率的求法：球落在黑色区域的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值.

【详解】

解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是

1+12

【点睛】

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算

阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.

1

17、一

4

【解析】

利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；

【详解】

VAE=EC,BD=CD,

，DE〃AB,DE=-AB,

2

.,.△EDC^AABC,

•SEDC_/D2一_"1

故答案是：

4

【点睛】

考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理.

3

18、

4

【解析】

利用规定的运算方法，分别算得ai,a2,a3,a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.

【详解】

\'ai=4

a4==—口

4

13

数列以4,-/；三个数依次不断循环，

V20194-3=673,

._3

••32019=33=-9

4

3

故答案为：一♦

4

【点睛】

此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、证明见解析

【解析】

4〃+c

解：V---------二-2,・'・4Q+C=—2b・；・4Q+2Z?+C=0.

b

***x=2是一元二次方程改2+区+。=0的根.

*•*b2-4QCNO,<*.b2>4QC.

]028

20、(1)顶点(-2,-1)A(-1,0);(2)y=(x-2)2+l;(3)y=x2-—x+3,y=x2+—x+3,y=x2-4x+3,y=x2+—x+3.

【解析】

(1)将点B和点C代入求出抛物线L即可求解.

(2)将抛物线L化顶点式求出顶点再根据关于原点对称求出即可求解.

(3)将使得△PAC为等腰直角三角形，作出所有点P的可能性，求出代入丁=必+公+3即可求解.

【详解】

(1)将点B(-3,0),C(0,3)代入抛物线得：

2

｛号々b+c,解得｛，则抛物线y=x+4x+3.

抛物线与X轴交于点A,

2

0=X+4X+3，X]=-3,X2=-1,A(-1,0),

抛物线L化顶点式可得y=(x+2)2-l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1).

(2)抛物线L化顶点式可得y=(x+2)2-l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1)

抛物线Li的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称，

L]对称顶点坐标为(2,1),

即将抛物线向右移4个单位，向上移2个单位.

(3)使得APAC为等腰直角三角形，作出所有点P的可能性.

是等腰直角三角形

P^A=CA,

ZCAO+Z.ACO=90°,ZCAO+APXAE=90°,

/.ZCAO=PXAE,

qEA=NCQA=90。，

.-.AC4O=AA^E(A4S),

,求得4(—4』).，

同理得g(2,—1),下(—3,4),巴(3,2),

2QIQ

由题意知抛物线y—x2+dx+3并将点代入得：y=x2+—x+3,y=x2—4x+3,y=x2+—x+3,y=%"——x+3.

【点睛】

本题主要考查抛物线综合题，讨论出P点的所有可能性是解题关键.

21、(1)40%;(2)2616.

【解析】

(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x.根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市

计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；

(2)根据(1)中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可.

【详解】

解：(1)设A市投资“改水工程”年平均增长率是x,则

600(1+x)2=1176.解之，得X=0.4或x=—2.4(不合题意，舍去).

所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%.

(2)600+600x1.4+1176=2616(万元).

A市三年共投资“改水工程”2616万元.

22、(1)9；(2)11,12；(3)3360棵

【解析】

(1)30位同学的植树量中第15个、16个数都是9,即可得到植树的中位数；

(2)根据频率相加得1确定频率正确，计算频数即可确定错误的数据是11,正确的硬是12；

(3)样本数据应体现机会均等由此得到乙同学所抽取的样本更好，再根据部分计算总体的公式即可得到答案.

【详解】

(1)表1中30位同学植树情况的中位数是9棵，

故答案为：9；

(2)表2的最后两列中，错误的数据是11,正确的数据应该是30x0.4=12；

故答案为：11,12；

(3)乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，

(3x6+6x7+3x8+12x9+6x10)+30x400=3360(棵)，

答：本次活动400位同学一共植树3360棵.

【点睛】

此题考查统计的计算，掌握中位数的计算方法，部分的频数的计算方法，依据样本计算总体的方法是解题的关键.

3

23、(1)CF=y；(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由见解析；②△PFM的周长满足：2+272

<(1+>/2)y<l+lV2.

【解析】

(1)由折叠的性质可知，FB=FM,设CF=x,则FB=FM=l-x,在RtACFM中，根据FM2=CF2+CM2,构建方程即

可解决问题；

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POFsaMOC,可得NPFO=NMCO=15。，延长即可解决问

题；

②设FM=y,由勾股定理可知：PF=PM=^y,可得△PFM的周长=(1+&)y,由2<yVI,可得结论.

【详解】

(1)为AC的中点，

11

.•.CM=-AC=-BC=2,

22

由折叠的性质可知，FB=FM,

设CF=x,贝！|FB=FM=1-x,

在RtACFM中，FM2=CF2+CM2,即(1-x)2=x2+22,

33

解得，x=-,BPCF=-；

22

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，

理由如下：由折叠的性质可知，ZPMF=ZB=15°,

；CD是中垂线，

.,.ZACD=ZDCF=15°,

■:ZMPC=ZOPM,

.,.△POM^APMC,

.POOM

PM~MC'

.MC_OM

"PM~PO，

,/ZEMC=ZAEM+ZA=ZCMF+ZEMF,

/.ZAEM=ZCMF,

；NDPE+NAEM=90。，ZCMF+ZMFC=90°,ZDPE=ZMPC,

/.ZDPE=ZMFC,ZMPC=ZMFC,

；/PCM=NOCF=15。，

/.△MPC^AOFC,

.MP_MC

"'~OF~~OC'

.MC_PC

"PM~OF'

.OMPC

"PO—OF'

"：ZPOF=ZMOC,

/.△POF^AMOC,

.,.ZPFO=ZMCO=15°,

/.△PFM是等腰直角三角形；

②•••△PFM是等腰直角三角形，设FM=y,

由勾股定理可知：PF=PM=»y,

2

.,.△PFM的周长=(1+V2)y，

V2<y<l,

.♦.△PFM的周长满足：2+2&V(1+72)y<l+lV2.

【点睛】

本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解

题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

24、(1)弦AB长度的最大值为4,最小值为26；(2)面积最大值为(25006+2400)平方米，周长最大值为340

米.

【解析】

(1)当AB是过P点的直径时，AB最长；当ABJ_OP时，AB最短，分别求出即可.(2)如图在△ABC的一侧以AC

为边做等边三角形AEC,再做AAEC的外接圆，则满足NADC=60。的点D在优弧AEC上(点D不与A、C重合),

当D与E重合时，SAADC最大值=SAAEC,由SAABC为定值，故此时四边形ABCD的面积最大，再根据勾股定理和等

边三角形的性质求出此时的面积与周长即可.

【详解】

(1)(1)当AB是过P点的直径时，AB最长=2x2=4；

当AB_LOP时，AB最短，AP=yJo^-OP2=722-12=73

-,.AB=2V3

(2)如图，在小ABC的一侧以AC为边做等边三角形AEC,

再做△AEC的外接圆，

当D与E重合时，SAADC最大

故此时四边形ABCD的面积最大，

VZABC=90°,AB=80,BC=60

AC=y/AB2+BC2=100

周长为AB+BC+CD+AE=8O+6O+1O0+1OO=34O(米)

SAADC=-ACX/Z=-X100X50A/3=2500A/3

22

SAABC=—ABxBC=—x80x60=2400

22

二四边形ABCD面积最大值为(25006+2400)平方米.

【点睛】

此题主要考查圆的综合利用，解题的关键是熟知圆的性质定理与垂径定理.

25、(1)证明见解析；(2)四边形EFGH是菱形，证明见解析；(3)四边形EFGH是正方形.

【解析】

(1)如图1中，连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH〃FG,EH=FG即可.

(2)四边形EFGH是菱形.先证明△APCgZ\BPD,得至！JAC=BD,再证明EF=FG即可.

(3)四边形EFGH是正方形，只要证明NEHG=90。，利用AAPC义ZkBPD,得NACP=NBDP,即可证明

ZCOD=ZCPD=90°,再根据平行线的性质即可证明.

【详解】

(1)证明：如图1中，连接BD.

•.•点E,H分别为边AB,DA的中点，

AEH/7BD,EH=-BD,

2

•点F,G分别为边BC,CD的中点，